Niveau première

Mesure du rayon d'un atome de zinc.

Posté par
romcky 10-02-09 à 15:45

Bonjour à tous,
Pour nos tpe nous avons choisi comme sujet l'infiniment petit, le probleme c'est que nous avons une expérience qui nous semble juste mais les résultats sont différents comparés à des valeurs trouvées sur internet.
Dans cette expérience nous calculons aproximativement le rayon d'un atome de zinc. Nous avons pris une plaque de zinc de masse 36.24x10^-3 kg,et de volume 5,68x10^-6 m³.
Nous cherchons d'abord le nombre d'atomes dans la plaque :

nombres d'atomes = masse plaque/masse atome de zinc ( la masse de l'atome de zinc a été trouvé sur internet : 1,09x10-25kg)
On trouve 3,2x10²³atomes.

Nous cherchons ensuite le volume de l'atome de zinc:

V_atome= volume plaque/nombre d'atomes
= 1.75x10^-29 m³

Nous cherchons enfin le rayon de cet atome de zinc :

R_atome= *racince cubique de* (3x V_atome)/4
= 3,453x10^-10m

Or nous avons trouvé sur internet que le rayon d'un atome de zinc est de 1,3325x10^-10m ou 1,38x10^-10m ... enfin en tout cas dans ces environs là .. c'est pourquoi je ne suis pas sure que nos résultats soient justes, pouriez vous nous aider s'il vous plait ? Y a t'il une erreur dans la façon de procédé? ou des erreurs de calculs ? MERCI DE VOTRE AIDE !

Posté par re : Mesure du rayon d'un atome de zinc. 10-02-09 à 15:58

Bonjour,
Je trouve plutôt 1,598.10^-10 m pour le rayon de l'atome...
Erreur de calcul, semble-t-il...

sauf erreur éventuelle de ma part...

Posté par re : Mesure du rayon d'un atome de zinc. 10-02-09 à 16:01

r = 3,453x10^-10 m donne un volume de 17,245.10^-29 m³, pas 1,75.10^-29 m³

Posté par re : Mesure du rayon d'un atome de zinc. 10-02-09 à 16:04

D'autre part, les atomes ne sont pas tassés les uns sur les autres...
Dans un métal, les atomes sont organisés selon un système particulier.

Posté par re : Mesure du rayon d'un atome de zinc. 10-02-09 à 16:26

Bonjour à tous les deux,

Le zinc est un métal dont la structure cristalline est le système hexagonal compact.

En conséquence le rapport du volume occupé par les atomes au volume total est théoriquement égal à

$3$\frac{\pi}{3\,\sqrt{2}}\,\approx\,0,74$

Posté par re : Mesure du rayon d'un atome de zinc. 10-02-09 à 23:22

Merci à vous deux d'avoir répondu aussii vite !!

Alors si j'ai bien compris, je fais :

0,74 x V_plaque= 4,2032x10^-6m³(qui correspond au volume total que les atomes occupent dans la plaque)

Puis pour avoir le volume d'un seul atome, je divise ceci par le nombre d'atomes dans la plaque, ce qui me donne :
4,2032/3,25x10²³= 1,293x10^-29m³

Puis le rayon (toujours avec la même formule): 1,456x10^-10m

J'espère avoir bien compris en tout cas les résultats correspondent et en effet Marc35 je me suis trompée dans le calcul j'avais oublié une parenthèse ^^'
Par contre je dois avouer que je n'ai pas très bien compris comment Coll, tu arrives à la la dernière formule /32 ?? Merci encore de vos réponses !

Posté par re : Mesure du rayon d'un atome de zinc. 11-02-09 à 08:25

Bonne réaction...

Le calcul est peut-être plus facile pour le système cubique à faces centrées qui est un autre empilement compact de sphères.

Soit un cube d'arête a
On place une sphère à chaque sommet et une sphère au centre de chaque face
le rayon R d'une sphère est tel que les sphères le long d'une diagonale d'une face se touchent
donc 4 R = a 2
Combien y a-t-il de sphères dans le cube ?
. Chaque sphère au sommet compte pour 1/8 et il y a 8 sommets : bilan 1 sphère
. Chaque sphère au centre d'une face compte pour 1/2 sphère et il y a 6 faces : bilan 3 sphères
Bilan total : 1 + 3 = 4 sphères
Volume des 4 sphères : 4 (4/3) R³
Voume du cube : a³

d = rapport du volume occupé au volume total :

$3$d\,=\,\frac{4\,\times\,4\,\times\,\pi\,\times\,R^3}{3\,\times\,a^3}\,=\,\frac{16\,\times\,\pi\,\times\,a^3\,\times\,2\,\times\,\sqrt{2}}{3\,\times\,a^3\,\times\,64}\,=\,\frac{\pi\,\times\,\sqrt{2}}{3\,\times\,2}\,=\,\frac{\pi}{3\,\sqrt{2}}$

Mais le zinc a un système hexagonal compact, alors...

Soit un prisme à base un hexagone régulier de côté a
Il y a une sphère à chaque sommet de l'hexagone et une sphère au centre de l'hexagone (si tu as 7 billes de même diamètre et que tu les places sur une table de manière serrée tu fais facilement cette figure)
Le côté a de l'hexagone est donc tel que a = 2 R
Au-dessus de ce premier plan on place dans les "trous" des sphères identiques
Et, troisième plan on place à la verticale des sphères du premier plan des sphères qui se trouvent également dans les "trous" du second plan... j'essayerai de trouver une figure !
Nombre de sphères :
premier plan : les sphères aux sommets de l'hexagone comptent pour 1/6 et celle qui est au centre compte pour 1/2 : bilan 6(1/6) + (1/2) = 3/2 sphère
deuxième plan : 3 sphères
troisième plan : comme le premier, donc 3/2 sphère
Bilan total : 3 + 2(3/2) = 6 sphères
Hauteur de l'hexagone :
deux fois la hauteur d'un tétraèdre régulier de côté a
la hauteur d'un tétraèdre régulier de côté a se calcule facilement avec le théorème de Pythagore (nombreux topics pour cette question dans l'île des mathématiques, niveau seconde, géométrie dans l'espace) et l'on trouve pour cette hauteur : (a 2) / 3
La hauteur du prisme à base hexagonale est donc 2 (a 2) / 3

Volume occupé par les sphères : 6 (4 /3) R³
Volume du prisme hexagonal : aire de la base hauteur
aire de la base : 6 aires d'un triangle équilatéral de côté a donc 6 (a² 3) / 4 = 6 R² 3
hauteur : 2 (a 2) / 3 = (4 R 2) / 3
Volume du prisme : 24 R³ 2

d = rapport du volume occupé au volume total :

$3$d\,=\,\frac{6\,\times\,4\,\times\,\pi\,\times\,R^3}{3\,\times\,24\,\times\,R^3\,\times\,\sqrt{2}}\,=\,\frac{\pi}{3\,\sqrt{2}}$

Ouf... le même résultat !

et approximativement d 0,74

Posté par re : Mesure du rayon d'un atome de zinc. 11-02-09 à 08:27

Pour de jolies figures (et le même résultat, mais sans sa démonstration...) :

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