Fiche de physique - chimie
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Action mécanique transmissible par une liaison

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contribution réalisée par Ludovic WAGNER

Liaison parfaite

Définition:
Une liaison parfaite est une liaison tel que:
Les possibilités de mouvement relatif sont obtenus à partir de surface de contacts géométriquement parfaite qui ont entres elles un jeu de fonctionnement supposé nul,
le contact de ces surfaces est supposé sans adhérence.

Une liaison parfaite est donc une liaison théorique.
A chaque mobilité correspond une composante nulle du torseur de liaison.
A chaque non-mobilité correspond une composante du torseur de liaison.

\left( \begin{array}{cc} T_x&R_x \\ T_y&R_y \\ T_z&R_Z \end{array}\right) \Longrightarrow \Big[T_{1\to 2} \Big]= \left \lbrace \begin{array}{cc}X_A&L_A \\ Y_A&M_A \\ Z_A&N_A\end{array} \right \rbrace _A
 \\\Big[T_{1\to 2} \Big]_A =  \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}\overrightarrow{A_{1\to 2}} & \sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}} \\  \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}} & \sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}}) \end{array} \right \rbrace _A \\ \end{array}


Actions mutuelles

\overrightarrow{F_{1\to 2}}=-\overrightarrow{F_{2\to 1}}
\Big[T_{1\to 2} \Big]_A= \lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{1\to 2}}=\sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}} \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}}=\sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}})\end{array}\rbrace _A
\Big[T_{1\to 2}\Big]_A= \lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{1\to 2}}=\sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}}=-\sum \overrightarrow{F_{i^{2\to 1}}}=-\overrightarrow{A_{2 \to 1}} \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}}=\sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}})=-\overrightarrow{\text{M}^{2\to 1}_{A}}\end{array}\rbrace _A
D'où \boxed{\Big[T_{1\to 2} \Big]=-\Big[T_{2\to 1}\Big]}


Liaison mécanique parfaite

Exemple: Linéique annulaire d'axe x

 \left( \begin{array}{cc}    T_x & R_x\\    0 & R_y\\    0 & R_z \end{array} \right) \Longrightarrow \left \lbrace  \begin{array}{cc}     0 & 0\\     Y & 0\\     Z & 0\\ \end{array} \right \rbrace


Cas particulier: l'Hélicoïdale

Action mecanique transmissible par une liaison : image 1

Exemple: hélicoïdale d'axe x

\left( \begin{array}{cc}     T_x & R_x\\     0 & 0\\     0 & 0 \end{array} \right)     \hspace{0.1cm}\text{avec}\hspace{0.2cm}T_x=R_x \frac{p}{2\pi}     \hspace{0.1cm}\longleftarrow R_x \hspace{0.2cm}\text{en radians}\\   \\ \Longrightarrow \left \lbrace  \begin{array}{cc}     X & L\\     Y & M\\     Z & N \end{array} \right \rbrace  \hspace{0.1cm}\text{avec \underline{5 inconnus}}


Contacts réels entre solides

Si l'effort s'exerce en un point, la pression de contact devient infinie ce qui est impossible, il existe donc une surface finie de contact (écrasement), d\overrightarrow{f} est la force de contact de 1\to 2 s'appliquant sur un élément de surface dS.


Contact réel entres solides



Force élémentaire de contacts

Action mecanique transmissible par une liaison : image 2


Densité de force

Définition :
La densité de force de contact de 1\to 2 au point p est la limite du rapport \frac{d\overrightarrow{f}}{dS} quand dS tend vers 0.

D'où \overrightarrow{\delta}=\frac{d\overrightarrow{f}}{dS} avec df en N, dS en mm et \delta en MPa.
\overrightarrow{\delta} est un bipoint, projection ce vecteur, densité \overrightarrow{\delta} sur le plan p et la normale \overrightarrow{n} à ce plan.

Action mecanique transmissible par une liaison : image 3
\delta_n est appelé densité normale en p
\delta_n est appelé densité tangentielle de \overrightarrow{n} en p
||\overrightarrow{\delta}|| est appelé pression locale de contact p



Loi de Coulomb

Soit deux solides en contacts.
Définition:
il y a adhérence en p si il n'y a pas de mouvement relatif entre 1 et 2 au point p.
D'où \overrightarrow{V_{p 1\to 2}}=\overrightarrow{0}
il a frottements en p si il y a mouvement relatif entre 1 et 2 au point p.
D'où \overrightarrow{V_{p 1\to 2}}\neq \overrightarrow{0}
\overrightarrow{V_{p 1\to 2}} est appelé vecteur vitesse de glissement au point p.


