Bonjour anne42,

houlà... il y a un certain nombre de confusions dans ce que tu écris.

1)  Tout d'abord concernant la surface plane : si c'est une plaque conductrice chargée avec une densité superficielle , le champ électrostatique à l'intérieur du métal est nul et celui à l'extérieur est uniforme, normal à la plaque et de norme /₀ ; en revanche s'il s'agit d'une simple répartition superficielle de charges statiques (la plaque n'est donc pas métallique), le champ est aussi uniforme, normal à la plaque mais sa norme est /2₀. Si tu as vu le théorème de Gayss en cours, la démonstration est immédiate.

2)  Ensuite sur S = 4L² ; c'est l'aire d'une sphère de rayon L, que vient-elle faire ici ?

3) enfin, sur le signe des charges : pour que la charge q soit attirée par le plan il faut que q et soient de signes contraires.

Supposons que les charges sont réparties avec une densité superficielle sur une simple surface (il ne s'agit donc pas d'un conducteur). Alors, comme écrit plus haut, E = /2₀ (norme du champ électrostatique uniforme). La charge q parcourt une distance L/2 le long d'une ligne de champ, donc le travail fourni est EL/2 et le théorème de l'énergie cinétique donne (1/2).mv² = EL/2 ; il ne reste plus qu'à remplacer E par son expression.

Maintenant si cette surface est celle d'un conducteur électrique, il s'agit de savoir si les charges superficielles sont fixes ou si on doit prendre leur déplacement en compte (en effet, en se rapprochant du plan q va attirer les charges de celui-ci vers le pied de la normale au plan, et donc ne sera plus uniforme...).
Si les charges superficielles sont fixes la relation (1/2).mv² = EL/2 reste applicable, mais avec E = /₀. Sinon, il faut déterminer la nouvelle répartition superficielle au fur et à mesure que q se rapproche du plan... compliqué !

Bonjour prbebo, merci beaucoup pour ta répons si rapide et précise.

Alors, d'après mon cours, je suis quasiment sûre que je dois utiliser la formule σ/(2Ɛ0)  (je vois que dans mon explication j'ai remplacé le 2 par E par inadvertance!)

En fait, j'ai choisi une sphère comme surface de Gauss, je n'ai pas le droit de faire ceci?

Pour les charges contraires, le - de l'une des charges s'annule avec le - de la distance (-L/2) ?

Je ne comprends pas pourquoi le travail fourni est EL/2.
En remplacement E dans (1/2).mv2 = EL/2, je n'obtiens pas v=q2/8πƐ0Lm)  (qui est la réponse donné dans le correctif de mon exercice)

Je vous remercie
bonne journée

Bonjour anne,

alors OK : si on utilise la relation E = /(2₀), c'est que le plan n'est pas la surface d'un conducteur métallique mais simplement une surface plane chargée. On peut donc trouver la norme du champ électrique créé en tout point de l'espace en utilisant le théorème de Gauss, mais il y a une démarche à respecter :

Le th de Gauss dit que le flux de E (je mets les vecteurs en gras) sortant d'une surface fermée est égal à la quantité de charges électriques enfermées dans cette surface, divisée par ₀. Ce théorème est vrai quelle que soit la forme de la surface, et quelle que soit la répartition de charges à l'intérieur. Tout le problème est de calculer le flux de E qui sort de cette surface, car dans le cas général cela conduit à une intégrale de surface (rarement facile, et qqfois carrément impossible analytiquement).

Maintenant, on utilise ce théorème pour trouver E, et dans cette optique la surface de Gauss ne peut plus être choisie au hasard : il faut en trouver une pour laquelle le flux de E s'écrit k.E(M), càd proportionnel à la norme E(M) de E en un point M où on veut la calculer. Dans ce cas, on obtient k.E(M) = Qint/₀, dont on tire facilement E(M). Tu comprends ?

Pour trouver un champ électrique à l'aide de ce théorème, la démarche est donc la suivante :

a)  Etude des symétries du problème, pour obtenir le maximum d'informations sur l'orientation de E(M) ;

b)  Choix d'une surface fermée de Gauss qui s'appuie sur les éléments de symétrie obtenus, de manière à transformer l'intégrale de surface en une simple multiplication (phi = k.E(M)).

c)  Calcul de la quantité de charges Qint : ce calcul peut qqefois nécessiter une intégration, mais bien plus simple que celle exigée par le calcul de phi. Bien entendu Qint dépend souvent de la position du point M.

d)  Application du théorème pour trouver E(M).


Voici ci-dessous les figures qui correspondent à ton exercice, en fonction de ce que j'ai compris de ton énoncé.

I -   Figure 1, pour calculer le champ créé par une surface plane chargée. J'ai choisi > 0.
Je reprends les étapes a à d ci-dessus :

a) pour l'étude des symétries, voir ton cours car cela doit s'y trouver, ou le topic électromagnétisme - symétries. Certains éléments de réponse que j'y ai donnés peuvent s'appliquer ici. Les conclusions sont : le champ électrique E(M) créé par cette surface plane est normal à cette surface ; il peut dépendre de la distance OM mais pas de la place de O sur le plan ; Le champ E(M') en un point M' symétrique de M (donc OM' = OM) est opposé à E(M) et de même norme.

b) La surface de Gauss qui respecte ces symétries est une surface cylindrique dont les génératrices sont normales au plan et s'appuyant sur deux éléments de surfaces dS, l'un placé en M et l'autre en M' symétrique de M.
Sans détailler les calculs, le flux de E qui sort de cette surface est phi = 2.E(M).dS. Il est donc bien  proportionnel à E(M) avec k = 2.dS, condition essentielle pour obtenir E(M) avec Gauss.

c) Qint = dS (ces charges se trouve à l'intersection du plan avec la surface de Gauss).

d)  On en tire E(M) = /(2₀).

Conclusion :
le champ ne dépend pas non plus de la distance OM : comme cette distance était la seule coordonnée de m susceptible de le faire varier, on en conclut que le champ E créé par la surface plane chargée avec une répartition de charges constante est uniforme, normal à cette surface, dirigé vers le haut au-dessus et vers le bas en-dessous dans le cas où est positive.


II - Figure 2, déplacement de la charge q :

La force appliquée à q est F = qE : pour que cette force rapproche q du plan, q doit être nécessairement négative. La norme de F est F = qE, elle est donc constante.
On est donc ramené à l'étude du mouvement créé par une force constante (analogue à celui d'une masse m dans le champ de pesanteur au voisinage de la surface terrestre, pb abondamment traité en terminale S). La force F, comme le poids P = mg, est une force conservative.

Si la charge q, placée en un point M situé à la distance OM = L, quitte ce point sans vitesse initiale pour atteindre avec une vitesse v un point P situé à la distance OP = L/2, la force F a effectué le travail moteur W = F.MP = qEL/2, et la variation d'énergie cinétique est Ec(P) - Ec(M) = (mv²)/2.

Le théorème de l'énergie cinétique fournit alors facilement v = (qEL/m), avec bien sûr E = /(2₀₎).

Il est impossible que le résultat qu'on t'a donné puisse contenir un terme en 4L² : une surface de Gauss de forme sphérique est complètement inappropriée ici.


Si tu as des questions n'hésite pas.