Fiche de physique - chimie
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LES INTERFÉRENCES

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I. Les ondes lumineuses : des ondes électromagnétiques

1. Caractéristiques d'une onde électromagnétique

a. Définition
Onde électromagnétique
Une onde électromagnétique est le phénomène de propagation d'une vibration électrique et magnétique dans un milieu matériel ou dans le vide sans transport de matière.

Elle résulte d'un champ électrique et d'un champ magnétique dont les amplitudes varient de façon sinusoïdale au cours du temps. L'amplitude d'une onde électromagnétique varie donc de façon sinusoïdale au cours de sa propagation.

* Remarques :
une onde électromagnétique est dite sinusoïdale si, en tout point du milieu de propagation, l'onde est une fonction sinusoïdale du temps.
la propagation dans le vide est propre à une onde électromagnétique : ce n'est pas le cas pour une onde mécanique qui nécessite un milieu matériel pour se propager !
la propagation d'une onde électromagnétique se fait dans une région sans charges ni courants ;
en optique, la direction de propagation de l'onde est celle du rayon lumineux.


b. Direction de propagation
Propriété
Une onde électromagnétique se propage à partir de la source dans toutes les directions qui lui sont offertes.

c. Transport d'énergie
Propriété
Une onde électromagnétique transporte de l'énergie sans transport de matière. Cette énergie a été fournie par la source au milieu matériel ou au vide.

d. Vitesse (ou célérité) d'une onde électromagnétique
Propriété
La vitesse (ou célérité) d'une onde électromagnétique dans un milieu matériel ne dépend pas de l'amplitude de la déformation. Elle est caractéristique de ce milieu.

e. Périodicité spatiale et temporelle

* Un phénomène est périodique dans le temps s'il se répète, identique à lui même, régulièrement au cours du temps. Ainsi, une onde électromagnétique sinusoïdale est périodique : en un point quelconque du milieu de propagation, l'onde est périodique au cours du temps.

Période temporelle et fréquence
La période temporelle ou période T d'un phénomène périodique est la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit identique à lui-même. Elle s'exprime en secondes (s).

La fréquence est le nombre de fois que le phénomène périodique se reproduit, identique à lui-même, pendant une seconde. Elle s'exprime en Hertz (Hz) :

\boxed{f ~ \text{ou} ~ \nu = \dfrac{1}{T}}

Période spatiale
La période spatiale ou longueur d'onde \lambda d'une onde électromagnétique est la plus courte distance de répétition de cette onde. C'est donc la distance parcourue par cette onde pendant une période temporelle T. Ainsi, la longueur d'onde \lambda d'une onde sinusoïdale est donc sa période spatiale.

La longueur d'onde \lambda est la distance parcourue par l'onde sinusoïdale pendant une période T de cette onde sinusoïdale ; si v est la vitesse (ou célérité) de propagation de l'onde, alors :

\boxed{\lambda = v \cdot T = \dfrac{v}{f ~ \text{ou} ~ \nu}}

* Remarques:
la fréquence \nu et donc la période T = \dfrac{1}{\nu} est caractéristique de l'onde. C'est une grandeur caractéristique de la source qui émet l'onde.
la vitesse (ou célérité) v de l'onde électromagnétique dépend du milieu de propagation \Rightarrow la longueur d'onde \lambda n'est pas caractéristique de l'onde.


f. Approximation scalaire de l'optique

* Considérons une onde électromagnétique plane d'une lumière monochromatique (= 1 seule longueur d'onde), c'est-à-dire ne dépendant que d'une coordonnée cartésienne x et du temps t.

