Bonjour à tous,

J'ai sérieusement besoin d'éclaircissement, s'il vous plaît.
En mécanique relativiste, on parle de coordonnées contravariantes et de coordonnées covariantes pour les vecteurs.

Je comprends pas bien la différence, et j'ai comme l'impression que si je continue à ignorer la différence, je vais plus m'en sortir.

ESt ce quelqu'un pourrait m'aider, svp ?

Merci d'avance.

Ayoub.

*** message déplacé ***

Merci de ne pas tenir compte de la grosse faute d'orthographe


*** message déplacé ***

Bonjour, je ne m'y connais pas vraiment en relativité mais d'après ce que je trouve sur Google, les composantes contravariantes d'un vecteur sont ses coordonnées dans la base ordinaire, et les composantes covariantes d'un vecteur sont ses coordonnées sur la base duale.

J'essaye de voir si je trouve d'autres informations.

Fractal

C'est du niveau Première ?

Le niveau de la physique au lycée a bien augmenté ces dernières années !

Bonjour,

Fractal, merci pour le renseignement, sauf que ca je le savais déjà.

On appelle un base duale {eⁱ}, se définit ainsi par rapport à la base naturelle {e_i}

e_i.e^j= \delta _i ^j

Myst, je te rassure, c pas du niveau première, loin de là. Mais bon, la relativité restreinte de loin au niveau lycée. Quant à la relativité générale, fort comprendre la théorie mathématique d'abord. C que j'essaie de faire. Mais n'ayant pas les bases, ni des profs, des fois c compliqué de comprendre certaines notions ou certains détails.
En loccurence, ca c un détai (important, c vrai), mais un détail par rapport au reste.

merci

Ayoub.

e_i.e^j= _i^j

Bonjour 1 Schumi 1
Je crains que connaître la différence entre covariant contravariant ne t'avance pas beaucoup.
Mais voici la définition (niveau bac+1) :
soit une base de n vecteurs quelconque (non orthonormée)
(Si la base est orthonormée, les composantes convariantes et contravariantes sont identiques).

Les composantes contravariantes sont les composantes habituelles (indice en haut) :
(1)
Pour faire le produit scalaire de 2 vecteurs : soit

Pour simplifier l'écriture, on a dit :  
d'où :  
Les composantes covariantes (indice en bas) sont définies ainsi :
(2)

En relativité restreinte, on a un espace de dimension 4 (t,x,y,z) de base .
Mais attention : ok, mais ...
D'où la norme du vecteur (t,x,y,z) =

Je pense qu'il vaut mieux s'appliquer à parfaitement comprendre les notions classiques de la physique afin d'être prêt le moment venu à passer à des notions plus subtiles et qui demandent des outils mathématiques puissants.
On peut déjà se poser des questions physiques comme :
- comment synchroniser des horloges en mouvement par des échanges de rayons lumineux ?
- pourquoi la masse d'inertie est-elle égale à la masse de gravitation ?
- pourquoi le monde est-il quantifié (charge électrique, particules, ...) ?
- comment l'action à distance (gravitation, électromagnétisme) est-elle possible ?
- qu'est-ce que l'espace, le temps ?
Bon courage en tout cas.

pour la norme du vecteur X = (t,x,y,z) (en relativité restreinte)
je voulais dire
pour le produit scalaire de
il vaut

Bonjour Schumi 1

Ce ne sont pas les coordonnées qui sont covariantes ou contravariantes, mais bien les vecteurs.
L'espace de la relativité restreinte, dans lequel on a choisi un point (par exemple là où se p^lace un observatuer, devient un espace vectoriel. On addorinne deux points en traçant un parallèlogramme avec l'origine. Le quatrième point est la somme des deux autres.
Un point devient alors un vecteur. Ce type de vecteurs est appelé contravariant.
Pourquoi cette dénomination contraviante, plutôt contrintuitive? Parce que quand on exprime le vecteur dans deux bases différentes (voir la réponse de "flaja") les coordonnées du vecteur dans la seconde base s'expriment comme combinaisons linéaires des coordonnées du vecteur dans la première base, qui sont exactement les mêmes combinaisons linéaires qui expriment les vecteurs de la première base en fonction dee ceux de la deuxième base. Donc les coordonnées d'un vecteur par rapport à deux bases varient dans le sens contraire des bases elles-mêmes.
Sur l'espace vectoriel il existe des formes linéaires, qui s'expriment dans une base donnée par des polynômes homogènes du premier degré (ax + by + cz +dt, dans une base donnée). Ces formes linéaires forment de nouveau un espace vectoriel de dimension 4 (dans le cas de la relativité restreinte), parce qu'il faut 4 coordonnées (a,b,c,d). Cet espace est appelé l'espâce dual de l'espace original. Un élément de cet espace est appelé un vecteur covariant (ceci parce que les coordonnées de la forme linéaire change de la même manière que les bases dans l'espace original).

Dans l'espace de la relativité restreinte il y a toujours moyen de représenter un forme linéaire par le produit scalaire par un vecteur bien déterminé (voir la formule du produit scalaire dans la 2ème réponse de flaja. Avec les notations du paragraphe précédent si l'on note V le vecteur de composantes (x,y,z,t) alors ax + by + cz + dt = U.V, où U = (-a,-b,-c,d) (le point . dénote le produit scalaire dans l'espace de la relativité restreinte).