Niveau première

Intensité sonore d'un diapason

Posté par
Howard75 04-02-23 à 17:34

Bonjour à toutes et à tous 🙂

Je poste aujourd'hui sur ce forum afin de vous demander si les réponses que je propose à l'exercice suivant sont bonnes ou non.

Merci d'avance à celles et ceux qui me viendront en aide ! 😁

ÉNONCÉ DE L'EXERCICE

Un diapason est un petit objet métallique qui émet un son pur qui sert de référence pour accorder des instruments, des voix…
On réalise à l'aide d'un micro, l'acquisition du son émis par ce diapason.
On obtient la représentation ci-contre de l'intensité sonore $i$ (en décibel dB) en fonction du temps $t$ (en milliseconde ms).

Sensibilité horizontale : $1 \text{ ms / div}$
Sensibilité verticale : $1 \text{ dB / div}$

Cette intensité s'exprime sous la forme $i(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$ où $A$ , $\omega$ et $\varphi$ sont des réels avec $\varphi \in [-\pi ; 0]$ .

1)
a) Déterminer graphiquement la période $T$ de la fonction $i$ .
b) En déduire que la pulsation $\omega$ est égale à $10^{3}\pi$ .

2) Déterminer graphiquement la valeur de l'amplitude $A$ .

3)
a) Lire graphiquement $i(0)$ .
b) En déduire que la phase $\varphi$ est égale $-\frac{\pi}{2}$ .
c) Donner l'expression de $i(t)$ .

4) Calculer l'intensité sonore à $t = 0,0022 \text{ ms}$ . On arrondira à $10^{-2}$ près.

Je me demande s'il n'y a pas une erreur dans l'énoncé à la question 4).
Je pense qu'il aurait été plus intéressant de calculer l'intensité lorsque $t = 0,0022 \text{ s}$ (et non $\text{ms}$ ) soit $2,2 \text{ ms}$ !
Ça aurait permis d'obtenir une valeur plus grande en sortie et de vérifier le résultat obtenu par lecture graphique.
Qu'en pensez-vous ? 🤔

MES RÉPONSES

1)
a)

La période $T$ d'une fonction est l'intervalle pour lequel la courbe de la fonction se reproduit à l'identique.
Dans notre cas, le motif se reproduit toutes les $2 \text{ div}$ horizontales, soit $2 \text{ ms}$ .

$T = 2 \times 10^{-3} \text{ s}$

b)

La formule de la pulsation $\omega$ est la suivante : $\omega = 2 \pi f$ or $f = \frac{1}{T}$ , d'où : $\omega = \frac{2 \pi}{T}$
On obtient :

$\omega = \frac{2 \pi}{2 \times 10^{-3}} = 10^{3} \pi$

2)

L'amplitude $A$ d'une fonction périodique est sa valeur maximale.
Dans notre cas, le motif a une amplitude de $3 \text{ div}$ verticales, soit $3 \text{ dB}$ .

$A = 3 \text{ dB}$ (est-ce que A s'exprime en dB ou est sans unité ?)

3)
a)

$i(0)$ est l'intensité mesurée à l'instant $t = 0 \text{ ms}$ .

$i(0) = 0 \text{ dB}$

b)

Comme $i(0) = 0$ , on en déduit que :

$\\ 3 \cos(10^{3}\pi \times 0 + \varphi) = 0\\ \\ 3 \cos(\varphi) = 0\\ \\ \cos(\varphi) = 0 \\$

$\varphi$ peut donc valoir $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$ .

Or $\varphi$ est compris entre $-\pi$ et $0$ , donc on obtient finalement :

$\varphi = -\frac{\pi}{2}$

c)

On réécrit l'expression de la fonction $i$ :

$i(t) = 3 \cos(10^{3}\pi t - \frac{\pi}{2})$

4)

Ici, j'ai fait ce qui était demandé mais je trouve le résultat surprenant.
Étant donné que 0,0022 ms est quasiment égal à 0, on devrait avoir un résultat proche 0 comme pour i(0).
D'ailleurs la vérification par lecture graphique devrait le confirmer.
Ai-je fait une erreur ?

L'intensité sonore à $t = 0,0022 \text{ ms}$ est égale à environ $1,76 \text{ dB}$ :

$\\ i(0,0022) = 3 \cos(10^{3} \pi \times 0,0022 - \frac{\pi}{2})\\ \\ i(0,0022) = 3 \cos(2,2 \times \pi - \frac{\pi}{2})\\ \\ i(0,0022) \approx 1,76 \text{ dB} \\$

$Intensité sonore d\'un diapason$

Posté par re : Intensité sonore d'un diapason 04-02-23 à 19:23

Je pense avoir identifié d'où vient l'erreur si tant est qu'il y en ai bien une.

Observation

La période est forcément de $2 \text{ ms}$ ce qui justifie que la pulsation $\omega$ est de $10^{3} \pi$ , la représentation graphique est donc forcément bonne.

Erreurs dans l'énoncé

La question 4) aurait du nous demander de calculer l'intensité lorsque $t = 0,0022 \text{ s}$ , soit $2,2 \text{ ms}$ , ce qui implique que la fonction $i$ s'exprime en fonction de $t$ en seconde et non en milliseconde.

On aurait alors :

$\\ i(0,0022 \text{ s}) = 3 \cos(10^{3} \pi \times 0,0022 - \frac{\pi}{2}) \approx 1,76 \\$

✔︎ 1,76 dB à 2,2 ms

et non :

$\\ i(0,0022 \text{ ms}) = 3 \cos(10^{3} \pi \times 0,0022 - \frac{\pi}{2}) \approx 1,76 \\$

⛔️ 1,76 dB à 0,0022 ms

... comme on l'observe sur le graphique, $i(2,2) \approx 1,76$

L'expression $i(t)$ devrait donc également s'exprimer en fonction de $t$ en seconde.

Ai-je raison ?

Posté par re : Intensité sonore d'un diapason 05-02-23 à 15:38

Bonjour
Tu as raison : il s'agit bien de t=0,0022s.

Pour la question 2.c) tu pourrais remarquer :
cos(.t-/2)=-sin(.t)
Ne jamais oublier les unités : pulsation en rad/s et niveau d'intensité sonore en décibels.

Citation :
Ai-je raison ?

oui !

Posté par re : Intensité sonore d'un diapason 05-02-23 à 23:24

Merci de ta réponse vanoise 👍

Je me doutais bien qu'il y avait un problème dans l'énoncé.

Je crois au passage que tu as fait une erreur dans l'expression que tu as écrite.
Il me semble plutôt que :

$\cos(\omega \cdot t - \frac{\pi}{2}) = \sin(\omega \cdot t)$

Il n'y a pas de signe "-" devant l'expression du sinus.

Es-tu d'accord ? 😁

Posté par re : Intensité sonore d'un diapason 06-02-23 à 10:42

Étourderie de ma part effectivement. Désolé...

Posté par re : Intensité sonore d'un diapason 06-02-23 à 12:37

Parfait 👍 Merci encore vanoise 🙂

Sujet résolu

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