* On suppose qu'une onde s est émise au point O. On peut choisir O comme origine des temps pour écrire :

s(O,t) = A\cdot\cos\left(\dfrac{2 \pi}{T}\cdot t\right)

Les interférences : image 5

* Si l'onde se propage à la vitesse v, M "reproduit" le signal de O avec le retard ~~\tau=\dfrac{x}{v} :

s(M,t) = s(O,t-\tau) = s\left(O,t-\dfrac{x}{v}\right)

\Leftrightarrow s(M,t) = A\cdot \cos\left(\dfrac{2 \pi}{T}\cdot(t - \dfrac{x}{v})\right)

\Leftrightarrow s(M,t) = A\cdot\cos\left(\dfrac{2 \pi \cdot t}{T} - \dfrac{2 \pi \cdot x}{v \cdot T}\right)

\Leftrightarrow s(M,t) = A\cdot\cos\left(\dfrac{2 \pi \cdot t}{T} - \dfrac{2 \pi \cdot x}{\lambda}\right), avec \lambda la longueur d'onde de cette onde

\Leftrightarrow s(M,t) = A \cdot \cos \left(\dfrac{2 \pi \cdot x}{\lambda} - \dfrac{2 \pi \cdot t}{T}\right), le cosinus étant une fonction paire (\cos(- \alpha) = \cos(\alpha)).

* Cette grandeur scalaire s(M,t), appelée vibration lumineuse, est la projection du champ électrique sur un axe parallèle à ce champ :

s(M,t) = A\cdot\cos(\Phi (M) - \omega \cdot t)

\boxed{A} est l'amplitude, correspondant à la valeur maximale prise par la vibration ;

\boxed{\omega = \dfrac{2 \pi}{T} = 2 \pi \cdot \nu} est la pulsation (dépend de la source qui émet l'onde) ;

\boxed{\Phi (M) = \dfrac{2 \pi}{\lambda}\cdot x} est le retard de phase de l'onde au point M (de coordonnée x sur l'axe de propagation de l'onde) par rapport au point O.

Chemin optique
Dans le cas général, la direction du rayon lumineux peut changer à la suite de réfractions et de réflexions.

La phase de l'onde s'écrit alors (\Phi (M) - \omega \cdot t) avec \Phi (M) = \dfrac{2 \pi}{\lambda _0} \cdot (OM).

(OM) est le chemin optique de O à M suivant le rayon lumineux.

\boxed{\lambda _0 = n \cdot \lambda} est la longueur d'onde dans le vide et n l'indice optique du milieu traversé par le rayon lumineux.

2. Les différents domaines des ondes électromagnétiques dans le vide

* La vitesse d'une onde électromagnétique dépend du milieu dans lequel l'onde se propage. Connaissant l'indice n du milieu traversé, la vitesse v peut s'écrire :

\boxed{v = \dfrac{c}{n}}c \approx 3,0\cdot 10^8 ~ \text{m.s}^{-1} est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide.

* Il en va de même pour sa longueur d'onde : \lambda = v \cdot T = \dfrac{c}{n}\cdot T = \dfrac{\lambda _0}{n} avec \boxed{\lambda _0 = c \cdot T} longueur d'onde dans le vide.

* En fonction de la valeur de sa fréquence (voire de la valeur de sa longueur d'onde dans le vide), une onde électromagnétique appartient à un domaine spécifique :

Les interférences : image 1

Spectre électromagnétique (d'après UC Davis ChemWiki, CC-BY-NC-SA 3,0)


* Remarques :
le domaine de la lumière visible ne constitue qu'un cas particulier des ondes électromagnétiques et ne représente qu'une infime partie de ce spectre. Pour ce domaine, on aura tendance à parler d'ondes lumineuses.
contrairement aux ondes sonores audibles par l'homme (20 ~ \text{Hz} < f < 20 ~ \text{kHz}), les ondes lumineuses se situent dans un domaine fréquentiel beaucoup plus élevé : f \approx 5.10^{14} ~ \text{Hz}.

II. Généralités sur les interférences

1. Définition

Interférences lumineuses
Lorsque plusieurs ondes lumineuses atteignent un même point, leurs champs électriques s'ajoutent (principe de superposition).

