Niveau licence

Entropie maximale et méthode des multiplicateurs de Lagrange

Posté par
nico045 28-10-16 à 13:59

Bonjour,

J'ai déjà étudié le cas où $S = -K\sum P_n ln P_n$   sans contrainte particulière, l'entropie est maximale lorsque $P_n$ est constante.

Cette fois, je cherche la densité de probabilité rendant l'entropie maximale avec la contrainte qu'il existe une variable x continue tel que

$\bar{x} = \int  x\rho(x)dx$

la normalisation de la densité de probabilité est :

$\int  \rho(x) dx = 1$

$\widehat{S} = \int \rho(x) ln(\rho(x)) dx + \lambda_1 ( \int \rho(x) dx -1 ) + \lambda_2 (\int x \rho(x)dx -\bar{x})$

$\frac {\partial \widehat{S} } { \partial \rho(x) } = \int ( ln(\rho(x)) +1 + \lambda_1 + x \lambda_2 dx) = 0$

$\rho(x) = e^{-(1 + \lambda_1 + x \lambda_2)}$

à partir de là j'utilise la condition de normalisation :

$\int  \rho(x) dx = 1 = e^{-(1 + \lambda_1) } \int e^{-x\lambda_2} dx  \Rightarrow   e^{-(1 + \lambda_1) } = \frac{1}{\int e^{-x\lambda_2} dx}$

$\rho(x) = \frac{e^{-x \lambda_2}}{\int e^{-x\lambda_2} dx}$

Cette expression de $\rho(x)$ ne me satisfait pas vraiment, intuitivement je m'attends à avoir une densité de probabilité constante mais ce n'est pas évident à voir sous cette forme.

Que faire ensuite ?