Premier cas: \overrightarrow{V_{p 1\to 2}}\neq \overrightarrow{0}
Il y a glissement relatif de 2/1 en p.

Le support de la force élémentaire de la force de contact (p,d\overrightarrow{F_1}_{\to 2})\in (p,\overrightarrow{n}, \overrightarrow{V_p}_{2/1}),se support est incliné d'un angle \varphi par rapport à la normale du côté opposé à V, on a \boxed{d\overrightarrow{F_1}_{\to 2} . \overrightarrow{V_1}_{\to 2}<0}

L'angle \varphi caractérise la nature du contact en p des solides 1 et 2, il ne dépend que de la nature des matériaux et de l'état des deux surfaces en contact.
Définition:
f=\tan \varphi est appelé coefficient de frottement.



Exemples:
acier sur acier poli à sec f=0.10
fonte sur fonte au bronze à sec f=0.16
acier ou fonte sur bronze ou fonte lubrifiée f=0.07
acier ou fonte sur garniture de frictions à sec (Ferodo) f=0.45
pneu neuf sur chaussée sèche f=0.60
pneu neuf sur chaussée mouillée f=0.35


Conséquence des lois de Coulombs

Quand deux solides glissent l'un sur l'autre, le support de la force de contact \overrightarrow{F_i1\to 2} en P_i se trouve sur la surface d'un cône de sommet P_i d'axe P_i\overrightarrow{n} et de demi angle au sommet \varphi tel que \tan\varphi=f, se cône est apppelé cône de frottements en P_i, l'angle \varphi est appelé angle de frottement.


Projection

Action mecanique transmissible par une liaison : image 4
Soit \overrightarrow{T} la projection de \overrightarrow{F} dans le plan tangent commun
et \overrightarrow{N} la projection de \overrightarrow{F} sur la normale p\overrightarrow{n}, on a
\boxed{||\overrightarrow{T}||=||\overrightarrow{N}||.f}



Deuxième cas: \overrightarrow{V_p2/1}

Il y a adhérence de 2 sur 1 en p. Le support de la force de contact \overrightarrow{F_p2/1} fait avec l'axe p\overrightarrow{n} un angle \theta inconnu tel que \boxed{\theta<\varphi}. On sait seulement que le support de la force se trouve l'intérieur du cône de frottement.

Action mecanique transmissible par une liaison : image 5



Cas particulier important

Pour résoudre un problème, on se place habituellement dans le cas limite appelé équilibre strict pour lequel il y a équilibre limite ou tendance au mouvement, alors \theta=\varphi. Donc si \overrightarrow{V_p2/1}=\overrightarrow{0}, deux cas possibles.
équilibre
équilibre strict
soit \boxed{||\overrightarrow{T}||\leq||\overrightarrow{N}||.f}.


Exemple

Action mecanique transmissible par une liaison : image 6
AB=6 cm
AM=d
en A et B f=0.1
\alpha={30°;50°;70°}
\overrightarrow{||M||}=800 N



Calcul de la distance AM maximale pour \alpha=\lbrace 30^o;50^o;70^o\rbrace

Expressions analytiques

\begin{array}{l|l}\overrightarrow{AB}&-6\cos(\alpha)\\ &6\sin(\alpha)\\&o\end{array} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{AM}&-d\cos(\alpha)\\ &d\sin(\alpha)\\&o\end{array}



Torseur

   \Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace    \begin{array}{l|l}\overrightarrow{A_{s\to e}}&-A\sin\varphi\\\;}&A\cos\varphi\\\; }&0\end{array}   \hspace{0.2cm}   \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}_A^{s\to e}}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array}   \right\rbrace _B
\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_B &=& \left\lbrace    \begin{array}{l|l}\overrightarrow{B_{m\to e}}&B\cos\varphi\\\; }&B\sin\varphi\\\; }&0\end{array}   \hspace{0.2cm}   \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_B}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array}   \right\rbrace _B
\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_M &=& \left\lbrace    \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{M}_{o\to e}}&0\\\; }&-800\\\; }&0\end{array}   \hspace{0.2cm}   \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_M}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array}   \right\rbrace _M


