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Projection d'un film
Un passionné de cinéma souhaite réhabiliter une ancienne salle de projection en utilisant un projecteur cinématographique à pellicule.
L'objectif du projecteur est constitué de deux lentilles convergentes accolées de distances focales respectives f'1 = 100 mm et f'2 = 150 mm.
Données techniques
Taille de l'écran : L1 = 9,25 x h1 = 4,75 m
Profondeur de la salle : D = 25 m
Taille de la pellicule : L2 = 24,00 mm x h2 = 12,98 mm
Un système optique est constitué de deux lentilles accolées l'une à l'autre. La première, L1, a pour centre O1 et une vergence C1. La deuxième, L2, a pour centre O2, confondu avec O1 et une vergence C2.
Ce système est équivalent à une lentille convergente de
centre optique O confondu avec O et donc O2 et de vergence C telle que
C = C1 + C2
A quelle distance de l'écran se passionné du cinéma doit-il placer le projecteur pour obtenir sur l'écran l'image la plus grande possible?
Merci beaucoup d'avance.
Bonsoir Youssefb84,
Les données de l'énoncé concernant les dimensions de l'écran et celles de la pellicule n'ayant guère de sens je suppose que ce sont en réalité :
Pour l'écran : L1 x h1 = 9,25m x 4,75 m
Pour la pellicule :L2 x h2 = 24 mm x 12,98 mm
On commence par calculer le grandissement du système optique :
On peut le faire soit par le rapport - ( 9,25/(24.10-3)) = -385 ( Rapport des longueurs)
Soit par le rapport - (4,75/(12,98.10-3)) = -366 (Rapport des hauteurs)
Le signe " - " traduit le fait que l'image est inversée par rapport à l'objet.
On retient la valeur 
= -366 pour que l'image soit entièrement projetée sur l'écran.
On calcule ensuite la distance focale image f' du système optique :
C = C1 + C2 donc 1/f' = 1/f1 + 1/f2
d'où f'=f1*f2/(f1+f2) = 0,10*0,15/(0,10+0,15) = 0,06m = 6cm
Enfin on applique la relation de conjugaison et la relation de grandissement
En éliminant entre ces deux relations on obtient
en fonction de f' et de
ce qui répond à la question posée.
On pourra alors vérifier si le résultat est compatible avec la profondeur de la salle.
Tout d'abord je n'ai pas compris le raisonnement que vous faites pour trouver vous calculs et ensuite je pas compris le calcul qu'il faut faire pour trouver la distance maximal.
Merci beaucoup pour vos efforts.
Bonsoir,
Si tu connais ton cours sur les lentilles et si tu as envie de comprendre comment on résout ce problème tu peux poser des questions précises sur ce que j'ai exposé.
On te répondra avec plaisir.
Tout d'abord merci beaucoup, ensuite, comment je doit faire pour trouver la distance la plus a la quelle le passionne devra placer le projecteur, et enfin vous pouvez préciser pourquoi et laquelle vous avez fait dans chaque étape.
Je vous remercie encore une fois
Dans ce problème on a :
Un objet : La pellicule
Une association de 2 lentilles : Elles constituent l'objectif du projecteur.
Une image : Elle se forme sur un écran.
Première étape : Calcul du grandissement de l'objectif :
On appelle grandissement de l'objectif le rapport entre la dimension de l'image et celle de l'objet.
Largeur de l'écran : 9,25 m
Largeur de la pellicule : 24 mm = 24.10-3 m
Grandissement en largeur : 9,25 / 24.10-3 = 385
L'écran est 385 fois plus large que la pellicule.
Hauteur de l'écran : 4,75m
Hauteur de la pellicule : 12,98 mm = 12,98.10-3 m
Grandissement en hauteur : 4,75 / 12,98.10-3 = 366
L'écran est 366 fois plus haut que la pellicule.
Pour que l'image soit la plus grande possible sur l'écran sans être coupée dans une de ses dimensions je choisis pour l'image le plus petit (366) des deux grandissements. Ainsi l'image occupera la totalité de la hauteur de l'écran et une grande partie de sa largeur.
Si j'avais choisi l'autre grandissement (385) l'image aurait occupé la totalité de la largeur de l'écran, mais elle aurait débordé en hauteur.
Enfin pour tenir compte que l'objet (pellicule) et l'image (sur l'écran) sont en sens inverse l'un de l'autre j'attribue un signe négatif au grandissement. ( Voir le cours à ce sujet )
Donc le grandissement noté sera égal à -366 ce qui signifie que l'image sera 366 fois plus grande que l'objet et qu'elle sera renversée par rapport à lui.
Avant d'aller plus loin as tu des questions à poser sur cette première étape ?
Oui, quelle est la formule pour calcule le grandissement de l'objectif, sinon merci beaucoup pour vos efforts et vous pouvez passer a la prochaine étape.
Cette formule viendra au moment de la troisième étape.
Mais elle fait partie des connaissances de base du cours à connaître avant de chercher à résoudre un exercice.
