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optique

Posté par
omar 21-05-13 à 13:48

Soit ABC un prisme d'indice de réfraction par rapport à l'air n=1.5 tels que l'angle CAB vaut 90° , l'angle ABC vaut 60° et I est le milieu de [BC] .
une source lumineuse S est placée au demi-plan limité par la droite (BC) ne contenant pas A
- que doit être l'angle que fait le rayon SI avec la droite (BC) pour que sa trajectoire dans ABC soit maximale  

je vois que le rayon réfracté doit faire un angle supérieur à l'angle limite pour qu'il ait réflexion totale
mais supérieur de combien pour que sa trajectoire soit maximale ?

optique

Posté par
PerArGalre : optique 21-05-13 à 18:40

Bonjour,

Tu dois je crois considérer 2 choses:

- un élément strictement géométrique qui tient à la particularité du triangle: IC = IA = IB = c/2 donc les 3 points les "plus distants" de I sont A, B et C

- un élément physique qui est la loi de Descartes "n.sin(i) = n'.sin(i')"
avec ici n = 1, n' = 1,5 et i = /2 - angle(SI,BC)

Reste donc à trouver cette valeur de l'angle(SI,BC) qui te permettrait (si possible!) d'avoir

i' = /2  (rayon sort en B)
i' = -/2  (rayon sort en C)
i' = /6  (rayon sort en A) (c'est une considération géométrique qui produit le /6 )

Est plus "transparent"?



Posté par
omarre : optique 21-05-13 à 19:36

pourquoi la valeur de l'angle(SI,BC) doit nous permettre d'avoir

i' = /2  (rayon sort en B)
i' = -/2  (rayon sort en C)
i' = /6  (rayon sort en A)
?
tous ce que j'ai visualisé que ce rayon peut frapper les 3 cotés une infinité de fois donc rester dans le prisme sans en émerger
est ce qu'il y a une condition d'émergence pour ce forme de prisme ?

Posté par
PerArGalre : optique 21-05-13 à 19:58

Citation :
j'ai visualisé que ce rayon peut frapper les 3 cotés une infinité de fois donc rester dans le prisme sans en émerger


Alors tu es très fort!!!

Je te taquine très gentiment, rassure toi!  la loi de Descartes te dit que si le rayon est entré dans un milieu n' > n il en sortira ...

D'un point de vue énergétique (qui est peut être plus encore immédiat à comprendre), si la lumière (donc l'énergie) entrait sans jamais en sortir, le dispositif finirait par exploser je le crains

Posté par
omarre : optique 21-05-13 à 20:19

c'est bon donc merci pour la clarification
mais la question se pose encore
que doit être l'angle que fait le rayon SI avec la droite (BC) pour que sa trajectoire dans ABC soit maximale  
j'ai pas encore visualiser la méthode à suivre pour que ce rayon frappe le maximum de fois les cotés du prisme

Posté par
PerArGalre : optique 21-05-13 à 20:36

Citation :
pour que ce rayon frappe le maximum de fois les cotés du prisme


A moins qu'il y ait une partie de l'énoncé que tu ne nous as pas dit, tu ne dois pas te poser de problème de réflexion ... le rayon part de S, arrive en I, en I il entre dans un milieu d'indice n' = 1,5 poursuit sa course de manière rectiligne arrive en un point "M" et ressort de ce milieu!

Il faut donc déterminer M pour que le parcours dans ce milieu soit le plus long.

La géométrie te dit que les parcours les plus longs sont IA, IC et IB, mais parmi ces parcours, tous ne sont pas possibles du fait de la Loi de Descartes.

Si tu te posais des questions de réflexions (et le fait que tu y REFLECHISSES est à ton honneur!) alors la réponse à la question serait sans doute "quelque soit l'incidence non nulle le parcours est infini" puisque 1 rayon incident génère un rayon réfléchi (d'intensité 1/R2, cette remarque pour contrer toute question perfide sur la conservation de l'énergie sur un parcours infini, pas tout à fait du niveau de 1ere ..), donc à chaque rencontre du rayon avec AB, BC ou AC, il y a une distance supplémentaire à ajouter au parcours.

