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Posté par
Florianbre : Mecanique 28-07-15 à 19:40

Pardon, une coquille s'est glissée dans mes résultats. Il faut lire :

\boxed{\vec{v_{M|R}} = \dfrac{dx(t)}{dt}\vec{e_x} - R.\omega.sin(\theta(t))\vec{e_x} + R.\omega.cos(\theta(t))\vec{e_y}}

Ou encore :

\boxed{\vec{v_{M|R}} = \begin{pmatrix}\dfrac{dx(t)}{dt}- R.\omega.sin(\theta(t))\\R.\omega.cos(\theta(t))\\0\end{pmatrix}}

Posté par
lolo77150re : Mecanique 28-07-15 à 19:43

Ah donc c'etait pas bon ce que j'avais mis alors ?
Oui pour calculer la norme du vecteur on fais prendre toute les composant au carré on fais la somme puis on fais la racine carré de cette somme

Posté par
Florianbre : Mecanique 28-07-15 à 19:47

C'était quasiment correct. Il manquait le \vec{e_x} derrière dx/dt. Fais attention, c'est faux de mélanger des vecteurs et des scalaires et tu as déjà fait cette faute quelques fois.

Sinon pour ce que tu m'as dis concernant la norme d'un vecteur je suis d'accord. Peux tu alors donner l'expression de la vitesse du point M dans le repère principal ?

Posté par
lolo77150re : Mecanique 28-07-15 à 19:51

Mais la on a pas fini de derivée si ?
normalement les ex et ey doivent pas partir ?

Posté par
Florianbre : Mecanique 28-07-15 à 19:55

Ben si, on a répondu à la question, d'où le fait que j'ai encadré le résultat.

OM est un vecteur, même si on dérive son expression par rapport à un temps on obtiendra toujours encore un vecteur ! C'est donc bien normal que les vecteurs ne "partent" pas.

Posté par
lolo77150re : Mecanique 28-07-15 à 20:00

Ok je voie totalement ! j'apprend beacoup beacoup de chose je suis tres content
Mais cette exercice n'est pas evident je trouve

Posté par
Florianbre : Mecanique 28-07-15 à 20:04

Je te conseille d'encore une fois relire cette partie de ton cours une fois l'exercice terminé.

Je te repose ma question : peux-tu me donner l'expression de la vitesse du point M dans le repère principal ?

Posté par
lolo77150re : Mecanique 28-07-15 à 20:07

Oui je le fais en parralèle qu'on fais l'exercice et je comprend tout pour le moment mais après cette exo il y a l'acceleratione , base cartésienne cylindrique etc..
L'expression de la vitesse , donc je te donne la norme c'est sa ?

Posté par
Florianbre : Mecanique 28-07-15 à 20:29

Oui c'est correct.

Posté par
lolo77150re : Mecanique 28-07-15 à 20:38

\sqrt{(\frac{dx(t)}{dt}-R.\omega.sin(\theta(t)))²+(R.\omega.cos(\theta(t)))²}

Posté par
Florianbre : Mecanique 28-07-15 à 20:49

Je suis d'accord avec toi. Développe maintenant le terme en (\dfrac{dx(t)}{dt}-R.\omega.sin(\theta(t)))² et simplifie ce que tu as obtenu (souviens toi que cos²(x) + sin²(x) = 1)

Tu devrais obtenir une somme de quelque chose qui dépend de théta et quelque chose qui n'en dépend pas sous la racine.

Posté par
lolo77150re : Mecanique 28-07-15 à 20:57

Je viens de le developper sur mon cahier de brouiller avec les identité remarquables , mais c'est pas evident de se retrouvé une fois developper pour le simplifier ..

Posté par
lolo77150re : Mecanique 28-07-15 à 22:58

tu as la vitesse maximal d'avancement de l'helicopter ?

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 09:39

Non, je n'ai pas cette vitesse étant donné que c'est le but de la deuxième question, déterminer cette vitesse pour que le bout de la pale ne dépasse pas le mur du son (il y aurait sinon une perte quasi immédiate de portance sur cette pale et l'hélicoptère ne volerait plus très longtemps du tout...).

Et développe juste ce qui est sous la racine, fais le méthodiquement puis inscris le résultat que tu trouves ici. On pourra alors s'intéresser à la valeur de \theta pour laquelle la vitesse en M (à une vitesse d'avancement selon x donnée) est maximale.

