Bonjour ,

C'est Newton qui a trouvé la valeur de cette constante (k)  dans le cas  d'une masse  m  tournant autour d'une masse  M .  Si  m  est très petit devant  M , on a  k 4 ² / (g M)

Codialement

merci pour ta réponse fm_31

est-ce que je doit comprendre que Kepler a trouvé qu'il y avait une constante et Newton en a trouvé la valeur  de la découle  l'égalité    k=T²/ r^3 =  4 ² / (g M) mais mais il n'y a pas de démonstration mathématique qui relie ces 2 équations

On peut le dire comme ça .
Kepler (1571-1630) a étudié le mouvement des planètes autour du soleil . Il a démontré que ce mouvement était elliptique et pas circulaire . Mais il ne connaissait pas la loi de gravitation trouvée par Newton (1643-1727)

ça me laisse sur ma faim j'aurai aimé une démonstration mathématique pour relier les 2 découvertes

dans tous les cas merci de ton aide

La démonstration mathématique existe bien sûr mais elle n'est pas élémentaire . Voir éventuellement  Wikipedia ou autre .

Tu as exprimé la 3eme loi de Kepler dans le cas particulier d'une orbite circulaire.(puisque tu parles du rayon)

Dans ce cas particulier, il est facile de montrer que k = 4Pi²/(G.M)
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Force de gravitation : F = GmM/R²

Dans le référentiel de la planète gravitant autour de son étoile : Force centrifuge : Fc = mw².R (avec w en rad/s, la vitesse angulaire de la planète autour de son étoile)

L'orbile est stable, si on tout moment, la force centifuge compense la force de gravitation, donc si :

GmM/R² = mw².R
w² = GM/R³

et avec w = 2.Pi/T -->  4Pi²/T² = GM/R³
T²/R³ = 4Pi²/(GM)

Et donc, k = T²/R³ = 4Pi²/(GM)
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Dans le cas général d'une orbite elliptique; c'est plus "corsé", on arrive dans ce cas à la relation : T²/a³ = 4Pi²/(GM)

a étant le demi grand-axe de l'ellipse.
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Ceci étant dit, tu resteras sur ta faim de multiples fois en Physique si tu espères trouver une démonstration mathématiques des "lois"

Dans une écrasante majorité des cas, une loi Physique ne se démontre pas.

Le physicien observe les choses et tente d'énoncer une loi qui "colle" avec ses observations, cette loi doit pouvoir permettre de calculer COMMENT les "choses" se passent mais certainement pas POURQUOI, les "choses" se passent ainsi et pas autrement.

Rappelons ce que Feynman a répondu lorsque quelqu'un lui a posé une question sur le POURQUOI d'une théorie Physique:

Voila sa réponse:

"...cela dit, il se peut que vous ne compreniez pas ce que je vous dit de la manière dont opère la Nature, pour la raison que vous ne voyez pas pourquoi elle opère de cette façon.
Mais il faut bien voir que personne n'est capable d'expliquer pourquoi la Nature se comporte de cette façon là, et pas d'une autre...
... Ce qui est important, c'est que la théorie en question permette des prédictions qui soient en accord avec l'expérience."

C'est à méditer, comprendre ... et à accepter.

Salut

Chouette réponse .

Je retiendrai qu'il faut rester humble devant la NATURE c'est elle qui décide et nous on essai de comprendre ; c'est un sacré boulot très intéressant.