Fiche de physique - chimie
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PROPAGATION DES ONDES : ACOUSTIQUE ET EFFET

DOPPLER

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Cette fiche est la suite du cours sur les ondes donné en classe de seconde et de première. Elle aborde les sujets suivants :
Les notions de base de l'acoustique : intensité sonore, niveau sonore et atténuation ;
L'effet Doppler-Fizeau.

I. Rappels

Les fiches suivantes permettent de réviser la notion d'onde, si nécessaire :
fiches Émission, propagation et perception d'un son
fiches Les ondes mécaniques

1. Onde sonore

* Une onde sonore peut être produite par tout objet qui vibre et qui communique cette vibration aux molécules d'air environnantes puis aux molécules d'air voisines, de proche en proche.

* Physiquement, le son est dû à la propagation d'une surpression de l'air, surpression qui peut être dans certaines conditions détectée par l'oreille humaine puis interprétée par le cerveau.

* La propagation du son nécessite donc un milieu matériel, comme l'air ou l'eau.

2. Relations caractérisant une onde

Caractéristiques d'une onde
Une onde peut être caractérisée par les grandeurs physiques suivantes :
la longueur d'onde, en m, souvent notée \lambda ;
la période, en s, souvent notée T ;
la fréquence, en Hz (hertz), souvent notée f ou \nu (lettre grecque "nu" ) ;
la vitesse de propagation, en m/s, souvent notée v (à ne pas confondre avec \nu).

Relations caractéristiques d'une onde
Les caractéristiques d'une onde (\lambda, T, f, et v) ne sont pas indépendantes : elles vérifient, par définition, les relations suivantes :

\boxed{\lambda = v \times T} et \boxed{f = \dfrac{1}{T}} (ou encore \boxed{T = \dfrac{1}{f}})

* Remarque : toutes les autres relations entre ces paramètres peuvent être retrouvées avec un peu d'algèbre !

* Exemple :
Une onde lumineuse de longueur d'onde \lambda = 515 ~ nm se propage dans le vide (donc à environ 300 000 km/s). Quelle est sa fréquence ?

Il suffit d'écrire : \lambda = v \times T et T = \dfrac{1}{f} pour retrouver la relation : \boxed{\lambda = \dfrac{v}{f}} ou encore \boxed{f = \dfrac{v}{\lambda}}

Application numérique : ici, v = 3,0.10^8 ~ m/s et \lambda = 515 ~ nm donc f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{3,0.10^8}{515} = 5,8 10^{16} ~ Hz.

3. Rappels sur le logarithme décimal

* En acoustique, on utilise beaucoup la fonction \log(x) (logarithme décimal, à ne pas confondre avec \ln(x), le logarithme naturel ou népérien). Il faut donc savoir "jongler" mathématiquement avec cette fonction et sa réciproque (10^x), en maîtrisant les formules qui suivent :

Propriétés des fonctions xfleche2log(x) et xfleche210x
* \forall (x,y) \in \mathbf{R}^2,\; x>0 \; \text{et} \; y>0

\boxed{\log( xy ) =\log (x) + \log(y)}

\boxed{\log( \dfrac{x}{y} ) =\log(x)- \log (y) \;}

\boxed{\log( x^n) = n\;\log(x) \; (\text{pour tout}\; n \in \mathbf{Q}) } en particulier :  \log(\sqrt{x}) = \log(x^{\frac{1}{2}}) = \dfrac{1}{2} \; \log(x)

\boxed{10^{(x+y)} = 10^x \times 10^y \; }

\boxed{10^{(x-y)} = \dfrac{10^x }{10^y}  \; } en particulier : \boxed{10^{-x} = \dfrac{1}{10^x}  \; }

* la fonction : x  \mapsto 10^x est la réciproque du logarithme décimal :

\forall (x,y) \in \mathbf{R}^2,\; x>0, \;\; \boxed{ y = \log(x)  \Leftrightarrow x = 10^y }  \; \boxed{\log(10^x) = x }  \; \boxed{ 10^{\log(x)} = x }

* Exemple :
soit la formule L = 10 \; \log(\dfrac{I}{I_0}). Exprimer I en fonction de L et de I0.