En optique, on parle d'interférences lumineuses lorsque des ondes quasi-planes se superposent et qu'il n'y a pas additivité des éclairements (= puissances moyennes par unité de surface).

Les interférences : image 3


Interférence de deux ondes quasi-planes lumineuses (d'après Wikipédia, article "Interférence")


2. Conditions d'existence des interférences lumineuses

Propriété
Pour qu'il y ait des interférences lumineuses, il faut que :

les ondes soient synchrones, c'est-à-dire ont la même fréquence ;

il y ait cohérence temporelle : la différence de phase entre les ondes qui interfèrent en un point donné doit être indépendante du temps ;

assez souvent la cohérence spatiale est nécessaire : les différents atomes d'une source émettent des vibrations non déphasées aléatoirement les unes par rapport aux autres (ce qui est le cas pour un laser par exemple).

3. Type de dispositifs utilisés pour les interférences à deux ondes

* Pour obtenir 2 ondes synchrones avec une cohérence temporelle, on fait interférer 2 ondes issues du même point source S après dédoublement de faisceau : on obtient ainsi 2 sources secondaires synchrones cohérentes S_1 et S_2. Ces sources secondaires peuvent être dans le dispositif ou être les images de S par le dispositif.

* On utilise 2 types de dispositifs :
le dispositif à division de front d'onde, qui permet une division géométrique du faisceau , tel que les trous d'Young ;
le dispositif à division d'amplitude, qui permet une division énergétique du faisceau grâce à des lames semi-réfléchissantes (hors programme).

* Quel que soit le dispositif, il y a des interférences partout où les faisceaux issus de S_1 et S_2 se recouvrent (= les ondes se superposent) : on dit que les interférences sont non localisées. Plus exactement, elles sont localisées dans un volume appelée champ d'interférences. On appelle aussi champ d'interférences l'intersection de ce volume et de l'écran avec lequel on les observe.

4. Superposition de deux ondes planes synchrones et cohérentes


a. Cas général

* On suppose que 2 vibrations lumineuses synchrones et cohérentes arrivent en M par 2 chemins différents (par exemple issues des deux sources secondaires S_1 et S_2 précédemment évoquées) :

s_1 (M,t) = A_1\cdot \cos(\Phi _1(M) - \omega\cdot t) ;

s_2 (M,t) = A_2\cdot \cos(\Phi _2(M) - \omega\cdot t).

* D'après le principe de superposition, la vibration résultante est :

s(M,t) = s_1 (M,t) + s_2 (M,t)

\Leftrightarrow s(M,t) = A_1 \cdot \cos(\Phi _1(M) - \omega \cdot t) + A_2 \cdot \cos(\Phi _2(M) - \omega \cdot t)

Déphasage entre deux ondes
On définit le déphasage entre les 2 ondes qui arrivent en M par :

\boxed{\Delta \Phi(M) = \Phi _2 (M) - \Phi _1 (M)}

b. Cas de deux ondes de même amplitude

* Les deux vibrations lumineuses ci-dessus deviennent (A_1 = A_2 = A) :

s_1 (M,t) = A \cdot \cos(\Phi _1(M) - \omega\cdot t) ;

s_2 (M,t) = A \cdot \cos(\Phi _2(M) - \omega\cdot t).

* D'après le principe de superposition, la vibration résultante est :

s(M,t) = s_1 (M,t) + s_2 (M,t)

\Leftrightarrow s(M,t) = A\cdot\cos(\Phi _1(M) - \omega\cdot t) + A\cdot\cos(\Phi _2(M) - \omega\cdot t)


* Premier cas : si \Phi _1(M) = \Phi _2(M) = \Phi(M) (= les deux ondes sont en phase) :

s(M,t) = A\cdot\cos(\Phi(M) - \omega\cdot t) + A\cdot\cos(\Phi(M) - \omega\cdot t)

\Leftrightarrow \boxed{s(M,t) = 2A\cdot\cos(\Phi(M) - \omega\cdot t)}

Propriété
Si les deux ondes sont en phase en un point M alors l'amplitude de la vibration résultante en ce point est maximale et égale à 2A.

