Niveau terminale

centre d inertie d un volume

Posté par LePilou (invité) 05-03-06 à 13:25

Bonjour à tous,
j'ai quelques problèmes pour trouver les coordonnées d'un barycentre (soit du centre d'inertie) d'un volume constitué par la rotation autour de l'axe x de la courbe de la fonction f définie par $3$f(x)=(1-x)sqrt(1-x^2)$ sur [-1;1].

Dans les questions précédentes, on a étudié la fonction f et on a calculé le volume de ce solide à l'aide de cette intégrale : $4$V=\int_{-1}^{1} \pi[f(x)]^2 dx =\frac{8\pi}{5}$

Je dois donc démontrer que l'abscisse de G, centre d'inertie du solide, est : $4$x=\frac{\int_{-1}^{1} x\pi[f(x)]^2 dx}{V}$

Mais je ne sais pas vraiment comment m'y prendre... J'ai l'impression que le "x" qui s'est glissé dans l'intégrale du numérateur provient du "poids" accordé à chaque point pris pour constituer le barycentre, mais je n'arrive pas à démontrer cela correctement.

Pour les deux dernières questions, la technique utilisée doit ressembler (donc je n'y arrive pas non plus).
Voici l'énoncé si cela peut vous aider : (j'ai rajouté la formule du volume mais j'ai fais une erreur de frappe, il faut donc prendre la formule que j'ai écrite ici).
Merci d'avance !

Posté par re : centre d inertie d un volume 05-03-06 à 15:52

Bonjour,

Ton cours doit comporter une définition du centre d'inertie, non ?

Raisonnement "physicien" :
$3$x_G=\frac{1}{V}\Bigint_{-1}^1x\mathrm{d}V_x$
où $3$\mathrm{d}V_x$ est la tranche de volume située à l'abscisse x : $3$\mathrm{d}V_x=\pi(f(x))^2\mathrm{d}x$

Nicolas

Posté par LePilou (invité)re : centre d inertie d un volume 05-03-06 à 16:02

Merci pour cette réponse
Non, étant donné qu'il s'agit d'un DM, nous n'avons pas de cours sur le centre d'inertie (d'autant plus que c'est un travail donné en mathématique ! et nous n'avons pas vu cela en physique).
N'y aurait-il pas une explication pour arriver à cette formule ? parce que sinon l'intérêt de la question est très restreint s'il suffit de donner une définition en expliquant qu'il s'agit d'une tranche de volume...
Merci de me donner quelques pistes

Posté par re : centre d inertie d un volume 05-03-06 à 16:03

Si c'est un devoir de mathématiques, et non de physique, il serait probablement prudent de ne pas reprendre mon explication !

Posté par re : centre d inertie d un volume 05-03-06 à 16:14

Sans plaisanterie, je ne sais pas trop quoi te répondre. Il faudrait une définition du centre d'inertie.

Il y a bien ce qui suit, mais cela ne me semble pas de niveau Terminale.

Soit $S$ une surface fermée limitant un domaine $D$ de volume $V$ . Le centre d'inertie du volume $V$ est le point $G$ défini par :
$3$\{{x_G=\frac{1}{V}\Bigint\Bigint\Bigint_Dx\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\y_G=\frac{1}{V}\Bigint\Bigint\Bigint_Dy\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\z_G=\frac{1}{V}\Bigint\Bigint\Bigint_Dz\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}$
Donc $3$x_G=\frac{1}{V}\Bigint\Bigint\Bigint_Dx\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\Bigint_{-1}^1x\left(\Bigint\Bigint_{T(x)}\mathrm{d}y\mathrm{d}z\right)\mathrm{d}x$
où $3$T(x)$ est l'intersection du solide avec le plan d'abscisse $3$x$
$3$x_G=\Bigint_{-1}^1x\left(\pi f(x)^2)\mathrm{d}x$

Y a-t-il dans le coin un professeur de Terminale, ou quelqu'un pour qui la Terminale n'est pas trop lointaine qui saurait nous dire ce que le professeur attend dans ce cas ?

Nicolas

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