 L = 10 \; \log(\dfrac{I}{I_0}) \Leftrightarrow \log(\dfrac{I}{I_0}) = \dfrac{L}{10} \Leftrightarrow \dfrac{I}{I_0} = 10^{(\frac{L}{10})} \Leftrightarrow \boxed{I =  I_0 \times  10^{(\frac{L}{10})}}

4. Approximations utiles

Propriétés admises
Pour |x| \ll 1 :
\boxed{\dfrac{1}{1+x} \approx 1 - x} et \boxed{\dfrac{1}{1-x} \approx 1 + x}

* Exemple :
soit la formule :  f_R = \dfrac{f_E}{ 1 - \frac{v}{c} } .

Si \dfrac{v}{c} \ll 1, alors  \dfrac{1}{ 1 - \frac{v}{c} }  \approx 1 + \dfrac{v}{c}} (en posant x = \dfrac{v}{c}) et on en déduit que :  f_R \approx ( 1 + \dfrac{v}{c} )  \;  f_E

II. Acoustique

1. Définitions

Acoustique
L'acoustique est le domaine de la physique traitant des ondes sonores et de leur propagation.

Propagation en champ libre
Une onde sonore se propage en champ libre si elle ne rencontre aucun obstacle de nature à modifier ses effets.
C'est le cas du son d'un haut-parleur s'il se propage dans l'air dans toutes les directions. En revanche, dans une maison, le son ne se propage pas en champ libre du fait des murs ou du sol.

2. Intensité sonore

* Une onde sonore est une onde mécanique : elle est due à une perturbation de la pression de l'air, provoquée par une source et se propageant de proche en proche.

* Comme toute onde mécanique, elle transporte une certaine énergie, ce qui permet de la caractériser par une intensité sonore :
Intensité sonore
L' intensité sonore est la puissance surfacique (= par unité de surface) transportée par une onde sonore.

\boxed{I = \dfrac{P}{S}}

avec :
I : intensité sonore (en W/m2) ;
P : puissance transportée par l'onde sonore (en W) ;
S : surface sur laquelle se répartit le son (en m2).

* Remarques :
Lorsqu'il y a plusieurs sources les intensités sonores s'ajoutent : dix violonistes produisent une intensité sonore dix fois plus élevée qu'un seul.
La puissance acoustique P est tout simplement la puissance délivrée par la source (un haut-parleur par exemple).

3. Niveau sonore

* La notion d'intensité sonore a certains inconvénients :
la perception du volume sonore n'est pas proportionnelle à l'intensité ;
l'intensité sonore a une valeur qui peut s'étaler sur plus de 10 ordres de grandeur !
Les physiciens définissent donc une autre quantité plus pratique et significative, appelée le niveau (d'intensité) sonore :

Niveau sonore
Une onde sonore d'intensité I a pour niveau (d'intensité) sonore la quantité L définie par :

 \boxed{ L = 10 \; \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) }
avec :
L : niveau sonore (en décibel, noté dB) ;
I : intensité sonore de l'onde (en W/m2) ;
I_0 : intensité sonore de référence (I0 = 10-12 W/m2).

* Remarques :
I0 est une constante qui correspond au seuil d'audibilité de l'oreille humaine, c'est-à-dire l'intensité sonore minimale qu'un être humain perçoit.
Les performances de l'oreille humaine dépendent de l'âge mais aussi de la fréquence des sons : c'est ainsi que les basses sont moins bien perçues que les aigus.

Règle utile
À chaque fois qu'on double l'intensité sonore, le niveau sonore augmente de 3 dB.

À chaque fois qu'on divise l'intensité par 2, le niveau sonore diminue de 3 dB.