On dit alors que les ondes interfèrent de façon constructive :

\boxed{\Delta \Phi(M) = \Phi _2(M) - \Phi _1(M) = 0 ~ (\text{mod} ~ 2\pi)}

* Deuxième cas : si \Phi _2(M) = \Phi _1(M) + \pi (= les deux ondes sont en opposition de phase) :

s(M,t) = A\cdot\cos(\Phi _1(M) - \omega\cdot t) + A\cdot\cos(\Phi _1(M) + \pi - \omega\cdot t)

\Leftrightarrow s(M,t) = A\cdot\cos(\Phi _1(M) - \omega\cdot t) + A\cdot\cos(\Phi _1(M) - \omega\cdot t + \pi)

or, d'après la trigonométrie, \cos(\alpha + \pi)= - \cos(\alpha), donc :

s(M,t) = A\cdot\cos(\Phi _1(M) - \omega\cdot t) - A\cdot\cos(\Phi _1(M) - \omega\cdot t) = 0

Propriété
Si les deux ondes sont en opposition de phase en un point M alors l'amplitude de la vibration résultante en ce point est minimale et égale à 0.

On dit alors que les ondes interfèrent de façon destructive :

\boxed{\Delta \Phi(M) = \Phi _2(M) - \Phi _1(M) = \pi ~ (\text{mod} ~ 2\pi)}

Les interférences : image 2


Interférences constructives et destructives (d'après Wikiversité, article "Interférence/Généralités")


c. Franges d'interférence

* Lorsque deux ondes planes synchrones et cohérentes interfèrent (= se superposent), on observe des lignes d'amplitudes maximales (lignes blanches) où alternent des zones sombres et brillantes avec un contraste maximal (et qui se déplacent le long de cette ligne au cours du temps) et des lignes de contraste quasi-nul (d'amplitudes minimales, uniformément grise, représentées par une ligne noire) sur lesquelles la vibration lumineuse est nulle quel que soit t.

* Ces lignes sont appelées franges d'interférence.

* Remarques : lorsqu'on augmente la fréquence (donc pour des vibrations lumineuses de longueur d'onde plus petite), le nombre de franges augmente.

III. Interférences par division de front d'onde : les trous d'Young

1. Définition

Dispositif à trous d'Young
Le dispositif à trous d'Young est un dispositif à division de front d'onde qui permet une division géométrique du faisceau.

* Schéma du dispositif :

Les interférences : image 6

2. Déphasage et différence de marche


a. Rappel de la notion de phase

* Il a été vu précédemment que la phase de l'onde s'écrit (\Phi (M) - \omega \cdot t) avec \Phi (M) = \dfrac{2 \pi}{\lambda _0} \cdot (OM), où (OM) est le chemin optique de O à M suivant le rayon lumineux, \lambda _0 = n \cdot \lambda la longueur d'onde dans le vide et n l'indice optique du milieu traversé par le rayon lumineux.


b. Notions de déphasage et de différence de marche

* Il a été vu précédemment qu'on définit le déphasage entre les 2 ondes qui arrivent en M par :

\Delta \Phi(M) = \Phi _2 (M) - \Phi _1 (M) = \dfrac{2 \pi}{\lambda _0} \cdot (SM)_2 - \dfrac{2 \pi}{\lambda _0} \cdot (SM)_1  = \dfrac{2 \pi}{\lambda _0} \cdot [(SM)_2 - (SM)_1]

On pose \boxed{\delta _{\text{géo}}(M) = (SM)_2 - (SM)_1}.

