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bilan énergétique d une bobine

Posté par
letonio 03-09-05 à 19:11

Bonjour tout le monde, rebonjour J-P
Je suis à nouveau assez mal à l'aise avec la manière dont les physiciens utilisent les notations des dérivées et des intégrales. Je m'explique.
Dans mon bilan énergétique de ma bobine,
l'énergie magnétique emmagasinée entre les instants 0 et t est:
Em= \int_0^{t} L.i.di/dt.dt= \int_0^{i} d(1/2.L.i^2)=1/2 L.i^2
Je ne comprends pas du tout les étapes. Est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer?

Posté par
dad97re : bilan énergétique d une bobine 03-09-05 à 19:20

Bonsoir letonio,

sans aucune connaissance du phénomène (donc sans garantie ):

\Bigint_0^t L\times i\times \frac{di}{dt}\times dt = \Bigint_0^t L\times i\times di = L\times\Bigint_0^t i\times di=L\times \Bigint_0^i tdt (changement de variable i=t hum )

=L\times [\frac{t^2}{2}]_0^i=\frac{1}{2}Li^2

Salut

Posté par
J-Pre : bilan énergétique d une bobine 03-09-05 à 19:26

Puissance: P = U.i

Energie = \int P\ dt

Energie = \int U.i\ dt

Or U = L.\frac{di}{dt}

Energie = \int  L.\frac{di}{dt}.i\ dt

Energie = \int  L.i\ di = L.\int i\ di

Energie = \frac{1}{2}  L.i^2
-----
Sauf distraction.  

Posté par
letoniore : bilan énergétique d une bobine 03-09-05 à 19:44

Merci à vous. J-P ta démonstration est claire, mais j'aimerais aussi comprendre ce qu'est ce changement de borne de mon intégrale qui passe de t à i. Est-ce une erreur?

Ce qui m'amène à vous poser encore quelques questions.
Si j'ai
\int_0^{t} L.di/dt.i dt= \int_0^{t} L.di.i
On a supprimé en haut et en bas le dt. Qu'est ce que ça implique exactement? Je veux dire, à quoi ça sert de faire ça? On est toujours en fonction du temps que je sache.
J-P tu m'as déjà répondu mais j'ai eu beaucoup de sons de cloches et je m'y perds. Quand tu me notes \int L.di/dt.i dt, je suppose que tu parles de l'intégrale de L.di/dt.i de 0 à t, et que tu ne précises pas les bornes pour éviter d'écrire ce qui est une erreur pour un mathématicien. Je me trompe? Comment est ce que tu notes une primitive? J'avais cru comprendre que les physiciens écrivaient les primitives comme des intégrales mais en ne précisant pas les bornes....

Posté par
letoniore : bilan énergétique d une bobine 03-09-05 à 19:45

Oui je suppose que c'est une erreur. Ca ne peut pas être autre chose.

Posté par
soucoure : bilan énergétique d une bobine 03-09-05 à 20:41

Bah non, ce n'est pas une érreur,

Si \pht(t) est une bijection 'croissante' sur un certain intervalle,

on a \Bigint^a_bf(x)dx=\Bigint^{\phi^{-1}(a)}_{\phi^{-1}(b)}\phi'(t)\(f\circ\!\phi(t)\)dt

Si Si \phi(t) est une bijection 'décroissante' sur un certain intervalle,

Il faut intervertir \phi^{-1}(a) et \phi{^-1}(b)

letonio, ce que fait J-P est à mon avis très correct du point de vue notation, je ne crois pas que écrire \Bigint L di\cdot i à un sens (avec ou sans les bornes)...



Ps: je pensais avoir fait la même chose avec les condensateurs...

Posté par
letoniore : bilan énergétique d une bobine 03-09-05 à 23:53

Hum Soucou, je ne comprends pas ce que veux dire ta formule...
Si je pose cette question à propos des intégrales, c'est qu'à mon petit niveau en math, je ne sais pas ce que veux dire ce signe de l'intégrale dont on ne précise pas les bornes. C'est pour ça que j'ai besoin de savoir précisément ce que cette notation recouvre. D'ailleurs au cas où ça aurait donné cette impression, je ne suis pas en train de dire que ce qu'écrit J-P n'est pas correct

Sinon pour ce qui est de la formule de mon bouquin, voilà ce que je comprends des explications de J-P:
\int_0^{t} L.i.di/dt.dt= \int_0^{t} L.i.di= \int_0^{t} d(L.1/2i^2)= [L.1/2.i^2] (0 à t)= L.1/2i(t)^2 - L.1/2i(0)^2=
L.1/2.i^2

Je ne comprends pas d'où pourrait venir ce changement de borne...

Posté par
J-Pre : bilan énergétique d une bobine 04-09-05 à 10:45

Il ne faut pas confondre une intégrale et une primitive.

Le résultat d'une intégrale est un nombre.
Le résultat d'une primitive est une fonction.

Primitive:

\int f(x)\ dx = F(x)

Exemple:

\int x\ dx = \frac{x^2}{2} + K
-----
Intégrale:
\int_a^b f(x) \ dx = Nombre

Exemple:

\int_1 ^2\ x \ dx = [\frac{x^2}{2}]_1^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
---------

Pour en revenir à l'énergie que contient une inductance, j'aime mieux présenter les choses autrement.

Supposons une inductance parfaite L parcourue par un courant I_o

Si on connecte (sans perte) une résistance aux bornes de cette inductance, toute l'énergie de l'inductance finira par se dissiper dans la résistance.

Il suffit donc de calculer l'énergie dissipée dans la résistance et on connaîtra l'énergie qu'avait l'inductance.

Je le fais:
On montre facilement que le courant (en prenant l'origine des temps au moment de la connexion de R sur L) est i(t) = Io.e^(-t.R/L)

L'énergie dissipée dans R est calculée par:

\int_0^{\infty}\ R.I^2\ dt

4$ \int_0^{\infty}\ R.I^2\ dt = \int_0^{\infty}\ R.I_o^2.e^{-2t\frac{R}{L}}\ dt

4$ \int_0^{\infty}\ R.I^2\ dt = -R.I_o^2 \frac{L}{2R}[e^{-2t\frac{R}{L}}]_0^{\infty}

4$ \int_0^{\infty}\ R.I^2\ dt = -I_o^2 \frac{L}{2}.(0-1)

4$ \int_0^{\infty}\ R.I^2\ dt =  \frac{1}{2}.L.I_o^2

Et donc l'énergie dans l'inductance était \frac{1}{2}.L.I_o^2
-----
Sauf distraction.  

Posté par
letoniore : bilan énergétique d une bobine 04-09-05 à 11:22

Le résultat d'une intégrale est un nombre.
Le résultat d'une primitive est une fonction.
Bein oui je sais bien, et c'est pour ça que j'ai besoin de précision concernant l'utilisation de ces notations...

Posté par
letoniore : bilan énergétique d une bobine 04-09-05 à 11:47

Le résultat d'une intégrale est un nombre.
Le résultat d'une primitive est une fonction.
A la réflexion, Je ne vois pas pourquoi. Dans une intégrale comme celle de mon bouquin, j'arrive à :
Ee= 1/2 L.i(t)^2    et il s'agît bien d'une fonction non?

Par contre je crois comprendre ce qui te donne le droit d'utiliser directement une primitive dans ta démonstration de 19h26.


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