Posté par
omarre : optique 21-05-13 à 20:55

le problème c'est qu'il n'est pas nécessaire que le rayon émerge du prisme avec une seule frappe ( le problème est résolu si c'était le cas )  
il se peut( par exemple )  que ce rayon subit une réflexion en frappant (AB) puis (AC) puis il émerge par (BC) ce trajectoire peut être le plus long alors
pourquoi vous ne considérez pas cette possibilité ?

Posté par
omarre : optique 21-05-13 à 20:57

pourquoi pas ?

Posté par
PerArGalre : optique 21-05-13 à 21:15

Zut!!! je n'aurais pas du développer sur la réflexion ...

On va essayer de récupérer le coup rapidement! Toute aide est la bienvenue ...

Alors ... hum hum ... lorsque le rayon passe de l'air au prisme d'indice n tu dis il existe un angle limite ou la lumière ne sera pas transmise mais sera réfléchie (parce que un sinus ne peut être supérieur à 1). Tu ne te poses pas alors la question que quelque soit l'incidence une partie du rayon sera réfléchie: ET TU AS RAISON la surface n'est pas réfléchissante et cette partie réfléchie est au plus "négligeable" ...

Tiens donc le même raisonnement lorsque le rayon arrive (depuis l'intérieur du prisme) à l'interface prisme/air:

appelons cette incidence, le bon Descartes te dit:

1,5 sin = 1 sin x  (x étant l'angle de sortie)  donc quelque soit compris en tre 0 et /2, comme sin x = sin /1,5 tu pourras déterminer un angle x: la lumière DOIT ressortir. Ce n'était pas le cas à l'entrée où on ne divisait pas par 1,5 mais on multipliait par 1,5 et où il y avait donc un angle limite.

Est ce plus clair?

Posté par
omarre : optique 21-05-13 à 21:53

le rayon réfracté peut subir une réflexion totale en frappant un coté du prisme
c'est un cas ou le rayon incident fait 68° avec BC en I
le rayon réfracté fait un angle 45° avec sa normale ( supérieur à l'angle limite qui est de 42 )


optique

Posté par
PerArGalre : optique 21-05-13 à 22:23

Citation :
le rayon réfracté peut subir une réflexion totale en frappant un coté du prisme


Peux tu justifier cette proposition STP?

Posté par
omarre : optique 21-05-13 à 23:19

je pense qu'on a 3 cas en étudiant le passage de la lumière d'un milieu transparent à l'air
1ercas : le rayon se réfracte si i< ( dans notre problème je vois que c'est peu probable car il peut subir la réflexion totale donc une trajectoire plus longue )
2emecas : i= le rayon se réfracte et sort tangentiellement à la surface de séparation
3emecas : i> : réflexion totale
logiquement , pour que le rayon ait la plus longue trajectoire il faut qu'il subit plusieurs réflexion non ?

Posté par
PerArGalre : optique 22-05-13 à 12:43

Bonjour Omar,

Je regarde ton dessin ... et je m'aperçois que j'ai fait une belle boulette ... ton prisme a en effet une forme particulière que j'avais pourtant bien pris en compte ne toute première lecture puis oublié pour considérer que le prisme avait des angles à 45° (sans doute la vue de ton 1er dessin ... il me faut bien trouver des excuses).

Alors on reprend:

1) le rayon entre en I avec une incidence ii:  i_1 \in ]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[

2) Descartes nous dit que le rayon émerge dans le prisme (n'>n) avec une incidence i2:

n'sin(i_2) = sin(i_1) (n = 1)

i_2 \in ]-Arcsin(\frac{1}{n'}) ; Arcsin(\frac{1}{n'})[

Donc selon la valeur de i_2 le rayon arrivera sur AB ou sur AC

3) traitons le cas de AB:

Soit i_3 l'incidence entre le rayon et la normale à (AB), on a la relation

\frac{\pi}{2} -i_3 + \frac{\pi}{3} + i_2 = \pi

Soit

i_3 = i_2 - \frac{\pi}{6}

Et là effectivement on peut avoir |i_3| > Arcsin(\frac{1}{n'})

4) Supposons que l'incidence i3 soit telle qu'il y ait réflexion sur (AB) alors le rayon arrive sur (AC) avec une incidence i4 telle que:

i_4 = \frac{\pi}{2} - i_3

Dans le cas où i_4 > Arcsin(\frac{1}{n'}), il y a à nouveau réflexion

5) la bonne nouvelle c'est qu'alors le rayon arrive en BC avec un incidence i5 telle que i5 = i2 ... ce coup ci c'est bon le rayon ressort.

