Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Recherche du maximum de puissance (étude de fonction) 1ère S
Voila un petit exercice qui me pose quelques problèmes...Notament a partir de la question 4°)
1°)
On considère un générateur de force électromitrice E et de résistance interne r qui débite sur un résistor de résistance R variable.
On désigne par P la puissance dépensée dans le résistor.
On sait que, si i désigne l'intensité du courant, on a :
E = (r+R)i et P = Ri2
Les résistances R et r sont exprimées en ohms.
On a r = 0.5 ohms et l'on désigne par x la valeur de R.
E est exprimée en volts et E = 3 V.
P est exprimée en watts et i en ampères.
Montrer que P est une fonction de x que l'on déterminera.
Réponse trouvée :
E = (o.5+x)i
soit (o.5+x)i = 3
P = xi2
et i = 3 / (0.5+x)
donc P = 3/(0.5+x)2
donc P = 9x/(x+1/2)2
2°)
Soit f, la fonction définie sur [0;+ l'infini[
f(x) = 9x/(x+1/2)2[/i]
Déterminer les nombres réels a et b, tels que, pour tout x de [0;+ l'infini[ :
f(x) = a / (x+1/2) + b / (x+1/2)2
Réponse trouvée:
f(x) = 9 / (x+1/2) - 4.5 / (x+1/2)2
3°)
Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.
Déterminer, en particulier, la limite de f en +l'infini et préciser l'asymptote a C (la courbe représentative de f(x))
Ca, ça devrait aller...
4°)
Soit D la droite passant par les points d'abcsisses 0.5 et 1 de C
a. Déterminer l'équation réduite de D
b. Montrer que D recoupe C en un troisième point, dont on déterminera les coordonnées
Là, ça coince...
5°)
Montrer que la puissance P, dépensée dans le résistor du cicuit étudié en 1°), est maximale pour une valeur de R que l'on précisera.
Quelle est cette puissance maximale ?
Là aussi...
droite A(1/2 ; 9/2) et B(1 ; 4)
à toi de déterminer C = Droite(AB) inter (Courbe f)
Philoux
pour le maximum, annule la dérivée => x=1/2
sauf erreur...
Philoux
1°) OK
-----
2°) OK
-----
4°)
a)
f(0,5) = 4,5
f(1) = 4
D passe par les points de coordonnées (0,5 ; 4,5) et (1 ; 4)
D: y = -x + 5
---
b)
Résoudre le système:
y = -x + 5
y = 9x/(x+ 1/2)²
9x/(x+ 1/2)² = -x+5
9x = (x+ 1/2)².(5-x)
9x = (x² + 0,25 + x)(5-x)
9x = 5x² + 1,25 + 5x - x³ - 0,25x - x²
x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 = 0
On sait que x = 0,5 et x = 1 sont solutions par la partie 4a -->
x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 est divisible par (x-0,5)(x-1) = x²-1,5x+0,5
Le quotient de la division de x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 par (x²-1,5x+0,5) est égam à (x-2,5)
--> x = 2,5 est solution de x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 = 0
f(2,5) = 2,5
D recoupe donc C au point de coordonnées (2,5 ; 2,5)
-----
5°)
(Ici tu devrais te servir de l'étude de f(x) du point 3°, je fais la partie utile au point 5°)
f(x) = 9x/(x+1/2)²
f '(x) = 9.((x+(1/2))²-2x(x+ (1/2)))/(x+(1/2))^4
f '(x) = 9.(x+(1/2)-2x))/(x+(1/2))³
f '(x) = 9.(-x+(1/2))/(x+(1/2))³
Comme x représente une résistance, on a x >= 0
f '(x) > 0 pour x dans [0 ; 1/2[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1/2
f '(x) < 0 pour x dans ]1/2 ; oo[ -> f(x) est décroissante.
f(x) est maximum pour x = 1/2
La puissance dans R est donc maximale pour R = 1/2 Ohm (soit R = r)
-----
Sauf distraction. 
Salut J-P
la droite AB a-t-elle (aurait-elle) une signification physique/électrique ?
même question pour le point C ?
Merci
Philoux
Pliloux,
Sans y avoir vraiment réfléchi.
Une résistance à coefficient de température négatif pourrait avoir une caractéristique qui ressemble à une portion de la droite bleue pour une température ambiante donnée.
(Cette caractéristique n'irait cependant linéairement jusqu'aux 2 axes, mais soit).
Si on mettait une telle résistance aux bornes du générateur (E,r) tel que décrit dans l'énoncé, on aurait alors 3 points de fonctionnements possibles en fonction de la température initiale imposée à la résistance avant de la brancher sur le montage.
