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Calculs Equations Dynamique

Posté par
Ashaverus
13-02-18 à 12:44

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice. Voici l'énoncé :

"Soit une base orthonormée cartésienne (ex->, ey->, ez->) attachée au référentiel R
= {Oxyz}. Soit un point M de coordonnées (x, y, z).

1. Définir OM-> . Rappeler les définitions de son vecteur vitesse v->, et de son
accélération a->.
2. La trajectoire de M est donnée par 3 fonctions du temps t pour t1 ≤ t ≤ t2 :
x(t) = 2et sin(t)
y(t) = 2et cos(t)
z(t) = et

Calculer les normes de v-> et a->.
"

Pour le 1. je ne suis pas certain de ce qu'ils veulent dire pas "définir". Est-ce qu'il faut simplement donner les équations
"OM = (x(t)² + y(t)² + z(t)²)
v = dOM/dt
a = dv/dt = d²OM/dt²        
[ET AU PASSAGE, je me suis toujours demandé pourquoi c'est "d²OM/dt²" et pas "d²OM/d²t"]
"

Pour le 2. j'ai fait :
"
OM = ( (2et sin(t))² + (2et cos(t))² + (et)² )
OM = ( 4e2t sin²(t) + 4e2t cos²(t) + e2t )
OM = ( 4e2t (sin²(t) +  cos²(t)) + e2t )
OM = ( 4e2t (               1               ) + e2t )
OM = ( 4e2t + e2t )
OM = ( 5e2t )
OM = et( 5 )

v = dOM/dt = tet( 5 )
a = dv/dt = (et + t²et)( 5 )
"

Sauf que la correction donne :
v = 3et
a = et( 17 )

Je ne vois pas ce que j'ai fait de travers, pouvez-vous m'aider ?

Posté par
J-P
re : Calculs Equations Dynamique 13-02-18 à 13:02

Salut,

2)

vx = dx/dt = 2.e^t.(sin(t) + cos(t))
vy = dy/dt = 2.e^t.(cos(t) - sin(t))
vz = dz/dt = e^t

|v|² = (vx)² + (vy)² + (vz)²

|v|² = (2.e^t.(sin(t) + cos(t)))² + (2.e^t.(cos(t) - sin(t)))² + (e^t)²

|v|² = 4.e^(2t).(sin²(t) + cos²(t) + 2.sin(t).cos(t)) + 4.e^(2t).(sin²(t) + cos²(t) - 2.sin(t).cos(t)) + (e^t)²

|v|² = 8.e^(2t) + e^(2t)

|v|² = 9.e^(2t)

|v| = 3.e^(t)
--------------

ax = dvx/dt = 2.e^t*(sin(t) + cos(t) + cos(t) - sin(t)) = 4.e^t * cos(t)
ay = ...
az = ...

|a|² = (ax)² + (ay)² + az)²
...


Qauf distraction.  

Posté par
krinn
re : Calculs Equations Dynamique 13-02-18 à 17:06

bonjour

1) il semble qu'on demande les vecteurs position/ vitesse/accéleration
donc plutôt:

OM = x ex + y ey + z ez

= d OM / dt = dx/dt ex  + ....

a = d2 OM/dt2 =   d2x/dt2 ex  + ....

(vecteurs en gras)

Posté par
Ashaverus
re : Calculs Equations Dynamique 13-02-18 à 19:12

@J-P : Oui ! Autant pour moi j'avais mal fait la dérivée... hum, une seconde...
La dérivée de "2et(sin(t)" est "2et(sin(t) + cos(t))" ?
Pourtant il me semble que "(UV)' = U'V + UV' ", donc là on devrait avoir :
(2et sin(t))' =
2(et)' sin(t) + et (sin(t))'

Or la dérivée de "et" ça devrait être "tet", et donc :
2(et)' sin(t) + et (sin(t))' =
2(tet sin(t) + et cos(t) =
2et(t sin(t) + cos(t))

Et dans ce cas on ne trouve pas le bon résultat... où est-ce que je me trompe ?


@krinn : OK, bien compris, merci.

Posté par
krinn
re : Calculs Equations Dynamique 13-02-18 à 19:20

Attention!
La dérivée de exp(t) est  exp(t)
C'est même comme ça qu'on definit exp(t) en TS !

Posté par
Ashaverus
re : Calculs Equations Dynamique 13-02-18 à 23:57

@krinn : Mais quelle andouille je fais, j'avais en tête "(etx)' = t etx" donc quand j'ai vu "et" j'ai fait ça sans réfléchir.
Ok, maintenant c'est clair, merci !

Posté par
J-P
re : Calculs Equations Dynamique 14-02-18 à 10:37

Ben oui, c'est une des raisons qui me fait ne pas apprécier la notation ' pour les dérivées.

Si on l'utilise, on peut "oublier" par rapport à quelle variable on dérive.

Si au lieu d'écrire (ou penser) x' on écrit clairement dx/dt ... on ne se trompe plus.

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