Florian

PS : Je te joins ci-dessous une image pour te montrer que la vitesse absolue du point M varie en fonction de l'angle \theta et qu'il est donc important de déterminer l'angle \theta pour lequel cette vitesse absolue est maximum.

Mecanique

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 09:51

Bonjour Florian ,
J'ai essayé de la developpé donc j'ai fais les identitées remarquable comme je t'ai dis mais après je suis bloqué ..

Et puis j'ai pas compris le systeme avec la pale , le son , et les pertes :/

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 09:56

Pour la pâle etc, ce n'est pas un problème. Dans l'exercice on te donne tout ce qu'il faut au final pour résoudre la question en t'indiquant que l'on doit toujours avoir :

\vec{v_{M|R}} \le \vec{v_{son}}

C'est tout ce dont tu as besoin de savoir.

Et pour l'instant, le développement de ce qui est sous la racine devrait te donner ceci non :

(v_{M|R})² = (\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta) + R².\omega².sin(\theta)² + R².\omega².cos(\theta)²

Non ?

Il n'y a pas ensuite de grande simplification à faire, regroupe simplement les termes en R².\omega².sin(\theta)² et R².\omega².cos(\theta)² en te souvenant que cos²(x) + sin²(x) = 1.

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 09:57

Oups, très grosse bourde de ma part, je voulais écrire :

v_{M|R} \le v_{son}

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 10:00

Ah oui c'est çela que j'ai trouvé !
mais je pensais qu'il n'etais pas terminé :

(v_{M|R})² = (\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta) + R².\omega².sin(\theta)² + R².\omega².cos(\theta)²

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 10:02

Euh non , il n'a pas de carré sur \vec{vm|r}

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 10:04

Oui, je sais, c'est juste pour faire disparaître la racine. Mais tu peux juste t'intéresser à cela si tu veux (qui est censé être ce que tu as obtenu après avoir utilisé les identités remarquables) :

(\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta) + R².\omega².sin(\theta)² + R².\omega².cos(\theta)²

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 10:13

je factorise sa ?
R².\omega².sin(\theta)² + R².\omega².cos(\theta)²

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 10:15

Oui, exactement. Tu auras alors quelque chose qui ne dépend plus de \theta et tu auras donc au final sous ta racine deux termes qui ne dépendent pas de \theta et un qui en dépend.

Écris l'expression finale de la vitesse que tu obtiens dans ton prochain message.

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 10:31

R².\omega².sin(\theta)² + R².\omega².cos(\theta)² = (R.\omega)².sin(\theta)² + (R.\omega)².cos(\theta)² = (R.\omega)².(sin(\theta)² +cos(\theta)²) = (R.\omega)²

Donc :


(v_{M|R})² = (\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta) + (R.\omega)²
Ou bien :
(v_{M|R}) =\sqrt{(\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta) + (R.\omega)²}

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 10:35

On est entièrement d'accord sur l'expression de la vitesse du point M. Vois-tu maintenant pour quelle valeur de \theta cette vitesse est maximum ?

Souviens toi du fait que la fonction "racine carrée" est croissante ce qui veut dire que la propriété suivante est vraie :

0 \le a \le b \iff \sqrt{a} \le \sqrt{b}

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 10:42

alors :

\sqrt{(\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta) + (R.\omega)²} \sqrt{330} ?

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 10:57

donc que je peux mettre comme sa :

(\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta) + (R.\omega)²} 330

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 13:53

Désolé si je n'étais pas complètement clair. En faite je te demandais de commencer par maximiser l'expression qui était sous la racine. En d'autres termes, trouver \theta_0 tel que, pour tout \theta on ait :

(\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta) + (R.\omega)² \le (\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta_0) + (R.\omega)²

Peux-tu alors trouver cette valeur \theta_0 ?

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 14:28

Désolé , je ne comprends pas ton dernier post

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 14:38

Pour l'instant la vitesse du point M dépend à la fois de la position de la pale (via l'angle \theta) et la vitesse d'avancement de l'hélicoptère.

Tu es d'accord avec moi que l'on peut régler la vitesse d'avancement de l'hélicoptère (en disant au pilote de ne pas dépasser les 200, 250 ou encore 300 km/h) mais il est impossible de fixer l'angle \theta qui nous "arrangerait" le plus car les pâles de l'hélicoptère tourne en permanence.

