Cliquez pour afficher Je suppose que tu cherches la forme d'un toboggan reliant A et B sur lequel glisserait le point matériel de masse m (sous la seule action de la force pesanteur) pour passer le plus vite possible de A à B.
vitesse instantanée du point matériel: v = rac(-2gy) (y étant la distance verticale parcourue depuis le point A( axe des y vertical vers le haut).
sin(alpha)/v = K (constante)
Avec alpha l'angle entre la verticale et la direction de la vitesse (et donc aussi de la tangente à la trajectoire)
On peut déterminer K par la valeur de sin(alpha)/v pour un alpha déterminé.
Si la vitesse max atteinte en cours de route, l'est pour un point de la trajectoire situé à une distance H sous A, alors le point est forcément le point le plus bas de la trajectoire et il y a donc un min dams l'équation de la trajectoire en ce point --> sin(theta) = 1 à cet endroit (90° entre la verticale et la tangente à la trajectoire en ce point).
-->
sin(alpha)/V(-2gy) = 1/V(2gH)
La composante horizontale élémentaire du déplacement dx par rapport au déplacement élémentaire total V(dx²+dy²) sont relié par la relation:
dx = V(dx²+dy²) * sin(alpha) et donc :
[dx/V(dx²+dy²)]/V(-2gy) = 1/V(2gH)
[dx/V(dx²+dy²)]/V(-y) = 1/V(H)
En élevant au carré --->
[dx²/(dx²+dy²)]/(-y) = 1/H
(dx²+dy²)/dx² = -H/y
1 + (dy/dx)² = -H/y
(dy/dx)² = -H/y - 1
(y'² + 1).y = - H
Ik s'agit donc de résoudre l'équation différentielle : (y'² + 1).y = K
Cette équation différentielle permet de trouver l'équation de la trajectoire.
C'est une courbe connue, cycloïde.
(La plus courte est la courbe brachistochrone).
Les équations d'une cycloïde peuvent se mettre sous la forme (avec A à l'origine du repère) :
x(Beta) = k(Beta - sin(Beta)) (k est une constante et Beta l'angle paramètre)
y(Beta) = k(1 - cos(Beta))
Il reste à exprimer que cette courbe passe par le point B pour déterminer la valeur de k.
Pour cela, il faut remplacer x et y des 2 équations de la cycloïde par les coordonnées de B (qui doivent être connues) et d'éliminer beta entre les 2 relations trouvées.
C'est facile avec des valeurs numériques des coordonnées de B.
Aux erreurs près.