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Mouvement en spirale (cinématique)

Posté par
Makoto03 06-10-21 à 22:50

Bonjour!

Un point M décrit une courbe plane d'équations polaires paramétriques:
r=r_0e^{-\frac{t}{\tau }} et \theta =\omega t
Les quantités r0, et étant des constantes positives.
1/ Calculer les composantes radiales et orthoradiales de la vitesse et de l'accélération.
En déduire les normes de ces vecteurs.
2/ Donner l'angle que fait le vecteur vitesse avec le vecteur position \vec{OM}.
3/ Trouver les composantes intrinsèques de l'accélération.
4/Quel est le rayon de courbure R de la trajectoire?
5/ Déterminer l'abscisse curviligne s(t) (On prendre s(0)=0), ainsi que les coordonnées des vecteurs \vec{T} et \vec{N} dans la base polaire.

Merci d'avance.

Posté par
Makoto03re : Mouvement en spirale (cinématique) 06-10-21 à 23:08

Pour 1:
1. Dans la base polaire: \vec{OM}= r\vec{e_r}, ainsi:
\vec{v}=(\frac{d\vec{OM}}{dt})_{/R}=\dot{r}\vec{e_r}+r(\frac{d\vec{e_r}}{dt})_{/R}=\dot{r}\vec{e_r}+r\dot{\theta }\vec{e_\theta}=\frac{-r_0e^{\frac{-t}{\tau }}}{\tau }\vec{e_r}+r\omega \vec{e_\theta}

Donc, la composante radiale de est \frac{-r_0e^{\frac{-t}{\tau }}}{\tau } et sa composante orthoradiale est r\omega.

*Accélération: On dérive par rapport à t, ça donne:

a_r=\frac{r_0e^{\frac{-t}{\tau }}}{\tau ^2}-rw^2
et a_\theta =\frac{-2r_0e^{\frac{-t}{\tau }}}{\tau ^2}\omega

Posté par
Makoto03re : Mouvement en spirale (cinématique) 06-10-21 à 23:30

Concernant les normes:
v=\frac{r_0e^{\frac{-t} {\tau}}}{\tau }\sqrt{1+\omega ^2\tau ^2}
a=\frac{r_0e^{\frac{-t} {\tau}}}{\tau^2 }(1+\omega ^2\tau ^2)

Posté par
Makoto03re : Mouvement en spirale (cinématique) 06-10-21 à 23:33

Pour 2, à l'aide du produit scalaire \vec{v}.\vec{OM}
\varphi =cos^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{1+\omega ^2\tau ^2}})

Posté par
Makoto03re : Mouvement en spirale (cinématique) 06-10-21 à 23:43

Pour 3, on cherche aT et aN,
a_T= \frac{-r_0e^{\frac{-t}{\tau }}}{\tau }\sqrt{1+\omega ^2\tau ^2}
a_N=\frac{ \frac{r_0^2e^{\frac{-2t}{\tau }}}{\tau^2 }(1+\omega ^2\tau ^2)}{R}

Posté par
Makoto03re : Mouvement en spirale (cinématique) 06-10-21 à 23:44

Pour 4, je n'arrive pas à trouver le rayon ...

Posté par
vanoisere : Mouvement en spirale (cinématique) 06-10-21 à 23:55

Bonsoir
Pour l'instant : tu es très bien partie !
PS : tu postes au niveau première mais pas au niveau première de l'enseignement secondaire français... Pas grave : un modérateur de ce forum déplacement tes messages sur le forum de l'enseignement supérieur s'il le juge utile !
Pour le rayon de courbure, : compte tenu de l'enchaînement des questions, la méthode attendue est sans doute la suivante :
1 : détermination de l'accélération tangentielle et de l'accélération normale (question 3)
2: si Rc désigne le rayon de courbure :

a_{n}=\dfrac{v^{2}}{R_{c}}
Tu obtiens ainsi Rc.

Posté par
Makoto03re : Mouvement en spirale (cinématique) 07-10-21 à 00:16

Salut!
Puis-je considérer que: \vec{a_N}=-\vec{a_r}?

Posté par
Makoto03re : Mouvement en spirale (cinématique) 07-10-21 à 00:19

Si oui, j'obtiens:
R=r_0e^{\frac{-t}{\tau }}\frac{(1+\omega ^2\tau ^2)}{(1-\omega ^2\tau ^2)}

Posté par
vanoisere : Mouvement en spirale (cinématique) 07-10-21 à 14:21

Je n'avais pas lu assez attentivement ton message de  06-10-21 à 23:43. Tu avais déjà écrit la relation permettant d'obtenir le rayon de courbure. Il te manque donc la méthode permettant d'obtenir l'accélération normale.
Puisque :

\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_{T}}+\overrightarrow{a_{N}}

et : \overrightarrow{a_{T}}\bot\overrightarrow{a_{N}} :

a^{2}=a_{T}^{2}+a_{N}^{2}\quad;\quad a_{N}=\sqrt{a^{2}-a_{T}^{2}} .

Posté par
Chimivalre : Mouvement en spirale (cinématique) 07-10-21 à 18:13

Bonjour Makoto03, bonjour Vanoise,

Il me semble qu'à la 3ème question, pour l'accélération tangentielle, c'est 2 au dénominateur au lieu de

Posté par
gbm Webmasterre : Mouvement en spirale (cinématique) 07-10-21 à 18:26

Bonsoir,

@ Makoto03 : je ne pense pas qu'il s'agisse d'un exercice de niveau première, pourrais-tu mettre à jour ton profil stp

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau topic ?



Posté par
vanoisere : Mouvement en spirale (cinématique) 07-10-21 à 18:54

Bonjour gbm
Effectivement ! D'ailleurs j'ai relevé le problème hier soir dans mon message de 23h55. Il est possible que Makoto03 soit en première année d'enseignement supérieur dans un pays francophone voisin...

Posté par
vanoisere : Mouvement en spirale (cinématique) 07-10-21 à 19:29

Bonjour Chimival

Citation :
Il me semble qu'à la 3ème question, pour l'accélération tangentielle, c'est 2 au dénominateur au lieu de

Effectivement ; sinon l'expression aurait la dimension d'une vitesse et pas d'une accélération. Simple étourderie de copie avec l'éditeur d'équations sans doute car cela n'affecte pas la cohérence de l'ensemble.
Merci Chimival !

Posté par
Chimivalre : Mouvement en spirale (cinématique) 07-10-21 à 21:24

Bien reçu, merci

Posté par
gbm Webmasterre : Mouvement en spirale (cinématique) 08-10-21 à 13:05

Bonjour vanoise,

vanoise @ 07-10-2021 à 18:54

Bonjour gbm
Effectivement ! D'ailleurs j'ai relevé le problème hier soir dans mon message de 23h55. Il est possible que Makoto03 soit en première année d'enseignement supérieur dans un pays francophone voisin...

Oui j'ai vu ! Mais comme nous n'avons tjs pas de réponse, je fais une relance ...


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