* Démonstration : [ \text{Rappel} :  \log( x \times y ) = \log (x) + \log(y)  \;\; \text{et} \;\;  \log( \frac{x}{y} ) = \log(x)- \log (y) \; ]

Considérons un son d'intensité I. Son niveau sonore vaut : \boxed{ L = 10 \; \log(\dfrac{I}{I_0})}
Soit un son d'intensité double I' = 2I : son niveau sonore s'écrit alors :

L' = 10 \; \log(\dfrac{2I}{I_0}) = 10( \log(\dfrac{I}{I_0}) + \log(2)) = 10 \; \log(\frac{I}{I_0}) + 10 \;\log(2) = L + 3 dB

On trouve bien le résultat : \boxed{L' = L + 3 \; dB }

Soit un son d'intensité deux fois plus faible I' = \dfrac{I}{2}. Son niveau sonore s'écrit alors :

L' = 10 \; \log(\dfrac{I}{2I_0}) = 10( \log(\frac{I}{I_0}) - \log(2)) = 10 \; \log(\frac{I}{I_0}) - 10 \;\log(2) = L - 3 dB

On trouve bien le résultat :  \boxed{L' = L - 3 \; dB}.

4. Echelle des bruits

* L'échelle des bruits est un graphique qui situe les différents niveaux de bruits et permet de distinguer les valeurs d'intensité et de niveau sonore :
Propagation des ondes : acoustique et effet Doppler : image 3
* Remarques :
On remarque que les valeurs du niveau sonore (entre 0 et 130 dB pour les bruits usuels) sont effectivement plus faciles à manipuler.
ATTENTION ! Lorsqu'un son double d'intensité, son niveau sonore ne double pas mais augmente de 3 dB (voir plus haut) !

5. Volume sonore

* Le volume sonore perçu par les être humains est une notion subjective : il dépend du sujet mais aussi de la fréquence des sons.

* L'intensité ou le niveau sonore définis par les physiciens ne permettent donc pas de caractériser simplement ce phénomène complexe qu'est la perception des sons.
Ainsi, l'homme entend très bien les fréquences sonores comprises entre 400 et 4000 Hz, mais beaucoup plus difficilement les sons très graves (f < 100 Hz) : pour un même niveau sonore (60 dB par exemple) un son très grave paraîtra très faible par rapport à un son "moyen" (f environegal 1 kHz).
D'autre part, un doublement de l'intensité sonore I (au sens physique) ne correspond pas au doublement du volume sonore perçu : pour avoir l'impression qu'un son est deux fois plus fort il faut multiplier l'intensité sonore par 10 (c'est-à-dire augmenter le niveau sonore de 10 dB).

6. Atténuation des ondes sonores


a. Atténuation due à la distance (atténuation géométrique)

* L'expérience montre que le son faiblit avec la distance : ceci est une conséquence de la conservation de l'énergie.

* Dans l'hypothèse d'une source ponctuelle et d'une propagation du son dans toutes les directions dans un milieu non absorbant, la puissance sonore P émise se répartit sur la surface S d'une sphère centrée sur la source et dont le rayon r augmente au cours du temps. L'intensité sonore vaut donc :

I = \dfrac{P}{S} avec S = 4 \pi r^2
* La puissance P étant constante (en l'absence d'autre source à l'intérieur de la sphère), on en déduit que :

\boxed{ I = \dfrac{P}{4 \pi r^2} =  \dfrac{k}{r^2} } avec \text{k = constante}
* On parle alors de dilution sphérique du son.

* Ce résultat est général : pour une source ponctuelle avec propagation en milieu non absorbant (ou peu absorbant),

L'intensité sonore est inversement proportionnelle au carré de la distance.

* Remarque : la constante k dépend de la puissance émise et de la géométrie du problème (propagation sphérique, hémisphérique ou autre)


b. Atténuation due au milieu

* Lorsqu'une onde sonore se propage dans un milieu absorbant, l'intensité sonore (ou encore le niveau sonore) diminue entre l'entrée de l'onde dans le milieu et sa sortie, car le milieu de propagation absorbe une partie de l'énergie de l'onde.