On avance,  ... je dois retourner bosser, mais si personne n'a fait progresser le post dans l'après midi je reviendrai sur les intervalles à considérer.

A+ (désolé pour la confusion)

Posté par
omarre : optique 22-05-13 à 19:44

je comprends pas qu'est ce que cela veut dire : arcsin(1/n') ??
est ce que c'est possible ?

optique

Posté par
PerArGalre : optique 22-05-13 à 21:14

Hum Hum

Arcsin\frac{1}{n'} = Arcsin\frac{1}{1,5} \approx 42° \approx \frac{10\pi}{43} rad

Lorsque que tu écris i3 + i2 = 60°

C'est la même chose que "mon" i_3 = i_2 - \frac{\pi}{6} sauf que moi je suis sur une incidence sur AC alors que tu es sur un incidence sur AB, mais je te rassures:  90 - 30  = 60

En plus j'ai défini un "sens de rotation" (anti horaire) pour compter les angles de manière algébrique.

Suis toujours en train de cogiter sur la solution qui est du côté des -/2 pour i1 ... mais je ne parviens pas à le formaliser ... "simplement" ... il y a une astuce qlq part (je connais un peu les profs) ... et en plus j'ai un peu de boulot par ailleurs !

1) pour quand est ton DM?
2) Tout avis averti est le bien venu
3) ... A suivre ...

Posté par
omarre : optique 22-05-13 à 23:58

le DM est pour lundi ( merci pour votre temps )
je pense que j'ai mal écrit l'énoncé EN FAIT il précise que BC=10 cm
on trouve dans ce cas que le triangle IAB est équilatéral et qu'on ne peut pas avoir un rayon issue de I et faisant un angle 42° avec sa normale en fait il ne peut pas dépasser 30° et ça coïncide avec A et B dans ce cas
la partie CID est ainsi éliminé  
donc on peut limiter notre étude dans le triangle IAC
commençons par la partie AID on a
i3-i2=30
pour avoir une réflexion totale i3>42 alors i2+30 > 42
12<i2<30
avec i2= EIM ou M un point variable de [AE]
i2]12,30[
cherchons maintenons quand le rayon réfléchi fait un angle supérieur à 42 avec sa normale
cet angle est maximale quand i3 est minimale car i4=90-i3
sachant que i3 ne peut pas atteindre 60
on a donc 42<i3<60
i4=90-i3 alors
i3=90-i4
30<i4<48
après sa réflexion sur la face [AB] le rayon se dirige vers [BC] et émerge du prisme car
90-i4+60+90-i5=180
i4+i5=60
12<i5<30
donc on ne peut pas avoir une autre réflexion
donc j'ai réalisé l'étude de trajectoire (FIMGHJ) dans la partie AEI
reste à savoir après l'étude des angles quelle est la trajectoire la plus longue ?
et l'étude dans la  partie IEC aidez moi svp JE SUIS TOTALEMENT EPUISE

optique

Posté par
PerArGalre : optique 23-05-13 à 13:19

Tu as bien bossé...

J'aurai du mal à faire aussi bien! Découpons le problème comme tu le proposes. Je commence par le plus facile.

i1 varie de 0 à /2

avec 0 il est normal à BC, avec /2, il est rasant en provenance de B

=> voir le schéma ci dessous.

A partir de là je confonds Arcsin(\frac{1}{n'}) et \frac{10\pi}{42}, l'angle limite de réfraction d'un rayon DANS le prisme, appelons même \alpha_{LIM} cet angle limite

Donc

Variation de i1    i_1:  0 \rightarrow +\frac{\pi}{2}  (tu remarqueras que j'ai défini un sens positif de ratation!)

Alors

Variation de i2    i_2:  0 \rightarrow +\alpha_{LIM} \approx \frac{10\pi}{42}

Et comme sur la face (AC) on a vu que i_3 = i_2 - \frac{\pi}{6}

Variation de i3    i_3:  -\frac{\pi}{6} \rightarrow \alpha_{LIM} - \frac{\pi}{6} \approx +\frac{3\pi}{42}


Donc on à l'inégalité  

-\alpha_{LIM} < -\frac{\pi}{6} \leq i_3 \leq +\frac{3\pi}{42} < +\alpha_{LIM}

DANS LE CAS i_1 \in [0;+\frac{\pi}{2}] IL NE PEUT Y AVOIR REFLEXION SUR AC ...

