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Charge dans un champ magnétique
Bonjour,
J'ai besoin d'un coup de main pour un exercice.
Merci d'avance.
Enoncé: Charge dans un champ magnétique
Dans un référentiel galiléen muni d'un repère (O; i; j; k), on considère le mouvement d'une particule chargée de charge q>0 dans un champ magnétique uniforme (. Au temps t=0, la particule se trouve à l'origine et possède une vitesse initiale
contenue dans le plan Oxz et faisant un angle ∅ avec
. On néglige la pesanteur et on pose w=qB/m (fréquence cyclotron ).
1. Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit le mouvement de la particule.
2.Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire en coordonnées cartésiennes : x(t); y(t); z(t) .
3. En déduire la nature du mouvement de la particule dans le plan Oxy et sur l'axe Oz.
4. On se place dans le cas où ∅=π/2 . Que devient le mouvement de la particule? Pourrait-on sélectionner des particules de vitesse donnée?
5. LA particule se déplaçant dans le plan Oxy est soumise à un champ électrique en plus du champ magnétique. Résoudre les équations du mouvement.
[MON DÉBUT]
1. Pour l'équation différentielle, j'ai appliqué le TCI à la particule:
<=>
Suivant l'axe Oz je trouve:
mz''=qBVo*cos∅
2. La force de Lorentz suivant l'axe (Oy). Les composantes du vecteur accélération sont:
a_x=0
a_y=qVB/m
a_z=0
En intégrant successivement et en tenant compte des conditions initiales on a :
x(t)=(VoSin∅)t
y(t)=(qVB/2m)t²
z(t)=(VoCos∅)t
3. Dans le plan Oxy le mouvement est accéléré suivant une trajectoire parabolique. Suivant Oz, il est rectiligne et uniforme.
Bonjour
La situation est beaucoup plus simple.
Puisque le vecteur vitesse initial est orthogonal au vecteur champ magnétique, tu devrais commencer par démontrer que le mouvement est plan.
Tu démontres ensuite qu'il est uniforme (norme du vecteur vitesse fixe) puis tu démontres qu'il est circulaire uniforme
Okay je vois ... le fait qu'on ait démandé les équations paramétriques m'a un peu bouleversé.
Puisqu'on a à partir du TCI , le vecteur accélération est orthogonal au vecteur vitesse initial Vo et au vecteur champ B, l'accélération de la particule est alors normale => l'accélération tangentielle est donc nulle .
L'accélération étant normale , la trajectoire décrite par la particule est un cercle de rayon R tel que qBVo=m*Vo²/R ; le mvt est plan.
L'accélération tangentielle est nulle donc :
a_t=dV/dt=0 La vitesse de la particule est constante.
Le mouvement est donc circulaire et uniforme.
D'accord avec ce que tu as écrit.Cependant, pour être tout à fait rigoureux, il faut d'abord montrer que le mouvement est plan. Tu as utilisé le fait que le vecteur accélération est orthogonal au vecteur vitesse : très bien mais il est aussi orthogonal au vecteur champ ; donc :
az= 0 ;
de plus :
vzo=0
donc... Je te laisse conclure.
v_z=0 <=> z(t)=0, puisque la particule était à l'origine du repère à t=0.
Aucun mvt ne s'effectue donc suivant l'axe Oz.le mouvement s'effectue seulement suivant les axes Oy et Ox, il est donc plan.
C'est cela :
az=0 donc vz=constante =vzo
puisque vzo=0 : vz=0 donc z= constante = 0
La trajectoire appartient au plan (Oxy).
Je trouve très bien que tu fasses l'effort d'utiliser l'éditeur d'équations ; juste un ”tuyau” pour obtenir le produit vectoriel ; il s'agit de l'instruction : \wedge . Exemple :
\vec v \wedge \vec B donne :
Okay d'accord bien noté.
4. l'angle entre le vecteur vitesse et l'axe Oz est maintenant égal à π/2 rad;
Je pense que le mouvement reste plan puisque le vecteur accélération reste orthogonal aux vecteurs vitesse initiale et champ B.
Ou bien je dois utiliser les équations parametriques du mouvement de la particule (?)
Désolé : je crois bien que j'ai mal lu l'énoncé dès le début : à la première question, le vecteur vitesse est dans le plan (Oxz) et non dans le plan (Oxy) comme j'avais lu à tort un peu trop vite. L'étude que je t'ai indiquée est donc celle de la question 4 puisque alors le vecteur vitesse initial est bien orthogonal au vecteur champ magnétique.
Dans le cas des questions 1 à 3 : l'étude est donc plus compliquée que ce que je t'ai indiqué puisque on a bien :
az=0 donc Vz= constante = Voz mais Voz n'est pas nul mais égal à Vo.cos(
) et donc :
z=Vo.cos().t comme tu l'avais écris.
L'étude des coordonnées x et y se fais comme je te l'ai indiquée à condition de remplacer Vo par Vo.sin()
Tu obtiens ainsi la composition d'un mouvement circulaire uniforme et d'un mouvement de translation rectiligne uniforme, ce qu'on appelle un mouvement hélicoïdal... Pas vraiment du programme de terminale.
voir ces documents, niveau (bac+1) en rapport avec ce problème :
Oh je vois que ça devient vraiment un peu plus complexe que je n'aie imaginé 
... je pense qu'il serait mieux de me contenter de résoudre des parties inclues dans le programme de Terminale (c'est assez pour un concours niveau Bac).
Et dans ce cas, la question 4 seule pourrait peut-être me concerner. On connait déjà la nature du mouvement de la particule dans le plan Oxy et suivant l'axe Oz. Il reste maintenant à savoir si les particules de vitesses données peuvent être sélectionnées. Je ne sais pas s'il y'a une condition de sélection des particules ... ou bien comme le mouvement est plan, la trajectoire est circulaire de rayon R connue alors ,on peut les sélectionner ?
Je crois que tu as raison.
Pour la question 4 : imagine une plaque opaque dans le plan (O,y,z) présentant deux trous : un centré en O pour laisser pénétrer les particules, l'autre centré au point de coordonnées (0,D,0) ; seules les particules dont le rayon de trajectoire vérifie la relation :
D=2R pourront traverser le deuxième trou...
Le rayon de la trajectoire circulaire de la particule est =>
. On a pas assez de données pour comparer 2R à D...
Seules par particules de vitesse initiale :
peuvent sortir par le trou. Il y a bien sélection des particules en fonction de leur vitesse initiale pourvu que toutes les particules possèdent la même charge et la même masse.
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