On va donc chercher à se mettre dans le cas le plus défavorable, c'est à dire celui pour le quel, à une vitesse d'avancement quelconque de l'hélicoptère, la vitesse du point M est maximum. Etant donné que la vitesse d'avancement est fixé (et que l'on connait \omega et R également) le seul paramètre qui peut encore faire varier la vitesse du point M est la valeur de l'angle \theta.

Par exemple, si \theta = 0 alors on aurait :

v_{M|R} = \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})² + (R.\omega)²}

Si \theta = \dfrac{\pi}{2} on aurait :

v_{M|R} = \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt} + (R.\omega)²}

Et ainsi de suite. Je te demande donc pour l'instant de me dire pour quelle valeur de \theta, la vitesse v_{M|R} est maximum. Comprends-tu maintenant pourquoi ?

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 17:40

... , j'ai compris le debut , mais le rete j'ai pas compris et je vois pas pourqquoi tu parles encors de theta alors qu'il n'y est plus dans la formule ?

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 17:57

Ben si, dans ta formule il y a encore le sinus qui dépend de \theta :

\sqrt{(\dfrac{dx}{dt})² - 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt}.sin(\theta) + (R.\omega)²}

Si tu préfères, trouves x tel que cette fonction soit la plus grande possible :

\sqrt{a - b.sin(x)

Où a et b sont tous les deux strictement positifs.

Florian

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 18:20

oulala , le sin me gêne fortement j'ai perdu mes moyens ..

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 18:33

je pense avoir compris je penses que x= -pi/2

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 18:51

Oui, on est d'accord, a - b*sin(x) (avec a et b positifs) est maximum quand x = \dfrac{-\pi}{2}.

Dans le cas de notre hélicoptère la vitesse maximale du point M (à une vitesse d'avance donnée) est donc lorsque l'angle \theta vaut \dfrac{-\pi}{2}

La vitesse maximale de la pale (encore une fois, à une vitesse d'avance donnée) est donc :

v_{M|R} = \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})² + 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt} + (R.\omega)²}

Et maintenant on cherche à trouver la valeur de \dfrac{dx}{dt} maximum telle que :

\sqrt{(\dfrac{dx}{dt})² + 2.R.\omega.\dfrac{dx}{dt} + (R.\omega)²} \le v_{son}

Ou encore, si on pose X = \dfrac{dx}{dt} on cherche à trouver la plus grande valeur possible de X telle que :

\sqrt{X² + 2.R.\omega.X + (R.\omega)²} \le v_{son}

Au final tu vas donc avoir à résoudre une équation du second degré, je pense que tu sais faire.

Florian

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 19:49

2.R.\omega+ (R.\omega)² \le v_{son}²/x

Es çelà ?

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 20:02

Non, pas du tout. Je ne comprends pas comment tu obtiens cela. On part de cela :

\sqrt{X² + 2.R.\omega.X + (R.\omega)²} \le v_{son}

On élève les deux membres au carré :

X² + 2.R.\omega.X + (R.\omega)² \le v_{son}²

Le déterminant du polynôme du second degré à gauche vaut :

\delta = (2.R.\omega)² - 4*(R.\omega)²*1 = 0

On voit rapidement que la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-\infty;-R\omega] puis croissante sur l'intervalle [-R\omega;+\infty[.

Chercher à trouver la plus grande valeur de X vérifiant l'inégalité de départ revient donc à résoudre :

X² + 2.R.\omega.X + (R.\omega)² = v_{son}²

A toi de résoudre ensuite...

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 23:13

Mais pourquoi on cherche à voir les varations ? Je commence a etre perdu depuis le delta ..

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 23:22

C'était pour vérifier que la fonction était bien croissante sur [0;+\infty[ (l'intervalle dans lequel varie X, car je rappelle que X représente la vitesse à laquelle l'hélicoptère avance).

Ainsi trouver la plus grande valeur de X telle que X² + 2.R.\omega.X + (R.\omega)² \le v_{son}² soit vérifiée revient à résoudre :

X² + 2.R.\omega.X + (R.\omega)² = v_{son}²

Posté par
lolo77150re : Mecanique 29-07-15 à 23:47

X² + 2.R.\omega.X + (R.\omega)² = v_{son}²
x² +2*5.3*450*X+(5.3*450)²=330²
X²+4770X+2385=108900

Posté par
Florianbre : Mecanique 29-07-15 à 23:59

Je te l'ai déjà dit la dernière fois, commence par des expressions littérales et ne mélange pas numérique et littéral.