Atténuation d'une onde sonore dans un milieu
Considérons une onde sonore atténuée lors de sa propagation dans un milieu. On définit alors l'atténuation A de l'onde par la relation suivante :

\boxed{ A = L_\mathrm{sortie} - L_\mathrm{entrée} = 10 \; \log\left(\dfrac{I_\mathrm{sortie}}{I_\mathrm{entrée}}\right) }

avec :
L_\mathrm{entrée} : niveau sonore en entrée dans le milieu (en dB) ;
L_\mathrm{sortie} : niveau sonore en sortie du milieu (en dB) ;
I_\mathrm{entrée} : intensité sonore en entrée (en W/m2) ;
I_\mathrm{sortie} : intensité sonore en sortie (en W/m2).

* Remarques :
l'air est un milieu absorbant, et l'absorption dépend de la fréquence, les aigus étant beaucoup plus atténués que les graves ;
il faut évidemment ajouter l'atténuation due au milieu à l'atténuation géométrique.

Exemple : atténuation du son à travers une cloison
Un haut-parleur émet un signal dont le niveau sonore est de 75 dB d'un côté d'une cloison. De l'autre côté, on ne mesure plus qu'un niveau sonore de 51 dB. L'atténuation est donc égale à A = 51 - 75 = -24 dB à travers la cloison (si les mesures sont faites près de la cloison).

7. Application


a. Énoncé

Un groupe de 6 musiciens joue dans un kiosque en plein air. On supposera la propagation du son sphérique et on négligera l'atténuation due à l'air.

1. Démontrer que si l'intensité sonore d'un signal est multipliée par 10, alors le niveau sonore augmente de 10 dB.
2. A une distance d du kiosque le niveau sonore L est jugé faible. A quelle distance d' doit-on s'approcher pour que la musique soit 2 fois plus forte (c'est-à-dire que le niveau sonore augmente de 10 dB). On exprimera d' en fonction de d.
3. Combien de musiciens faudrait-il en plus pour que la musique soit 2x plus forte à la distance d ?


b. Solution

1. soit un signal d'intensité sonore I et de niveau sonore L = 10 \log (\dfrac{I}{I_0} )
soit un signal d'intensité I' = 10 \times I : son niveau sonore L' vaut alors :

L' = 10 \log (\dfrac{I'}{I_0} )

\Leftrightarrow L' = 10 \log (\dfrac{10 I}{I_0})

\Leftrightarrow L' = 10[ \log (\dfrac{ I}{I_0} ) + \log (10) ]

\Leftrightarrow L' = 10[ \log (\dfrac{ I}{I_0}) + 1 ]

\Leftrightarrow L' = = 10 \log (\dfrac{ I}{I_0}) + 10

\Leftrightarrow L' = L + 10

On trouve donc le résultat attendu : \boxed{L' = L + 10 dB}

2. la propagation du son étant sphérique, on en déduit que I = \dfrac{P}{S} avec S = 4 \pi r^2

Donc \boxed{I = \dfrac{ P}{4\pi r^2} }

avec :
P : puissance acoustique de la source ;
I : intensité sonore à la distance r de la source.

A la distance d l'intensité sonore vaut: I = \dfrac{ P}{4\pi d^2} }.

A la distance d' l'intensité sonore vaut : I' = \dfrac{ P}{4\pi d'^2} } et si la musique est 2 fois plus forte alors le niveau sonore L' = L + 10 dB ou encore, d'après la question 1, \boxed{I' =  10 I}.

On en déduit que :

I' = \dfrac{ P}{4\pi d'^2} } = \dfrac{ 10 P}{4\pi d^2}

\Leftrightarrow \dfrac{ 1}{ d'^2} } = \dfrac{ 10 }{d^2}

\Leftrightarrow  d'^2 = \dfrac{d^2}{10}

On trouve finalement : \boxed{d' = \frac{d}{\sqrt{10}} \approx  \frac{d}{3}}.

3. Si la musique doit être 2 fois plus forte à la distance d, il faut multiplier l'intensité sonore par 10 (d'après ce qu'on a vu à la question 2) et donc tout simplement multiplier le nombre de musiciens par 10 (car les intensités sonores de plusieurs sources s'ajoutent). Il faudrait donc 60 musiciens ou encore en ajouter 54 !