Changement de points

\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace    \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{s\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{s\to e}_A}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace _A
\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace    \begin{array}{l}\overrightarrow{B_{m\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_A}=\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_B}+   \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{B_{m\to e}}\end{array}\right\rbrace _A\\
\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace    \begin{array}{l}\overrightarrow{M_{o\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_A}=\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_M}+   \overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{M_{o\to e}}\end{array}\right\rbrace _A

\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace    \begin{array}{l|l}\overrightarrow{A_{s\to e}}&-A\sin\varphi\\\;}&A\cos\varphi\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm}   \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}_A^{s\to e}}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array}\right\rbrace _A
\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace    \begin{array}{l|l}\overrightarrow{B_{m\to e}}&B\cos\varphi\\\; }&B\sin\varphi\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm}   \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_A}&0\\\; }&0\\\; }&-6B\sin(\alpha+\varphi)\end{array}\right\rbrace _A
\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace    \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{M}_{o\to e}}&0\\\; }&-800\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm}   \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{o\to   e}_A}&0\\\; }&0\\\; }&800d\cos(\alpha)\end{array}\right\rbrace _A

On a \displaystyle (S)\left \lbrace \begin{array}{c @{ } c}     -A\sin(\varphi)+B\cos(\varphi) = 0 & (L_1) \\  A\cos(\varphi)+B\sin(\varphi)-800 = 0 & (L_2) \\ -6B\sin(\alpha+\varphi)+800s\cos(\alpha)=0 & (L_3) \end{array} \right.

B=A\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}\hspace{0.5cm}(L_1)
A\frac{\cos^2(\varphi)}{\cos(\varphi)}+A\frac{\sin^2(\varphi)}{\cos(\varphi)}-800=0\hspace{0.5cm}(L_2)
\frac{A}{\cos(\varphi)}=800\quad\Longrightarrow\quad A=800\cos(\varphi)

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} A & 800\cos(\varphi) \\ B & 800\sin(\varphi)\end{array}\right.

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}   800d\cos(\alpha)&6\times 800\sin(\varphi)\sin(\alpha+\varphi) \\d&6\times\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\alpha)}\sin(\alpha+\varphi) \end{array} \right.

On trouve \begin{array}{l|c}\alpha&d\\\hline 30^o&0.424\\50^o&0.767\\70^o&1.692\end{array}


Torseur d'action mécanique réel

Dans une liaison réelle, étant donné qu'il peut y avoir un mouvement relatif, il existe un jeu fonctionnel. Les surfaces en contact se sont jamais parfaites et on ne peut pas toujours négliger les frottements.

Exemple : liaison appui plan réelle d'axe \overrightarrow{x}

Action mecanique transmissible par une liaison : image 8
(A;\overrightarrow{x}): normale au plan de contact
(A;\overrightarrow{x};\overrightarrow{z}): plan de symétrie de la force appliquée

La force élementaire de contact en p est inclinée par rapport à la normale p\overrightarrow{n} de l'angle \varphi en sens contraire de \overrightarrow{V_P2/1}. Le torseur de liaison \left[T_{1\to 2}\right]_A se définit par
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}    \overrightarrow{A_{1\to 2}} & \sum \overrightarrow{dF_i1\to 2}  \\ \overrightarrow{\text{m}^{1\to2}_A} & \sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge d\overrightarrow{F_i1\to  2}) \end{array} \right \rbrace _A
la résultante \overrightarrow{A_{1\to 2}} de toutes les forces élementaires de contact d\overrightarrow{F_i1\to 2} fait aussi un angle \varphi par rapport à la normale donc, \overrightarrow{A_{1\to 2}}=X\overrightarrow{x}+Z\overrightarrow{z}.
Le moment \overrightarrow{\text{m}^{1\to2}_A} est porté par l'axe O\overrightarrow{y} donc, de la forme \overrightarrow{\text{m}^{1\to2}_A}=M\overrightarrow{y}.
\left[T_{1\to 2}\right]_A=\left\lbrace \begin{array}{ll}X&0\\0&M\\Z&0\end{array}\right\rbrace _A
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