En outre tu peux remarquer ceci :

X² + 2.R.\omega.X + (R.\omega)² = v_{son}² \iff (X + R.\omega)² = v_{son}² \iff (X + R.\omega)² - v_{son}² = 0

Et là je te laisse finir (identité remarquable puis un produit de deux facteurs nul...) pour obtenir l'expression littérale de X.

Posté par
lolo77150re : Mecanique 30-07-15 à 00:23

La je remplace les lettres par leurs valeurs respectives non ?

Posté par
Florianbre : Mecanique 30-07-15 à 01:11

Non, pas encore.

Il est possible d'écrire clairement X en fonction de v_{son} et R.\omega

Posté par
lolo77150re : Mecanique 30-07-15 à 01:29

  (X + R.\omega)² - v_{son}² = 0 \iff (X + R.\omega)² = v_{son}² \iff (X + R.\omega) = v_{son} \iff X= v_{son}-  R.\omega  

Posté par
Florianbre : Mecanique 30-07-15 à 08:19

Je suis d'accord avec le résultat. Mais pour être totalement rigoureux j'aurais préféré que tu écrives :

  (X + R.\omega)² - v_{son}² = 0 \iff (X + R.\omega - v_{son})*(X + R.\omega + v_{son}) = 0 \iff X= v_{son}-  R.\omega (car X est positif)

Toujours est-il qu'on a bien en effet :

\boxed{X= v_{son}-  R.\omega}

Tu peux maintenant faire l'application numérique. N'oublie pas que le tr/min n'est pas compatible avec le système international et qu'il faut d'abord le convertir en rad/s (1 tour = 2pi radian et bon, 1 minute = 60 secondes).

Florian

Posté par
lolo77150re : Mecanique 30-07-15 à 09:08

Ah je savais pas sa que le tour par minute n'était pas compatible , comment j'aurais pu le savoir si tu m'aurais pas dis ?
J'aurais jamais pensé ..
sinon
450tours/min = 47.12 rad/s

Posté par
lolo77150re : Mecanique 30-07-15 à 09:18

Je trouve une vitesse de 80.26m/s

Posté par
J-Pre : Mecanique 30-07-15 à 10:18

Composante de la vitesse de M suivant Ox : Vx = VH + d(R.cos(wt))/dt (avec VH la vitesse de l'hélico)
Composante de la vitesse de M suivant Oy : Vy = d(R.sin(wt))/dt
Composante de la vitesse de M suivant Oz : 0

Vx = VH - w.R.sin(wt)
Vy = w.R.cos(wt)
vz = 0

V² = Vx² + Vy² + vz²
V² = (VH - w.R.sin(wt))² + (w.R.cos(wt))²
V² = VH² + w²R² - 2w.R.VH.sin(wt))

V² (et donc aussi V) est max aux instants tels que sin(wt) = -1. (Ca c'est évident même sans calculs, non ?)

On a donc (V²)max = VH² + w²R² + 2w.R.VH

Et on veut que VH² + w²R² + 2w.R.VH <= 330²

VH² + (450 * 2*Pi/60)² * 5,3² + 2 * (450 * 2*Pi/60) * 5,3 * VH - 330² <= 0

VH² + 499,5 VH - 46521 <= 0 (avec VH > 0)

VH <= 80,2 m/s
-----

Posté par
lolo77150re : Mecanique 30-07-15 à 10:33

Bonjour J-P
Merci pour t'as reponse , j'ai effectivement compris le debut mais ensuite j'ai pas compris vers la fin ta manière de faire le calcul

Posté par
Florianbre : Mecanique 30-07-15 à 12:24

Bonjour J-P.

Pour lolo77150, je suis d'accord, on a donc au final :

X = \dfrac{dx}{dt} = v_{son} - R.\omega

Et l'application numérique nous donne la vitesse d'avancement maximum de l'hélicoptère :

Application numérique : X \approx 80,2 m/s \approx 289 km/h

Florian

Posté par
lolo77150re : Mecanique 30-07-15 à 14:44

Enfin fini ! Je te remercie Florian , grâce à ton aide j'ai appris plein de truc qui était pas clair dans ma tête à la base ! Maintenant je vais relire encors le cours sur la vitesse histoire de bien bien maitrisé et ensuite je passe à l'acceleration j'espère que tu es aussi fort en acceleration qu'en vitesse car il y a un exercice de même genre
Merci à toi JP également

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