C'est la différence de marche géométrique entre 2 rayons qui interfèrent en M. Finalement, on peut écrire :

\boxed{\Delta \Phi(M) = \dfrac{2 \pi}{\lambda _0} \cdot \delta _\text{géo}(M)}


* Hypothèse : dans le dispositif des trous d'Young, étant donné que la lumière ne se réfléchit pas d'un milieu moins réfringent à plus réfringent (par exemple air \rightarrow verre) ou d'un milieu transparent sur un métal, il n'y pas de déphasage supplémentaire à considérer dans l'étude : \delta _\text{géo}(M) = \delta (M).


c. Application aux trous d'Young

* On suppose que les trous sont équidistants de la source de lumière S donc (SS_1) = (SS_2).

* On pose a = S_1S_2 et D = distance projetée sur x entre les sources secondaires S_1, S_2 et l'écran. Dans le cas usuel, D \gg a, y, z si y et z sont les coordonnées de M dans le repère choisi sur le schéma ci-dessus.

* La différence de marche géométrique s'écrit : \delta _{\text{géo}}(M) = (SM)_2 - (SM)_1 = (SS_2) + (S_2M) - (SS_1) - (S_1M) = (S_2M) - (S_1M).

* Ces quatre chemins géométriques sont parcourus dans un milieu d'indice optique n, on peut donc écrire : \delta _{\text{géo}}(M) = n \cdot(S_2M - S_1M).

* Dans le repère (Oxyz) défini sur le schéma, les coordonnées des points sont :

S_1 (0 ; \dfrac{a}{2} ; 0) ;

S_2 (0 ; - \dfrac{a}{2} ; 0) ;

M (D ; y ; z).

* D'après le cours de mathématiques sur les normes, on peut écrire :

S_2M = \sqrt{D^2 + \left(y + \dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2} ;

S_1M = \sqrt{D^2 + \left(y - \dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2}.

* La différence de marche géométrique peut donc s'écrire :

\delta _{\text{géo}} = n \cdot \left[\sqrt{D^2 + \left(y + \dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2} - \sqrt{D^2 + \left(y - \dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2}\right]

\Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} = n \cdot D\left[ \sqrt{1 + \left(\dfrac{y+a/2}{D}\right)^2 +\left(\dfrac{z}{D}\right)^2 } - \sqrt{1 + \left(\dfrac{y-a/2}{D}\right)^2 +\left(\dfrac{z}{D}\right)^2 } \right]

Comme D \gg a, y, z, on a :

\underbrace{\left(\dfrac{y+a/2}{D}\right)^2+\left(\dfrac{z}{D}\right)^2}_{X_1} \ll 1 ~ \text{et} ~ \underbrace{\left(\dfrac{y-a/2}{D}\right)^2+\left(\dfrac{z}{D}\right)^2}_{X_2} \ll 1.

Comme \sqrt{1+X} \approx 1+\dfrac{X}{2} pour |X|\ll 1 (développement limité de la fonction X\mapsto\sqrt{1+X} à l'ordre 1 en 0), on peut écrire :

\delta _{\text{géo}} = n \cdot D \cdot \left[\sqrt{1+X_1}-\sqrt{1+X_2}\right] \approx n \cdot D \cdot \left[\left(1+\dfrac{X_1}{2}\right) - \left(1 + \dfrac{X_2}{2}\right)\right]

\Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} \approx n \cdot D \cdot \dfrac{X_1 - X_2}{2}

\Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} \approx \dfrac{n \cdot D}{2} \cdot \left[\left(\dfrac{y+a/2}{D}\right)^2 + \left(\dfrac{z}{D}\right)^2-\left(\dfrac{y - a/2}{D}\right)^2-\left(\dfrac{z}{D}\right)^2\right]

\Leftrightarrow  \delta _{\text{géo}} = \dfrac{n \cdot D}{2 D^2} \cdot \left[\left(y + \dfrac{a}{2}\right)^2 - \left(y - \dfrac{a}{2}\right)^2\right]

En remarquant que nous avons une identité remarquable, on peut écrire :

\delta _{\text{géo}} = \dfrac{n}{2 D} \cdot \left[\left(y + \dfrac{a}{2} + y - \dfrac{a}{2}\right) \cdot \left(y + \dfrac{a}{2} - y + \dfrac{a}{2}\right)\right]

\Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} = \dfrac{n}{2 D} \cdot (2 y \cdot a)

\Leftrightarrow \boxed{\delta _{\text{géo}} = \dfrac{n \cdot a \cdot y}{D}}.