III. Effet Doppler-Fizeau

1. Introduction

* L'expérience de tous les jours montre que la sirène d'une ambulance paraît plus aiguë lorsqu'elle se rapproche que lorsqu'elle s'éloigne. Il en va de même quand une formule 1 passe en trombe devant les gradins : les spectateurs perçoivent un son dont la fréquence varie avec la distance qui les sépare du bolide.

* Ce phénomène est appelé effet Doppler, appelé aussi effet Doppler-Fizeau, en l'honneur des 2 savants qui ont étudié ce phénomène au XIXème siècle.

* L'effet Doppler concerne tous les signaux périodiques, notamment les ondes mécaniques et électromagnétiques.

2. Interprétation physique

Effet Doppler-Fizeau
Lorsque l'émetteur d'un signal périodique et le récepteur du signal se rapprochent ou s'éloignent (l'un de l'autre), il se produit un décalage de fréquence entre l'émetteur et le récepteur :
si la source se rapproche, la fréquence reçue est supérieure à la fréquence émise ;
si la source s'éloigne, la fréquence reçue est inférieure à la fréquence émise.

* L'effet Doppler est donc un effet physique et pas uniquement une sensation : l'émetteur et le récepteur mesurent une fréquence différente.

* L'effet Doppler est un effet purement cinématique, c'est-à-dire ne dépendant que des lois du mouvement. Il s'applique à tout signal périodique, même aussi simple qu'un bip (voire une balle !) envoyé à une certaine cadence (toutes les 2 secondes par exemple).

3. Cas de l'émetteur mobile et du récepteur fixe

* Dans un référentiel galiléen, considérons un émetteur E en mouvement par rapport à un observateur R immobile (le récepteur).

* Pour simplifier, supposons que l'émetteur se déplace uniformément sur l'axe le reliant au récepteur, c'est-à-dire la droite (ER), comme indiqué sur la figure.

* Montrons que la fréquence fR du signal reçu par R est différente de la fréquence fE du signal émis par E.

Propagation des ondes : acoustique et effet Doppler : image 2

* Notations :
TE : période du signal émis par E ; TR: période du signal reçu par R ;
vectv : vitesse de l'émetteur (par rapport à R) ;
c : vitesse du signal (par rapport à R).

* 1er cas : l'émetteur E se rapproche du récepteur R (voir figure).

A t = 0, E émet un signal en direction de R.

A t = TE :
l'émetteur a avancé d'une distance v \times T_E et émet (en E) un 2ème signal (par définition de la période TE)
et le 1er signal (en violet) s'est propagé d'une distance c \times T_E.

La distance entre les deux signaux vaut donc : \lambda = c \times T_E - v \times T_E = (c  -v) \times T_E
(dans le cas d'une onde, lambda est tout simplement la longueur d'onde)

On en déduit la durée séparant l'arrivée en R de signaux consécutifs (ou encore de 2 crêtes consécutives dans le cas d'une onde) : \Delta t = \dfrac{\lambda}{c}.
Cette durée étant par définition la période TR, on obtient :
 T_R =  \dfrac{\lambda}{c}  = \dfrac{(c-v)}{c} \; T_E  = ( 1 - \dfrac{v}{c} ) \; T_E \; et comme f_E =\dfrac{1}{T_E} et f_R = \dfrac{1}{T_R}

On trouve la formule Doppler (en cas de rapprochement) : \boxed{ f_R = \dfrac{f_E}{ 1 - \frac{v}{c} }  \; }.

