Bonjour Blablate,

il faut d'abord repérer les différents types de symétrie d'un système donné : ceux qui laissent invariants à la fois le système étudié et le point d'observation (càd le point où on veut calculer un champ, électrique ou magnétique), ceux qui laissent invariant le point d'observation mais qui transforment le système en son opposé (changement du signe des charges, ou changement de sens des courants), et enfin ceux qui laissent le système invariant mais qui envoient le point d'observation en un autre endroit de l'espace.

Ceci fait, il faut faire attention à la nature (polaire ou axiale) de la grandeur vectorielle à trouver, car les règles de symétrie ne sont pas les mêmes.

C'est tout pour les conseils, c'est en les appliquant que tu pourras progresser. Le mieux serait que tu postes un ou plusieurs exercices (attention, un post pour chacun...) et je t'expliquerai comment faire.

Tout d'abord, il faut se mettre d'accord sur ce que vous entendez par symétrie.
La symétrie en physique n'a pas le même sens qu'en maths.

Une symétrie en Physique est une invariance: Si le système physique ne varie pas s'il subit une transformation alors on est en présence d'une symétrie.

Enfin, il faut savoir faire le lien entre symétries et lois de conservation : c'est le théorème de Noether.

Ah d'accord. Merci pour vos conseils.

Par exemple, concernant cet exercice, je vois bien que puisque l'on a supposé uniformément répartie dans le cylindre, la distribution de charge est invariante par rotation autour de l'axe (Oz) et par toute translation autour de l'axe (Oz). Donc E = E(r)
Mais concernant les symétries, je bloque complètement

Mon problème est aussi que je ne sais pas quand il peut s'agir d'un plan de symétrie positif ou au contraire d'un plan de symétrie négatif...

Bonjour Blablate,

je ne t'ai pas oublié mais cette semaine, avec jour férié et pont, est passée vraiment vite...

En premier lieu, il faut repérer dans ta figure les plans de symétrie "géométriques", càd ceux qui ne tiennent pas compte des aspects physique du problème (je commence par envisager les plans, car dans une majorité des cas ils suffisent pour préciser la direction de la grandeur vectorielle recherchée).

Prenons le point d'observation M sur l'axe e_r :
a) le plan (e_r, e_z) laisse M inchangé et partage le cylindre en deux moitiés dans le sens de son axe de révolution, donc il laisse ce cylindre globalement inchangé.
b)  le plan (e_r, e) laisse aussi M inchangé et fait passer "à droite" la moitié du cylindre située à gauche, et réciproquement. Si le cylindre a une longueur très grande, cela ne changera rien à ce que l'on observe en M.
c)  le plan (e_r, e_z) fait passer le point M vers une position diamétralement opposée (on tourne autour du cylindre d'un angle égal à pi).

Il faut maintenant tenir compte du problème physique : si le système étudié est une répartition volumique de charges immobiles (donc un problème d'electrostatique), alors les deux premiers plans, (e_r, e_z) et (e_r, e), remplacent une charge q = .d par une charge équivalente : ce sont donc aussi des plans de symétrie au sens physique puisqu'ils laissent le système globalement inchangé.

Le principe de Curie (Pierre Curie, "sur la symétrie dans les problèmes physiques, symétrie d'un champ champ électrique et d'un champ magnétique", Journal de Physique, 3ième série, T. III, 1894, p. 393 ...) indique que "l'effet a au moins la symétrie de la cause". C'est à dire que si un système physique S crée en un point de l'espace un effet E (E : toute manifestation de la présence de S à quoi peut s'intéresser le physicien, donc pour nous ici champ électrique ou magnétique), alors une transformation géométrique T (translation, rotation, symétrie par v rapport à un point ou un plan) appliquée à S se reporte intégralement sur E.

Les deux plans a) et b) ci-dessus, qui sont des plans de symétrie laissant le système S inchangé, doivent donc laisser le champ électrique créé par les charges également inchangé.

Il faut maintenant rappeler les règles de symétrie d'une grandeur vectorielle V par rapport à un plan de symétrie, et pour cela décomposer V en une composante V contenue dans ce plan et une composante V normale à ce plan.

a) Si le vecteur V est polaire (on dit aussi "vrai vecteur", par exemple : champ électrique, force, vitesse, accélération etc...), alors la composante V est inchangée, tandis que la composante V est changée en son opposée.

b) si le vecteur V est axial (on dit aussi "pseudo-vecteur, par exemple : champ magnétique, rotationnel, vecteur rotation angulaire etc...), lors c'est la composante V qui est changée en son opposée, tandis que la composante V demeure inchangée dans la symétrie par rapport à ce plan.


Appliquons ces règles aux deux plans de ton système, pour en déduire l'orientation du champ électrique créé par les charges de densité :

a) plan (e_r, e_z), vecteur polaire :
E_r et E_z restent inchangés, E devient - E. Mais le plan étudié ne doit pas changer le champ E : cela implique que E est nul.

b)  plan (e_r, e) :
E_r reste inchangé, E_z est changée en son opposée. Mais le champ E doit rester inchangé, donc E_z = 0.

Ces deux plans suffisent pour conclure que le champ électrique, s'il n'est pas nul, est nécessairement porté par le vecteur unitaire e_r.


On peut reprendre cet exercice dans le cas où, à la place des charges statiques réparties en volume, il y a des courants électriques dont la densité j, parallèle à l'axe Oz du cylindre, est uniforme à l'intérieur de celui-ci.
Dans ce cas :

a)  le plan (e_r, e_z) laissent le système physique inchangé (le sens des courants n'est pas inversé), donc il laisse le champ magnétique B créé par ces courants également inchangé ;

b)  le plan (e_r, e) change le sens des courants, donc inverse aussi le sens de B.

Le champ magnétique B est axial, donc :

a)  dans la symétrie par rapport à (e_r, e_z) : B_r devient -B_z, B_r devient -B_r, B reste B. Mais B doit rester inchangé, donc B_r et B_z sont nuls. Ce plan suffit donc pour conclure que la seule composante non nulle de B est B.

b) dans la symétrie par rapport à (e_r, e) : B est changée en son opposée, et le vecteur B devait changer de sens (inversion des courants) : ce résultat confirme donc ce qui a été trouvé en a) : Dans cet exercice le champ magnétique créé en M par la répartition de courants est porté par le vecteur unitaire e.

J'espère que ces quelques éléments de réponse suffiront à éclairer ta bougie. Dans le cas contraire, place sur le forum d'autres systèmes qui te posent problème, et on les regardera ensemble.

BB.