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Échange de chaleur

Posté par
fidele11
10-07-20 à 23:19

Bonjour,
besoin d'un coup de main pour cet exercice dont l'énoncé est le suivant:

Madame MBE est une commerçante, elle vend le jus de gingembre dont le nom scientifique est ''zingiber officinale'' communément appelé <<jus de djindja>> . Après la préparation de cette boisson naturelle, elle la conserve dans des bouteilles en verre d'un litre, dans une enceinte thermiquement isolé à la temperature θ1=32°C, ce qui lui permet de satisfaire les clients qui aiment prendre le jus ''chaud''. Pour des clients, qui le consomment <<frois>>„ elle a fabriqué de façon artisanale une caisse que l'on assimile à un calorimètre de valeur en eau négligeable, où elle fait ses mélanges pour obtenir la temperature voulue.
Au moment où il lui reste dans ses reserves douze litres, de jus chaud (θ1=32°C) , et 15 morceaux de glace de masse m2=75g chacun à la temperature θ2=-4°C, elle reçoit une commande de 3 litres de jus de djindja à la température θ3=8°C.

Données:
Bouteille en verre vide
* Masse bouteille vide mo=390g
*Capacité calorifique du verre Cv=720 J/Kg/K
Jus de djindja
*Masse volumique ρj=1,2Kg/L
*Capacité calorifique massique Cj=4300 J/Kg/K
Glace
*Masse volumique ρg=0,96 Kg/L
*Capacité calorifique massique Cg=2090 J/Kg/K
*Chaleur latente de fusion Lg=3,3*10^(5) J/Kg/K
eau
*Capacité calorifique massique Ce=4180 J/Kg/K.


1) Propose un protocole experimentale pour produire de ce jus à 8°C à partir du jus chaud , avec le matériel dont elle dispose.
2) Prononce-toi sur la possibilité de satisfaire cette commande par Mme MBE.


Ma piste
1) C'est okay.
2)J'ai cherché à calculer la temperature finale du mélange jus chaud + glace.
Q1 (quantité de chaleur à apporter à 12 L de jus) Q1=mj*Cj*(θf-θ1)
où mj est la masse valant m=ρj*V„ et θf la temperature finale du mélange.

De même, θ2=mg*Cg*(θf-θ2)+mg*Lf

À l'équilibre , Q1+Q2=0

je calcule θf puis le comparer à θ3=8°C est ce une bonne piste?

Posté par
odbugt1
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 00:54

Bonsoir,

Question 1 :
Dire que c'est OK ne suffit pas.
Merci de décrire avec précision le protocole que tu proposes.
La suite de l'exercice va s'appuyer sur ce protocole.

Question 2 :
La commande porte sur 3L de jus. Pourquoi veux tu en refroidir 12 L ?
Apparemment, ta piste prend en compte le jus et la glace, mais elle ignore le rôle du verre et de l'eau de fusion de la glace.

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 05:10

Voici le protocole que je propose pour la 1ère question:

Après avoir fabriqué son jus qu'elle conservera dans les bouteilles de verre à 38°C, elle lui faudra utiliser son calorimètre pour transformer le mélange de 38°C à une temperature qui vaut 8°C.
Le volume du jus chaud étant quantifié, on fait correspondre la masse des 15 morceaux de glace.
Sachant que le mélange qu'elle obtient a un volume 3L à 8°C, la quantité du jus chaud qu'elle mésurera doit être de 3L dimunié de V=m/ρj=(15*75*10^(-3))/1,2=0,9375 litres.
soit Vjus=2,06 L.
Ainsi, elle pourra avoir un mélange de 3L à 8°C.
Durant cette transformation, on peut noter la fusion des morceaux de glace par une quantité de chaleur Q2=mg*Cg*Δθ + mLf qui sera compensée à l'équilibre thermique par une quantité de chaleur Q1=mj*Cj*Δθ + m(Verre)*Cv*Δθ.

Posté par
odbugt1
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 08:41

Si j'ai bien compris, tu supposes dans ton protocole que le jus " chaud "  est directement mélangé à la glace.
L'objection principale est que le liquide obtenu sera alors constitué par un jus dilué qui ne sera pas forcément du goût des clients.
De plus ce protocole suppose des mesures de volume qui nécessitent des instruments dont l'énoncé ne fait pas mention.

Je te propose plutôt le protocole suivant :
La commerçante prend 3 bouteilles de jus à 32°C et les dépose dans sa caisse calorifugée.
Elle ajoute dans la caisse (mais pas dans le jus) le nombre de morceaux de glace qu'elle estime nécessaire pour satisfaire le client avant de la refermer.

Le problème consiste à déterminer le nombre de morceaux de glace à introduire et le comparer à celui dont elle dispose pour conclure à la faisabilité de l'opération.

Qu'en penses tu ?

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 08:52

c'est super!
Donc, à la deuxième question, je calcule la masse mg de glace pour atteindre l'équilibre thermique 8°C ...

