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Bulle d'air dans une piscine
bonjour à tous,
J'ai un exo pour mon dm qui me pose problème
Un plongeur au fond d'une piscine, de profondeur z0 = - 3,0 m, produit une petite bulle d'air à l'instant t = 0 s. La bulle sera supposée sphérique dans tout l'exercice.
Initialement, la bulle a un rayon r(z0) = r0 = 0,50 mm.
La température de l'eau et de l'air de la bulle est constante : T = 300 K.
La pression de l'eau de la piscine varie en fonction de la profondeur z selon la relation de la statique des fluides :
P eau (z) = Patm - Pgz
La pression de l'air dans la bulle est toujours égale à la pression de l'eau à la même profondeur.
1. En faisant l'hypothèse que l'air de la bulle se comporte comme un gaz parfait, déterminer l'expression du rayon de la bulle r(z) en fonction de la profondeur.
2. Calculer la quantité de matière d'air n air contenue dans la bulle.
3. Calculer le rayon de la bulle lorsqu'elle va finalement atteindre la surface. On néglige la variation du rayon de la bulle, si cette variation est inférieure à 10 % (en valeur absolue) de la valeur initiale. Peut-on la négliger ?
4. Si l'air a une masse molaire M(air) = 29 g · mol-1, calculer la masse m de la bulle, puis donner les caractéristiques du poids de la bulle.
5. Donner les caractéristiques de la poussée d'Archimède Fa qui s'applique sur la bulle en fonction du rayon r0 de la bulle.
6. La bulle est également soumise à une force de frottement fluide de la forme f= - 6 pi rau r V ,avec la viscosité de l'eau rau = 1,0 · 10^3 Pa · s, le rayon de la bulle r0 (en mètre) et V le vecteur vitesse de la bulle.
a) Placer, sur un schéma, les forces qui s'appliquent sur la bulle.
Je ne comprend comment réaliser la premiere question, j'essay PV=nRT, le volume... mais je ne trouve rien, quelqun pourrait-il m'aider? MERCI
1)
P(z) = Patm - Rho eau * g * z
Avec Rho eau la masse volumique de l'eau.
PV = nRT (nRT est constant puisque la quantité de matière d'air et la température restent les mêmes)
P(-3) = Patm + 3 * Rho eau * g (pression à 3 m de profondeur)
V(-3) = 4/3.Pi.ro³ = 4/3 * Pi * ro³
(Patm + 3 * Rho eau * g) * 4/3 * Pi * ro³ = P(z).V(z)
(Patm + 3 * Rho eau * g) * 4/3 * Pi * ro³ = (Patm - Rho eau * g * z) * 4/3 Pi * (r(z))³
(Patm + 3 * Rho eau * g) * ro³ = (Patm - Rho eau * g * z) * (r(z))³
(r(z))³ = ro³ * (Patm + 3 * Rho eau * g)/(Patm - Rho eau * g * z)
r(z) = ro * Racine cubique[(Patm + 3 * Rho eau * g)/(Patm - Rho eau * g * z)]
Avec ro = 0,50 .10^-3 m, Rho eau = 1000 kg/m³, g = 9,8 N/m et supposons Patm = 10^5 Pa (P atmosphérique normale)
On aurait:
r(z) = 0,50.10^-3 * Racine cubique[(10^5 + 3 * 1000 * 9,8)/(10^5 - 1000 * 9,8 * z)]
r(z) = 0,50.10^-3 * Racine cubique[129400/(10^5 - 9800 * z)]
Avec r(z) en m et z en m (attention, z est négatif).
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Sauf distraction. 
C'est un peu compliqué, je ne comprend pas tout
moi j'ai trouvé ça:
r= racine carré (3nRT)/(4*pi*r au cube)
Dans la question 1, on te demande r(z), r(z) dépend de la profondeur z ...
Et toi, dans ce que tu trouves, r ne dépend pas de z ... c'est donc mal parti.
De plus, ton expression de z n'est pas homogène.
Ce que tu trouves est effectivement plus simple ... mais malheureusement, ce n'est pas correct.
Bah regarde:
PV=nRT
P*4/3*r{au cube}=nRT
r^3=(3nRT)/(4pi*(Patm-µ*g*z)
r=racine cubique de (3nRT)/(4pi*(Patm-µ*g*z)
alors?
C'est déjà différent.
Mais à ce niveau (question 1), tu ne connais pas n
Par contre, avec PV = nRT
P(-3).V(-3) = nRT
Et donc ta formule deviendrait:
r=racine cubique de (3*P(-3).V(-3))/(4pi*(Patm-µ*g*z)
Or P(-3) = Patm + 3.µ * g et V(-3) = 4/3.Pi.ro³
---> r=racine cubique de [3.(Patm + 3.µ * g) * 4/3.Pi.ro³/(4pi*(Patm-µ*g*z)]
r=racine cubique de [(Patm + 3.µ * g) .ro³/(Patm-µ*g*z)]
r= ro .racine cubique de [(Patm + 3.µ * g)/(Patm-µ*g*z)]
Et c'est exactement la formule que j'ai donnée dans mon premier message.
Pourquoi remplacer P et V, on demande juste de déterminer en fonction de la profondeur, non?
On a pas besoin de savoir n?
Mais après je ne comprend pas comment s'en servir pour faire la question 3?
merci de prendre du temps pour répondre 
car je suis vraiment en galère et je dois le rendre après demain. 
2)
PV = nRT
(Patm - Rho eau gz ).(4/3.Pi.ro³) = n * 8,32 * 300
(10^5 - 1000*9,8*(-3)).(4/3.Pi.(0,5.10^-3)³) = n * 8,32 * 300
n = 2,7.10-8 mol
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3)
r(z) = 0,50.10^-3 * Racine cubique[129400/(10^5 - 9800 * z)]
r(0) = 0,50.10^-3 * Racine cubique[129400/10^5] = 5,45.10^-4 m = 0,545 mm
(r(0) - r(-3))/r(-3) = (0,545-0,5)/0,5 = 0,09, donc une variation de 9 % du rayon de la bulle par rapport à la valeur initiale.
On négligera donc cette variation comme demandé dans l'énoncé.
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4)
m = n*M = 2,7.10^-8 * 29 = 7,8.10^-7 g
P = mg = 7,8.10^-7 * 10^-3 * 9,8 = 7,6.10^-9 N (vertical vers le bas et point d'application aux centre de la bulle)
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5)
Fa = (4/3).Pi.ro² * Rho eau * g (attention le tout en unité SI) : verticale vers le haut et point d'application au centre de la bulle.
Fa = (4/3).Pi.(0,5.10^-3)² * 1000 * 9,8 = 5,1.10^-6 N
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Sauf distraction.
merci,
je trouve pareil sauf pour le 4 où j'ai arrondis autrement:
7,9*10^-10 kg
puis 7,7*10^-9 N
est ce normale?
et pour terminer 
le 6):
faut -il que je calcule la force de frottement directement ou en passant par une soustraction des 2 autres forces?
Pour le 6, je suppose qu'il faut dessiner les vecteurs avec leur direction et leur sens.
La force de frottement est verticale et dirigée vers le bas (s'oppose au mouvement).
Cependant, la force de frottement varie en cours de mouvement et on ne peut donc pas la "dessiner" avec une norme bien définie.
On ne peut pas non plus dessiner clairement à l'échelle Fa et P puisqu'ils ont des normes très différentes.
Il faut donc, je suppose, dessiner les vecteurs sans se soucier de l'échelle, mais respecter quand même le fait que la somme des 3 vecteurs doit rester dans le sens "vers le haut".
Sauf distraction.
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