Une liaison parfaite est une liaison tel que:
Les possibilités de mouvement relatif sont obtenus à partir de surface de contacts géométriquement parfaite qui ont entres elles un jeu de fonctionnement supposé nul,
le contact de ces surfaces est supposé sans adhérence.
Une liaison parfaite est donc une liaison théorique.
A chaque mobilité correspond une composante nulle du torseur de liaison.
A chaque non-mobilité correspond une composante du torseur de liaison.
Actions mutuelles
D'où
Liaison mécanique parfaite
Exemple: Linéique annulaire d'axe
Cas particulier: l'Hélicoïdale
Exemple: hélicoïdale d'axe
Contacts réels entre solides
Si l'effort s'exerce en un point, la pression de contact devient infinie ce qui est impossible, il existe donc une surface finie de contact (écrasement), est la force de contact de s'appliquant sur un élément de surface .
Contact réel entres solides
Force élémentaire de contacts
Densité de force
Définition :
La densité de force de contact de au point est la limite du rapport quand tend vers .
D'où avec en N, en mm et en MPa.
est un bipoint, projection ce vecteur, densité sur le plan et la normale à ce plan.
est appelé densité normale en est appelé densité tangentielle de en est appelé pression locale de contact
Loi de Coulomb
Soit deux solides en contacts.
Définition:
il y a adhérence en si il n'y a pas de mouvement relatif entre et au point .
D'où il a frottements en si il y a mouvement relatif entre et au point .
D'où est appelé vecteur vitesse de glissement au point .
Premier cas: Il y a glissement relatif de en .
Le support de la force élémentaire de la force de contact ,se support est incliné d'un angle par rapport à la normale du côté opposé à , on a
L'angle caractérise la nature du contact en des solides 1 et 2, il ne dépend que de la nature des matériaux et de l'état des deux surfaces en contact.
Définition:
est appelé coefficient de frottement.
Exemples: acier sur acier poli à sec fonte sur fonte au bronze à sec acier ou fonte sur bronze ou fonte lubrifiée acier ou fonte sur garniture de frictions à sec (Ferodo) pneu neuf sur chaussée sèche pneu neuf sur chaussée mouillée
Conséquence des lois de Coulombs
Quand deux solides glissent l'un sur l'autre, le support de la force de contact en se trouve sur la surface d'un cône de sommet d'axe et de demi angle au sommet tel que , se cône est apppelé cône de frottements en , l'angle est appelé angle de frottement.
Projection
Soit la projection de dans le plan tangent commun
et la projection de sur la normale , on a
Deuxième cas:
Il y a adhérence de sur en . Le support de la force de contact fait avec l'axe un angle inconnu tel que . On sait seulement que le support de la force se trouve l'intérieur du cône de frottement.
Cas particulier important
Pour résoudre un problème, on se place habituellement dans le cas limite appelé équilibre strict pour lequel il y a équilibre limite ou tendance au mouvement, alors .
Donc si , deux cas possibles.
équilibre
équilibre strict
soit .
Exemple
AB=6 cm
AM=d
en A et B ={30°;50°;70°}
=800 N
Calcul de la distance maximale pour
Expressions analytiques
Torseur
Changement de points
On a
On trouve
Torseur d'action mécanique réel
Dans une liaison réelle, étant donné qu'il peut y avoir un mouvement relatif, il existe un jeu fonctionnel. Les surfaces en contact se sont jamais parfaites et on ne peut pas toujours négliger les frottements.
Exemple : liaison appui plan réelle d'axe
normale au plan de contact
plan de symétrie de la force appliquée
La force élementaire de contact en est inclinée par rapport à la normale de l'angle en sens contraire de . Le torseur de liaison se définit par
la résultante de toutes les forces élementaires de contact fait aussi un angle par rapport à la normale donc, .
Le moment est porté par l'axe donc, de la forme .