* 2ème cas : l'émetteur E s'éloigne du récepteur R.
Par un raisonnement analogue, on démontre la formule Doppler (en cas d'éloignement) : \boxed{ f_R = \dfrac{f_E}{ 1 + \frac{v}{c} }  \; }

* Résultats

Formules de l'effet Doppler
Lorsque l'émetteur d'un signal périodique se rapproche d'un récepteur fixe(*) :

formule générale : \; \boxed{ f_R = \dfrac{f_E}{ 1 - \frac{v}{c} }  \; } donc  \boxed{ f_R > f_E \; }

 v\ll c \Rightarrow  \boxed{ f_R \approx ( 1 + \frac{v}{c} ) \; f_E }

Lorsque l'émetteur d'un signal périodique s'éloigne d'un récepteur fixe :

formule générale : \boxed{ f_R = \dfrac{f_E}{ 1 + \frac{v}{c} }  \; } donc  \boxed{ f_R  < f_E \; }

 v\ll c \Rightarrow  \boxed{f_R \approx ( 1 - \frac{v}{c} ) \; f_E  \; }
avec :
fE : fréquence du signal émis ;
fR : fréquence du signal reçu ;
v: vitesse de l'émetteur (*) ;
c : vitesse de propagation (ou célérité) du signal (*) ;

(*) par rapport au référentiel d'étude supposé galiléen.

* Remarques :
v et c sont ici positifs (il s'agit de la valeur des vitesses) ;
c est la vitesse de propagation du signal (pas forcément celle de la lumière) ;
il n'y a effet Doppler que si le signal est plus rapide que l'émetteur (v < c). Dans le cas contraire, d'autres phénomènes se produisent (bang sonique d'un avion qui franchit le mur du son, par exemple).

ATTENTION ! Ces formules ne s'appliquent que dans les conditions suivantes :
l'émetteur doit se déplacer sur la droite qui le relie au récepteur, et à vitesse constante ;
le récepteur est immobile. Et s'il y a un milieu de propagation, celui-ci doit aussi être immobile (par exemple l'air ambiant dans le cas d'un signal sonore) ;
la vitesse de l'émetteur est très inférieure à celle de la lumière dans le vide (environegal 300.000 km/s).

4. Autres cas d'effet Doppler

* L'effet Doppler se produit dans beaucoup d'autres situations, et les formules se compliquent alors un peu : par exemple,
lorsque l'émetteur ne se dirige pas droit sur le récepteur ;
lorsque le récepteur ou le milieu de propagation se déplacent aussi (en cas de vent par exemple) ;
lorsque le mouvement est relativiste (hors programme), càd si v > 0,1 c (où cenvironegal300.000 km/s).

*Important ! Si un exercice porte sur l'effet Doppler dans une telle situation, l'énoncé devra indiquer les formules à utiliser.

5. Décalage Doppler en fréquence

Décalage Doppler
On appelle décalage Doppler la différence entre fréquence du signal reçu (fR) et fréquence du signal émis (fE) : il est noté deltamajf et s'exprime en Hz :

deltamajf = fR - fE > 0 Hz en cas de rapprochement de la source ;

deltamajf = fR - fE < 0 Hz en cas d'éloignement de la source.

* Remarque
Dans le cas où v \ll c, l'expression du décalage Doppler \Delta f est simple :

En cas de rapprochement de la source :  f_R \approx ( 1 + \dfrac{v}{c} ) \; f_E donc \Delta f = f_R - f_E \approx   \dfrac{v}{c}  \; f_E .

En cas d'éloignement de la source :   f_R \approx ( 1 - \dfrac{v}{c} ) \; f_E donc \Delta f = f_R - f_E \approx -  \dfrac{v}{c}  \; f_E .

Ce qui peut se résumer par la formule : \boxed{ |\Delta f| \approx   \dfrac{v}{c}  \; f_E } (si v \ll c).
avec :
fE : fréquence du signal émis ;
v : vitesse de l'émetteur ;
c : vitesse de propagation du signal.

6. Décalage Doppler en astronomie

* Dans le cas des ondes électromagnétiques se propageant dans le vide (ou dans l'air), la célérité c de l'onde est la même pour l'émetteur et le récepteur (c environegal 300.000 km/s), mais la fréquence et la longueur d'onde sont différentes. Ainsi, en astronomie, on observe des décalages dans les raies caractéristiques du spectre des étoiles.