Pour la 2ème étape un peu de patience. J'y travaille.
Deuxième étape : Calcul de la distance focale de l'objectif
C'est probablement l'étape la plus simple.
Elle nécessite de connaître son cours et en particulier la définition de la vergence d'une lentille.
C = 1/f' ( ce qui entraîne bien entendu que f' = 1/C)
C est la vergence d'une lentille qui s'exprime en dioptries, unité de symbole 
f' est la distance focale de la lentille exprimée obligatoirement en mètres.
Lorsque deux lentilles minces de vergence C1 et C2 sont accolées, le système est équivalent à une lentille unique de vergence C=C1+C2
L'objectif du projecteur est justement constitué de deux lentilles accolées de distances focales
f'1 = 100 mm = 0,1m pour l'une et f'2 = 150 mm = 0,15m pour l'autre.
Les vergences de ces lentilles sont donc C1 = 1/0,1 = 10 pour la première et C2 = 1/0,15 = 6,67 pour la seconde.
Ces deux lentilles accolées sont équivalentes à une lentille unique de vergence C =C1+C2 = 10 + 6,67 = 16,67
La distance focale de cette lentille unique (équivalente aux deux lentilles accolées) est égale à f' = 1/C = 1/16,67 = 0,06m ( ou 6cm)
L'étape 2 est terminée : L'objectif a une distance focale f' = 0,06m (ou 6cm)
Comme précédemment j'attends ta réaction avant d'aborder la troisième et dernière étape.
Résumé des étapes précédentes :
On sait maintenant que l'objectif du projecteur a une distance focale f' = 0,06m et que l'image (renversée) qui est obtenue sur l'écran sera 366 fois plus grande que la pellicule ce qui se traduit par un grandissement γ = -366
Troisième étape : Calcul de la position du projecteur.
On utilise deux relations :
a) La relation de conjugaison :
est la distance entre l'objectif et la pellicule.
est la distance entre l'objectif et l'écran : C'est ce qu'on cherche
f' est la distance focale de l'objectif. Elle a été calculée dans la 2ème étape
b) La relation de grandissement :
γ a été calculé dans la 1ère étape
Dans ces deux relations on trouve :
a) Deux inconnues: et
Seule l'inconnue nous intéresse puisque elle représente la distance entre le projecteur et l'écran qui est l'objet de ce problème.
b) Deux termes f' et γ qui sont connus.
Il faut donc résoudre ce système de deux équations à deux inconnues, sachant qu'une seule de ces inconnues t'intéresse vraiment, ce que je vais te laisser faire car enfin il faut bien que tu participes un peu à l'élaboration de la solution de cet exercice ( pas très facile j'en conviens )
Non, tu n'as pas besoin de la valeur de tu as seulement besoin d'éliminer
Pour cela, à partir de la relation de grandissement tu exprimes en fonction de γ et
Tu va trouver = ........
Ensuite tu remplaces dans la relation de conjugaison par ce que tu as précédemment trouvé.
Cette technique, très classique, fera disparaître de la relation de conjugaison.
Ça fait 35 minutes que je suis en train de essayer de faire le calcul et j'arrive pas à vous pouvez de finaliser le calcul et l'exo s'il vous plaît, merci encore une fois.
Non. Finaliser l'exercice serait équivalent à le faire et à le rédiger à ta place ce que je ne veux pas faire.
Mais je peux essayer de t'aider encore .
A partir de :
Ecris à quoi est égal et poste ton résultat.
Aïe !
Non. C'est faux.
A partir de :
On obtient en appliquant les règles de l'algèbre :
Il te faut maintenant repartir de la relation de conjugaison et y remplacer par
Tu obtiendras alors une équation ne contenant que pour inconnue.
Il te suffira de résoudre cette équation pour avoir ce que tu cherches.
C'est extrèmement simple alors
Non courage !
On avance ....
Je corrige :
Cette fraction dont le dénominateur est aussi une fraction est encombrante :
Sers toi de :
pour alléger l'expression et trouve en fonction de
et de f'
C'est pas très gentil comme réponse mais je vous remercie quand même pour vos efforts. Et après je doit faire quoi
C'est pas très gentil comme réponse
Désolé, je ne voulais évidemment pas te blesser, mais il faut être réaliste et je t'engage donc à travailler très sérieusement ces techniques de base.
Tu n'as plus qu'à faire l'application numérique en remplaçant
et f' par leurs valeurs.Merci beaucoup pour vos conseils.
La valeur de f' est 1/0.06 mais la valeur de y on la connais pas, comment je doit faire alors
Non.
La valeur de f' n'est pas de 1/0,06
Elle a été trouvée dans l'étape 2 et rappelée en tout début d'étape 3.
La valeur de a été trouvée dans l'étape 1 et rappelée, elle aussi en tout début d'étape 3.
La valeur de y est donc:
javascript:void(0)
et après on remplace les valeurs car:
OA: est la distance entre l'objectif et la pellicule.
OA':est la distance entre l'objectif et l'écran
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