Publié par Tom_Pascal
le
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![\left( \begin{array}{cc} T_x&R_x \\ T_y&R_y \\ T_z&R_Z \end{array}\right) \Longrightarrow \Big[T_{1\to 2} \Big]= \left \lbrace \begin{array}{cc}X_A&L_A \\ Y_A&M_A \\ Z_A&N_A\end{array} \right \rbrace _A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\left( \begin{array}{cc} T_x&R_x \\ T_y&R_y \\ T_z&R_Z \end{array}\right) \Longrightarrow \Big[T_{1\to 2} \Big]= \left \lbrace \begin{array}{cc}X_A&L_A \\ Y_A&M_A \\ Z_A&N_A\end{array} \right \rbrace _A)
![\\\Big[T_{1\to 2} \Big]_A = \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}\overrightarrow{A_{1\to 2}} & \sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}} \\ \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}} & \sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}}) \end{array} \right \rbrace _A \\ \end{array}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex? \\\Big[T_{1\to 2} \Big]_A = \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}\overrightarrow{A_{1\to 2}} & \sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}} \\ \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}} & \sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}}) \end{array} \right \rbrace _A \\ \end{array})
![\Big[T_{1\to 2} \Big]_A= \lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{1\to 2}}=\sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}} \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}}=\sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}})\end{array}\rbrace _A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{1\to 2} \Big]_A= \lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{1\to 2}}=\sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}} \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}}=\sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}})\end{array}\rbrace _A)
![\Big[T_{1\to 2}\Big]_A= \lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{1\to 2}}=\sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}}=-\sum \overrightarrow{F_{i^{2\to 1}}}=-\overrightarrow{A_{2 \to 1}} \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}}=\sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}})=-\overrightarrow{\text{M}^{2\to 1}_{A}}\end{array}\rbrace _A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{1\to 2}\Big]_A= \lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{1\to 2}}=\sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}}=-\sum \overrightarrow{F_{i^{2\to 1}}}=-\overrightarrow{A_{2 \to 1}} \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}}=\sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}})=-\overrightarrow{\text{M}^{2\to 1}_{A}}\end{array}\rbrace _A )
![\boxed{\Big[T_{1\to 2} \Big]=-\Big[T_{2\to 1}\Big]}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\boxed{\Big[T_{1\to 2} \Big]=-\Big[T_{2\to 1}\Big]})
 \Longrightarrow \left \lbrace \begin{array}{cc} 0 & 0\\ Y & 0\\ Z & 0\\ \end{array} \right \rbrace)
 \hspace{0.1cm}\text{avec}\hspace{0.2cm}T_x=R_x \frac{p}{2\pi} \hspace{0.1cm}\longleftarrow R_x \hspace{0.2cm}\text{en radians}\\ \\ \Longrightarrow \left \lbrace \begin{array}{cc} X & L\\ Y & M\\ Z & N \end{array} \right \rbrace \hspace{0.1cm}\text{avec \underline{5 inconnus}})
est la force de contact de 
s'appliquant sur un élément de surface 
.
avec 
en N, 
en MPa.
est un bipoint, projection ce vecteur, densité 
et la normale 
à ce plan.
en \in (p,\overrightarrow{n}, \overrightarrow{V_p}_{2/1}))
,se support est incliné d'un angle 
par rapport à la normale du côté opposé à 
, on a 
est appelé coefficient de frottement.
en 
se trouve sur la surface d'un cône de sommet 
et de demi angle au sommet 
, se cône est apppelé cône de frottements en 
sur 
en 
fait avec l'axe 
un angle 
inconnu tel que 
. On sait seulement que le support de la force se trouve l'intérieur du cône de frottement.
.
Donc si 
, deux cas possibles.
.