Il serait aussi possible de faire sauter le point de fonctionnement d'un état dans un autre en modifiant la température de la résistance par une source de chaud (ou de froid) extérieure au montage électrique.
On peut sûrement alors trouver des applications utilisant ce principe.
-----
merci J-P pour cette explication
autrement dit, vu le niveau de l'exo, cette question n'avait pour but de trouver un 3° point d'intersection à D inter C...
Autre question suite à ton explication de modification de température :
Si on modifiait la température à partir d'un point de fonctionnement donné, on modifierait la pente de la caractéristique bleue => on décrirait alors la courbe rouge continuement, non ?
Ma question était : comment, à partir d'une droite bleue donnée (pour une température donc pente donnée), passer du point de fonctionnement B au point de foctionnement C, par exemple.
Merci pour ces explications physiques qui débordent un peu du cadre purement mathématique de cet exo...
Philoux
Merci beaucoup pour ces explications !
Je vais étudier ca de plus près... enfin seulement celles concernant l'exercice, ou qui restent dans l'esprit mathématique !
Juste une petite question, a propos de la question 4°) b :
Je ne comprend pas vraiment pourquoi diviser l'équation trouvée dans le système par les points x =0.5 et x =1
J'ai quand même essayé, et est arrivé un deuxième problème: celui d'arrivé au résultat (x-2,5)
(x3 -4x2+4.25x-1.25)/(x2-1.5+0.5) ?
J'ai essayé avec le principe de la division euclidienne, mais cela me parait compliqué, et je n'arrive à rien...
Merci encore pour ces explications !
J'ai quelques soucis, concernant la question 4°) b :
Je ne comprends pas pourquoi diviser x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 par les solutions x = 0,5 et x = 1 soit par (x-0,5)(x-1) = x²-1,5x+0,5 ?
J'ai quand même essayer de trouver le résultat de la division, mais je n'y arrive pas...
Avec la méthode de la division euclidienne, ca me parait compliqué, et je n'aboutit à rien !
Merci encore pour ce petit renseignement qui m'aiderait beaucoup !
Par la partie 4a de l'exercice, on sait que x = 0,5 et x = 1 sont solutions de l'équation x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 = 0
On en conclut que x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 est divisible par (x-0,5)(x-1) = x²-1,5x+0,5.
En effectuant cette division (voir dessin), on trouve directement la troisième solution de l'équation soit x = 2,5.
oupsss....
je croyais que le premier message n'avait pas bien été envoyé...alors désolé de l'avoir retaper une deuxième fois ! Je ne voudrais pas paraitre trop pressante !
merci !
mais j'ai du mal à comprendre pourquoi faire cette division...pourquoi, pour x=0.5 et x=1, pouvoir diviser l'équation x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 = 0 par ces deux solutions ?
Enfin, on ne me l'aurait pas dit, je ne l'aurais jamais faite, et je ne voudrais pas rendre un devoir que je n'ai pas compris...
C'est pourtant assez évident.
On sait par l'énoncé que la droite D et la courbe C se coupent aux points d'abscisse 0,5 et 1
Donc il est évident que x = 0,5 et x = 1 sont solutions du système donné par les équations de C et de D.
Comme ce système aboutit à l'équation x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 = 0, il est encore évident que x = 0,5 et x = 1 sont solutions de cette équation et que donc x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 est divisible par (x-0,5).(x-1), soit par x²-1,5x+0,5.
Comme une équation du 3 ème degré a soit 1 , soit 3 solutions réelles et qu'on sait que x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 = 0 a au moins 2 solutions réelles (qui sont x = 0,5 et x = 1), on est certain qu'il y a une 3 ème solution.
Cette troisième solution est donc trouvée en effectuant la division de x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 par (x-0,5).(x-1) = x²-1,5x+0,5.
On trouve, (en ayant fait la division) qu'on a:
x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 = (x-0,5).(x-1).(x-2,5)
Et par conséquent, x=0,5, x=1 et x = 2,5 sont solutions de l'équation x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 = 0
-----
Que dire de plus ?
Rien à dire de plus !
C'était juste ça que je voulais savoir : "il est évident que x³ - 4x² + 4,25x - 1,25 est divisible par (x-0,5).(x-1)". En fait, je ne savais pas qu'on pouvait, ou plutôt devait diviser l'équation par ses solutions ; là se posait tout mon problème...
Alors annoncé comme ça, je me dis que c'est une chose à connaitre, un point c'est tout, et cette explication me va très bien !
Maintenant, je ne me laisserais plus avoir. Merci encore !
Annuler
connectez vous