* Dans ce cas, l'effet Doppler peut aussi s'exprimer avec les longueurs d'onde :

il suffit de remarquer que: \boxed{ \lambda = \frac{c}{f}  \; } (c étant ici une constante) et d'inverser les formules Doppler générales (en fréquence), pour obtenir :
en cas de rapprochement : \; \boxed{ \lambda_R = \left( 1 - \frac{v}{c} \right) \lambda_E \; }

en cas d ' éloignement : \; \boxed{ \lambda_R = \left( 1 + \frac{v}{c} \right) \lambda_E \; }

on notera que l'effet sur la longueur d'onde est l'inverse de celui sur la fréquence ! si la fréquence diminue, la longueur d'onde augmente et vice versa.

7. Illustration du décalage vers le rouge

* Le dessin amusant qui suit illustre le phénomène de décalage vers le rouge (redshift en anglais ) qu'on observe en analysant la lumière provenant des galaxies qui s'éloignent de la Terre.

* A noter que pour observer du rouge (ou du bleu) à la place du vert, il faut que la source se déplace à environ 20% de la vitesse de la lumière ! Donc aucun souci avec les deux tricolores sur Terre : même en roulant à 300 km/h, les feux verts restent verts !

Propagation des ondes : acoustique et effet Doppler : image 1

IV. Application


a. Enoncé

Un piéton immobile au bord du trottoir, entend arriver au loin un camion de pompier lancé à 75 km/h. On suppose que le camion se dirige droit sur le piéton. La sirène des pompiers émet une suite de 2 notes : si et la.

Données :
- vitesse du son: c =340 m/s

- formules Doppler: dans le cas d'un émetteur E mobile et d'un récepteur R fixe, l'émetteur se déplaçant sur l'axe (ER) :

(a)  f_R \approx ( 1 + \frac{v}{c} ) \; f_E (si v \ll c)

(b)  f_R \approx ( 1 - \frac{v}{c} ) \; f_E

Avec : fR : fréquence reçu, fE : fréquence émise, v : vitesse de l'émetteur, c : célérité du signal

- fréquences des notes :
sol 395 Hz
sol# 415 Hz
la 440 Hz
sib 466 Hz
si 494 Hz
do 523 Hz
do# 554 Hz
587 Hz

1. Quelle formule Doppler s'applique à cette situation ? Justifier.
2. Quelles sont les notes perçues par le piéton ?
3. Quelles notes perçoit le conducteur du camion ?
4. Que se passerait-il si le camion roulait en sens inverse ?


b. Solution

1. Dans cette situation, l'émetteur E du son est le camion de pompiers qui se rapproche du piéton R. Il y a donc effet Doppler. D'autre part, nous savons que :
E est mobile, R est fixe par rapport au sol, E se dirige droit sur R ;
en cas de rapprochement, fR > fE ;
et que v = 75 km/h environegal 21 m/s qui est petit devant c = 340 m/s donc c'est la formule (a) qui s'applique (car il faut que : fR > fE).

2. il suffit d'appliquer la formule aux fréquences des notes si et la :  f_R \approx ( 1 + \frac{v}{c} ) \; f_E =  ( 1 + \dfrac{20,83}{340} ) \; f_E = 1,06 f_E
Pour un la (fE = 440 Hz): fR = 1,06 x 440 environegal 466 Hz.
Pour un si : fR = 1,06 x 494 environegal 523 Hz.
Le piéton entend une suite de do et de si bémol !

3. Dans le camion, il n'y a aucun effet Doppler puisque la sirène est fixée au camion. Le conducteur entend donc le "vrai pin-pon": si-la-si-la ...

4. Si le camion s'éloigne du piéton, il faut appliquer la formule (b) :   f_R \approx ( 1 - \dfrac{v}{c} ) \; f_E =  0,94 f_E
Pour un la : fR = 0,94 x 440 environegal 414 Hz.
Pour un si : fR = 0,94 x 494 environegal 464 Hz.
Le piéton entend une suite de notes différente : sol# - si bémol ...

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