![\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{A_{s\to e}}&-A\sin\varphi\\\;}&A\cos\varphi\\\; }&0\end{array} \hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}_A^{s\to e}}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array} \right\rbrace _B](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex? \Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{A_{s\to e}}&-A\sin\varphi\\\;}&A\cos\varphi\\\; }&0\end{array} \hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}_A^{s\to e}}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array} \right\rbrace _B )
![\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_B &=& \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{B_{m\to e}}&B\cos\varphi\\\; }&B\sin\varphi\\\; }&0\end{array} \hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_B}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array} \right\rbrace _B](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_B &=& \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{B_{m\to e}}&B\cos\varphi\\\; }&B\sin\varphi\\\; }&0\end{array} \hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_B}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array} \right\rbrace _B )
![\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_M &=& \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{M}_{o\to e}}&0\\\; }&-800\\\; }&0\end{array} \hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_M}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array} \right\rbrace _M](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_M &=& \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{M}_{o\to e}}&0\\\; }&-800\\\; }&0\end{array} \hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_M}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array} \right\rbrace _M )
![\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{s\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{s\to e}_A}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace _A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{s\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{s\to e}_A}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace _A )
![\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{B_{m\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_A}=\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_B}+ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{B_{m\to e}}\end{array}\right\rbrace _A\\](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{B_{m\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_A}=\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_B}+ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{B_{m\to e}}\end{array}\right\rbrace _A\\ )
![\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{M_{o\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_A}=\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_M}+ \overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{M_{o\to e}}\end{array}\right\rbrace _A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{M_{o\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_A}=\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_M}+ \overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{M_{o\to e}}\end{array}\right\rbrace _A )
![\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{A_{s\to e}}&-A\sin\varphi\\\;}&A\cos\varphi\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}_A^{s\to e}}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array}\right\rbrace _A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{A_{s\to e}}&-A\sin\varphi\\\;}&A\cos\varphi\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}_A^{s\to e}}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array}\right\rbrace _A )
![\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{B_{m\to e}}&B\cos\varphi\\\; }&B\sin\varphi\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_A}&0\\\; }&0\\\; }&-6B\sin(\alpha+\varphi)\end{array}\right\rbrace _A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{B_{m\to e}}&B\cos\varphi\\\; }&B\sin\varphi\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_A}&0\\\; }&0\\\; }&-6B\sin(\alpha+\varphi)\end{array}\right\rbrace _A )
![\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{M}_{o\to e}}&0\\\; }&-800\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_A}&0\\\; }&0\\\; }&800d\cos(\alpha)\end{array}\right\rbrace _A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{M}_{o\to e}}&0\\\; }&-800\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_A}&0\\\; }&0\\\; }&800d\cos(\alpha)\end{array}\right\rbrace _A )
\left \lbrace \begin{array}{c @{ } c} -A\sin(\varphi)+B\cos(\varphi) = 0 & (L_1) \\ A\cos(\varphi)+B\sin(\varphi)-800 = 0 & (L_2) \\ -6B\sin(\alpha+\varphi)+800s\cos(\alpha)=0 & (L_3) \end{array} \right.)
}{\cos(\varphi)}\hspace{0.5cm}(L_1))
}{\cos(\varphi)}+A\frac{\sin^2(\varphi)}{\cos(\varphi)}-800=0\hspace{0.5cm}(L_2))
}=800\quad\Longrightarrow\quad A=800\cos(\varphi))
 \\ B & 800\sin(\varphi)\end{array}\right.)
&6\times 800\sin(\varphi)\sin(\alpha+\varphi) \\d&6\times\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\alpha)}\sin(\alpha+\varphi) \end{array} \right. )
. Le torseur de liaison ![\left[T_{1\to 2}\right]_A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\left[T_{1\to 2}\right]_A)
se définit par
 \end{array} \right \rbrace _A)
de toutes les forces élementaires de contact 
fait aussi un angle 
.
est porté par l'axe 
donc, de la forme 
.
![\left[T_{1\to 2}\right]_A=\left\lbrace \begin{array}{ll}X&0\\0&M\\Z&0\end{array}\right\rbrace _A](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\left[T_{1\to 2}\right]_A=\left\lbrace \begin{array}{ll}X&0\\0&M\\Z&0\end{array}\right\rbrace _A)
Publié par Tom_Pascal
le
quand 
.
est appelé vecteur vitesse de glissement au point 
maximale pour 
forum de première