Examinons la suite:

optique

Posté par
PerArGalre : optique 23-05-13 à 14:30

Cas de figure suivant ... utilisant à fond tes résultats et ton calcul de l'angle incident limite qui fera que le rayon arrive en A.

J'identifie ton angle de 48,62° à approximativement \frac{27\pi}{100} (j'aime bien travailler avec des fractions de pi ... sans doute des ancêtres grecs!)

Avec un petit dessin à nouveau pour clarifier

Donc

Variation de i1    i_1:  -\frac{\pi}{2}  \rightarrow -\frac{27\pi}{100}  

Alors

Variation de i2    i_2:  -\alpha_{LIM} \approx -\frac{10\pi}{42}  \rightarrow  - \frac{\pi}{6}


Et comme sur la face (AB) on a i_3 = i_2 + \frac{\pi}{3} (attention mes angles sont algébriques... le signe est donné par le sens de rotation!)

Variation de i3   i_3:  +\frac{\pi}{10} \rightarrow +\frac{\pi}{6}  

Donc on à l'inégalité  

0 < \frac{\pi}{10} \leq i_3 \leq +\frac{\pi}{6} < +\alpha_{LIM}

DANS LE CAS i_1 \in [-\frac{\pi}{2}  -\frac{27\pi}{100}] IL NE PEUT Y AVOIR REFLEXION SUR AC ...

optique

Posté par
PerArGalre : optique 23-05-13 à 15:04

Encore un dernier petit cas de réfraction avant d'attaquer ma réflexion

Je sais que tu as bien compris le problème donc je ne détaille pas outre mesure

Pour obtenir  i_3 = -\alpha_{LIM} sur la face AC

Il faut avoir i_2 = i_3 + \frac{\pi}{6} = -\alpha_{LIM} + \frac{\pi}{6} \approx - \frac{10\pi}{42}+ \frac{\pi}{6} = - \frac{\pi}{14}

Pour obtenir i_2 = - \frac{\pi}{14}

Il faut avoir i_1 = Arcsin[1,5. sin(\frac{\pi}{14})] \approx - \frac{27\pi}{250}

Donc pour i_1 \in [ - \frac{27\pi}{250};0] on n'a pas de réflexion non plus

optique

Posté par
PerArGalre : optique 23-05-13 à 15:36

Reste donc le cas intéressant de la réflexion

Tu as mis en évidence déjà que dans ce cas il y a une réflexion en un point de AC, suivi d'une réflexion (OBLIGATOIREMENT!) sur AB et que le parcours se terminait en un point de la face BC ou l'incidence i2 est la même au retour qu'à l'aller, le rayon sort avec une incidence i1 dans l'air.

Reste à calculer la longueur du parcours IMGH (je reprends les conventions de notation de ton schéma) ou au moins à déterminer i1 qui rendra ce parcours maximal!

Je pense que par triangulation (à défaut de mieux) on peut calculer le parcours... je m'y colle en fin d'après midi!

Posté par
PerArGalre : optique 23-05-13 à 19:47

Je crois que j'ai oublié un cas de réfraction: quand le rayon arrive sur AC et se rapproche de A l'incidence suivante (après réflexion) devient inférieure à l'angle de réflexion sur AB ... il me semble ...

Bon la bonne nouvelle ... on est que jeudi!

Posté par
PerArGalre : optique 24-05-13 à 12:35

Bonjour,

Alors on continue ... avant dernier cas de figure

Réflexion sur AC et réfraction sur AB

i_1 \in [-\frac{27\pi}{100}; -\frac{73\pi}{500}]

Réfraction dans le prisme  suivant la règle  n'sini_2 = sini_1

Donc

i_2 \in [-\frac{2\pi}{21}; -\frac{\pi}{6}]

i2 étant liée à l'incidence i3 sur la face AC par: i_3 = i_2 -\frac{\pi}{6}

on a donc

i_3 \in [-\frac{11\pi}{42}; -\frac{\pi}{3}]

On est bien dans le cas où  |i_3| \geq \alpha_{LIM} \approx \frac{11\pi}{42}

Il y a réflexion, direction la face (AB)

i3 étant liée à l'incidence i4 sur la face AB par: i_4 = -i_3 -\frac{\pi}{2}
(le - sur i3 vient du fait qu'on s'intéresse ici au rayon réfléchi ...)