Expression de la différence de marche géométrique dans l'air
Ainsi, dans l'air, comme n \approx 1, la différence de marche géométrique s'écrit \boxed{\delta _{\text{géo}} = \dfrac{a \cdot y}{D}}} si

a = S_1S_2 est la distance entre les deux sources secondaires ;

D est la distance entre S_1S_2 et l'écran ;

y est la hauteur de M sur l'écran.

* Cette expression est valable à chaque fois qu'on a mis en évidence 2 sources secondaires S_1 et S_2 et que les chemins optiques (S_1M) et (S_2M) sont effectués dans le même milieu.

3. Franges d'interférence : condition d'interférence constructive ou destructive


a. Définition

* Une frange d'interférence est l'ensemble des points M tels que : \boxed{\Delta \Phi = \text{constante} \Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} = \text{constante} \Leftrightarrow y = \text{constante}}, les franges sur l'écran sont donc rectilignes, parallèles à zz' et perpendiculaires à S_1S_2. Elles sont d'autant plus écartées que la distance écran - trous est grande.


b. Condition d'interférence constructive

* Une frange brillante en un point M correspond à une amplitude de la vibration résultante maximale et égale à 2A. Cela est rendu possible dès lors que les ondes qui interfèrent en ce point sont en phase :

\boxed{\text{Amplitude maximale pour la vibration résultante en}\ M \Leftrightarrow \Delta \Phi = 2 m \cdot \pi ~~ (m \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \delta_\text{géo} = m \cdot \lambda _0}

* On dit qu'il y a interférence constructive.


c. Condition d'interférence destructive

* Une frange sombre en un point M correspond à une amplitude de la vibration résultante minimale et égale à 0. Cela est rendu possible dès lors que les ondes qui interfèrent en ce point sont en opposition de phase :

\boxed{\text{Amplitude minimale pour la vibration résultante en}\ M \Leftrightarrow \Delta \Phi = (2 m + 1) \cdot \pi  ~~  (m \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \delta_\text{géo} = (2m + 1) \cdot \dfrac{\lambda _0}{2}}

* On dit qu'il y a interférence destructive.

4. Interfrange


Interfange
L'interfrange i est la distance entre deux franges brillantes consécutives ou la distance entre deux franges sombres consécutives.

Celle-ci a pour expression :

\boxed{i = \dfrac{\lambda \cdot D}{a}} (en m)


a = S_1S_2 est la distance entre les deux sources secondaires (en m) ;

D est la distance entre S_1S_2 et l'écran (en m) ;

\lambda est la longueur d'onde de la lumière monochromatique utilisée pour la source S (en m).

Les interférences : image 4


* Démonstration :
Lorsque la différence de marche dans l'air \delta (M) = \dfrac{a \cdot y}{D} varie de \lambda, y doit varier de i par définition ;
Finalement, \lambda =\dfrac {a \cdot i}{D} \Leftrightarrow i = \dfrac {\lambda \cdot D}{a}.

IV. Autres dispositifs d'interférences

1. Dispositifs par division de front d'onde

* C'est un dispositif par lequel il y a division géométrique du faisceau.

* Exemples d'interféromètres :
Miroirs de Fresnel ;
Biprisme de Fresnel ;
Demi-lentilles de Billet ;
Miroir de Lloyd ;
Bilentilles de Meslin.

2. Dispositifs par division d'amplitude

* C'est un dispositif par lequel il y a division énergétique du faisceau grâce à des lames semi réfélchissantes.

* Exemple : interféromètre de Michelson.

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