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Refraction : démontrer descartes.
Bonjour à tous !!
J'ai absolument besoin de votre aide! Je suis en 1ère S en TPE Maths-Physique et notre TPE porte sur les mirages. Le problème de mon groupe : quasiment pas de partie mathématiques. En fait, nous en avions éventuellement une mais qui a tourné court.
Je vous explique: on veut redémontrer la loi de Desartes Snell (n1 sini1 = n2 sini2). Nous avions trouvé à plusieurs reprises l'histoire d'un athlète/sauveur qui veut aller sauver quelqu'un qui se noie en mer. Il court sur le sable plus vite qu'il ne nage : quel chemin doit-il parcourir(la ligne droite est déconseillé car il y a trop de trajet dans l'eau). Le problème : nous ne trouvons pas les calculs mathématiques pour déterminer le point de contact entre sable et mer (comme entre le dioptre entre les deux milieux pour la réfraction).
JE vous demande donc si vous connaissez la démonstration mathématiques qui aboutit à n1 sini1 = n2 sini2.
Notre professeur de mathématiques nous a dt que cette démonstration était fausse (enfin le résultat juste mais la démonstration pas terrible apparement) si cela peut vous aider.
http://perso.orange.fr/lyceebrizeux.cpge/Mirages.htm
a, b et c sont imposés par le problème.
soit v1 : vitesse de parcours sur MP.
soit v2 : vitesse de parcours sur PN.
MP = racine(c²+x²)
t1 = [racine(c²+x²)]/v1
PN = racine(a²+(b-x)²)
t2 = [racine(a²+(b-x)²)]/v2
t = t1 + t2
t = [racine(c²+x²)]/v1 + [racine(a²+(b-x)²)]/v2
Il y a un extremum dans le temps si dt/dx = 0.
Cet extrémum est forcément un minimum mais si on voulait le démontrer mathématiquement, il faudrait étudier le signe de dx/dt.
dt/dx = 0.
x/(V1.racine(c²+x²)) - (b-x)/(v2.racine(a²+(b-x)²) = 0
x/(V1.racine(c²+x²)) = (b-x)/(v2.racine(a²+(b-x)²)
x²/(V1².(c²+x²)) = (b-x)²/(v2².(a²+(b-x)²)
x².v2².(a²+(b-x)²) = (b-x)²V1².(c²+x²)
a².x².v2²+ (b-x)²x².V2² = (b-x)²V1².(c²+x²)
Or PQ = QN.tg(theta2)
(b-x) = a.tg(theta2)
et
x = c.tg(theta1)
-->
a².c².tg²(theta1).v2²+ a².tg²(theta2).c².tg²(theta1).V2² = a².tg²(theta2).V1².(c²+c².tg²(theta1))
tg²(theta1).v2²+ tg²(theta2).tg²(theta1).V2² = tg²(theta2).V1².(1+tg²(theta1))
tg²(theta1).v2².(1 + tg²(theta2)) = tg²(theta2).V1².(1+tg²(theta1))
tg²(theta1).v2²/(cos²(theta2)) = tg²(theta2).V1²/(cos²(theta1))
[sin²(theta1)/cos²(theta1)].v2²/(cos²(theta2)) = [sin²(theta2)/cos²(theta2)].V1²/(cos²(theta1))
sin²(theta1).v2² = sin²(theta2).V1²
Et comme theta et theta aigus --> sin(theta1) et sin(theta2) > 0 -->
sin(theta1).v2 = sin(theta2).V1
sin(theta1)/v1 = sin(theta2)/V2
Le temps de parcours est donc minimmum si on a: sin(theta1)/v1 = sin(theta2)/V2
-----
Il y a sans aucun doute plus direct comme démo.
Merci beaucoup J-P mais je crains qu'elle ne soit un peu compliqué pour moi ! Si quelqu'un a une autre façon de préférence plus simple, je suis preneur. Merci J-P j'envoi ça à mon prof de maths au cas où !
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