Donc

i_4 \in [-\frac{5\pi}{21}; -\frac{\pi}{6}]

|i_4| < \alpha_{LIM} le rayon est réfracté et sort du prisme!

optique

Posté par
PerArGalre : optique 24-05-13 à 14:41

Reste donc le cas où

i_1 \in [-\frac{-73\pi}{500};-\frac{-27\pi}{250}]

Exprimé en degré:

i_1 \in [-26,3°;-19,4°]

Il y a dans ce cas réflexion sur AC puis réflexion sur AB puis ressortie par la face BC.

Je ne suis pas très à l'aise ensuite.

En me plaçant dans un repère orthonormé (O, D, B) où D est le milieu de AC, et en posant X = -tg(i3)

J'arrive à  IK^2 + KL^2 + LM^2 = \frac{5}{4} - X +\frac{1}{4}X^2 - X^3 +\frac{1}{2}X^4 -X^5 +\frac{3}{4}X^6 (sans garantie à ce stade, je n'ai pas refait les calculs)

On doit pouvoir arriver péniblement à la conclusion

que le maximum est atteint sur la borne inférieure de l'intervalle ... mais c'est plutôt tortueux ...

optique

Posté par
omarre : optique 24-05-13 à 22:16


mon dieu !! est ce que ça est vraiment un exercice de 1ere ?!!

Posté par
PerArGalre : optique 24-05-13 à 22:54

Il est vrai que cet exo me laisse perplexe ... encore 2 jours pour trouver mieux

Posté par
PerArGalre : optique 25-05-13 à 16:36

Bon alors,

Après remise à plat du calcul (je suis une bille en trigo) et développement d'un petit outil excel pour vérifier les étapes du calcul (je suis VRAIMENT une bille en trigo), on arrive à:

trajectoire = \frac{8}{(1+2\sqrt{3})cosi_2 +(2-\sqrt{3})sini_2}

en ayant "normalisé" le prisme (AB = 1)

En fait, avec la notation précédente (X = tgi_3)

On arrive "assez facilement" à:

IK = \frac{1}{2}\sqrt{X^2+1}

KL = \frac{2-X}{2X}\sqrt{X^2+1}

LM = \frac{3X-2}{X(X+2)}\sqrt{X^2+1}


Après il faut juste se rappeler que 1 + tg^2x = \frac{1}{cos^2x}
et que
i_3 = i_2 -\frac{\pi}{6}

Reste à trouver pour quelle valeur de i2 la trajectoire est maximale en étudiant le sens de variation

\frac{8}{(1+2\sqrt{3})cosi_2 +(2-\sqrt{3})sini_2}

lorsque i1 varie de -26,3° à -19,4°, soit i2 varie de -17,80° à 13,07°

Etant un peu fatigué, et comme on est sur l'ile physique et pas sur l'ile maths, j'ai à nouveau utilisé excel

i2 (rad) i2 (deg) trajectoire (/5)
-0,311 -17,805 1,919
-0,303 -17,332 1,913
-0,294 -16,859 1,907
-0,286 -16,386 1,902
-0,278 -15,912 1,896
-0,269 -15,439 1,891
-0,261 -14,966 1,885
-0,253 -14,493 1,880
-0,245 -14,020 1,875
-0,236 -13,546 1,870
-0,228 -13,073 1,866

On obtient la trajectoire maximale pour l'angle d'incidence qui est à la limite réflexion/réfraction i1 -73/500

On le sentait bien physiquement mais restait à le démontrer

Donc, sauf grosse bourde que je n'aurais pas relevée ... c'est FINI! Si tu as besoin d'information complémentaire, si tu veux les originaux des dessins ou du tableur, n'hésite pas, tu pourras ainsi rédiger un DM de folie ...

Et n'hésite pas non plus à partager ici la correction du prof ... pour ce pbm qui me semble un peu trapu pour le programme de 1ere! A moins qu'il existe un solution tellement évidente que nous soyons passé à côté!

A+

Posté par
PerArGalre : optique 04-06-13 à 22:50

@Omar

Des nouvelles????


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