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 10:07

Quantité de chaleur à apporter par la glace
Q2=mg*Cg*Δ2+mg*Lg*+mg*Ce*Δ2.        
avec Δ2=8-(-4)=12
Quantité de chaleur de transformation de la temperature de l'ensemble jus+bouteille
Q1=mj*Cj*Δ1+mo*Cv*Δ1
avec Δ1=8-32=-24

À l'équilibre, Q1+Q2=0
=> mj*Cj*Δ1+mo*Cv*Δ1+ mg*Cg*Δ2+mg*Lg*+mg*Ce*Δ2=0

=> mg=-(mj*Cj*Δ1+mo*Cv*Δ1)/(Cg*Δ2+Lg+Ce*Δ2)

Sachant que la masse nette du jus de trois litres est : mj=1,2*3-3*390*10^(-3)=2,43Kg.
la masse des trois bouteilles est
mo=3*390*10^(-3)=1,17Kg.


Ainsi mg=(27099366)/(405240)=0,6687Kg=668,7 grammes.

Cette masse correspond à N=668,7/75=8,916≈9morceaux de glaces.

Donc, elle pourra satisfaire la commande?

Posté par
odbugt1
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 10:14


Citation :
Donc, à la deuxième question, je calcule la masse mg de glace pour atteindre l'équilibre thermique 8°C ...
Oui !


Remarques :
Faute de frappe ou autre (?) :

a) L'unité de chaleur latente de fusion n'est pas le J/kg/K mais le J/kg
b) Le symbole de l'unité de masse n'est pas le Kg, mais le kg

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 10:40

Oui ...j'ai dû commettre ces erreurs lors de la copie.

Posté par
odbugt1
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 12:17

La glace subit 3 transformations :
a) Passage de -4°C à 0°C
b) fusion ( à 0°C )
c) Passage de l'eau de fusion de 0°C à 8°C

Il est faux d'envisager un passage "direct" de -4°C à 8°C car la capacité calorifique de la glace est différente de celle de l'eau de fusion.

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 12:20

D'accord... je reprends.

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 12:25

Donc Q2=mg*Cg(8-0)+mg*Lg+mg*Ce(0-8)
?

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 12:27

Q2= Donc Q2=mg*Cg(0+4)+mg*Lg
+mg*Ce(8-0)

.

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 12:40

je trouve à nouveau 7,28869 Kg de glace soit 97 morceaux.

Posté par
odbugt1
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 15:04

Soit mj la masse du jus, mv la masse du verre :
Chaleur cédée par le jus :
q1 =  mj  * Cj * ( θ3 -  θ1 )
Chaleur cédée par le verre :
q2 =  mv  * Cv * ( θ3 -  θ1 )
Chaleur cédée par l'ensemble jus + verre :
Q1 = q1 + q2 =(mj  * Cj +  mv  * Cv )  ( θ3 -  θ1 )

Chaleur reçue par la glace :
Q2 = (mg * Cg * Δθ1) + (mg * Lf) + (mg * Ce * Δθ2)
avec Δθ1 = 4°
et Δθ2 = 8°

Equilibre thermique :
Q1 + Q2 = 0

Posté par
odbugt1
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 15:05

Je te laisse vérifier puis terminer.

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 17:31

Q1+Q2=0
=> mg=-(mj*Cj+mv*Cv)*(θ3- θ1)/(Cg*Δ∅1+Lf+Ce*Δ∅2)=0,728869 kg
=728,669 g soit 9,71≈10morceaux de glace.

Posté par
odbugt1
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 17:54

d'accord avec toi pour la formule littérale.
En revanche je trouve mg = 1,05 kg soit 14 morceaux de glace.

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 18:11

Voici ce que je trouve:
mg=(-2,43*4300+1,17*720)*(-24)/(2090*4+3,3*10^5+4180*8)=

Posté par
odbugt1
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 18:54

Tu donnes à mj la valeur de 2,43 kg
Pourquoi ?

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 18:58

la masse de trois litres de jus est 3*1,2=3,6kg.
la masse nette de ces trois jus est m=3,6-(0,39*3)=2,43kg. j'ai soustrait la masse des trois bouteilles.

Posté par
odbugt1
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 20:00

Le volume du jus (dans les bouteilles) est de 3L
La masse de ce jus est de 3 * 1,2 = 3,6 kg
Il n'y a aucune raison de retirer la masse du verre.

mj = 3,6 kg et non 2,43 kg

Le verre est traité à part ( voir calcul de q2 dans mon post du 11-07-20 à 15:04 )

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 20:34

oui je vois, c'était ça mon erreur de calcul.

Posté par
fidele11
re : Échange de chaleur 11-07-20 à 20:39

Sans doute, elle pourra satisfaire la commande.


Je vous remercie énormément d'avoir repondu à mes préoccupations!



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