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Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement

Posté par
cybel 01-06-20 à 18:21

Bonjour,

Je travaille actuellement sur un problème, en particulier le § " Deux boules en mouvement " avec une même masse (page 3) :

***Lien pdf créé : ***

Cependant, je ne suis pas sûr des résultats des vitesses de la boule 1 et de la boule 2 après collision entre elles.
Pouvez-vous me modéliser leur formule ?

Merci pour votre aide.

***Niveau mis en accord avec le profil***

Posté par
gbm Webmasterre : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 01-06-20 à 18:32

Bonjour,

Je te souhaite la bienvenue sur le forum. Il faut tout d'abord que tu t'appropries toutes les règles de ce dernier, en particulier ici :

> quand un énoncé d'exercice dépasse une feuille A4, on peut déroger à la règle de recopie sous certaines conditions (contextualisation, implication sérieuse, source, etc.) :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?



> par implication sérieuse, on s'attend à ce que tu nous fournisses tes pistes de réflexion.

-----

Une fois que tu auras corrigé cela, un aidant viendra échanger avec toi là-dessus.

Posté par
vanoisere : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 01-06-20 à 20:54

Bonsoir
La méthode à utiliser et les calculs à effectuer sont très bien expliqués dans l'énoncé.
Si tu veux de l'aide, pose des questions précises sur ce qui te gêne en exposant ce que tu as été capable de faire.

Posté par
cybelre : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 02-06-20 à 19:18

Bonsoir,
Merci !
En reprenant l'énoncé précédent : Rebond sur une paroi non horizontale, j'ai les deux vecteurs (pl : parallèle et pr : perpendiculaire). Soit v le vecteur vitesse d'origine.
Ce qui donne le vecteur vitesse après rebond v' = v (pl) * (v (pl)/v )- v(pr)*(v(pr)/v) = v *(2v(pl) - 2v(pr)) avec :
v(pl) = v * (1/sqrt(x2-x1)²+ (y2-y1)²)*((x2-x1)/(y2-y1))
v(pr) = v * (1/sqrt(x2-x1)²+ (y2-y1)²)*(-(y2-y1)/(x2-x1))
Suis-je sur la bonne voie ?

Posté par
vanoisere : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 02-06-20 à 21:29

Bizarre comme problème ! Raisonner sur les angles d'inclinaison aurait été plus simple et plus général au niveau du sens physique...Si je comprends bien, il s'agit d'étudier le phénomène de rebond en supposant les vecteurs vitesses dans le plan (O,x,y), la paroi étant perpendiculaire à ce plan de figure. Cela n'est pas vraiment expliqué mais sinon, l'orientation du plan devrait être fixée par trois points et non deux comme ici. Je ne vois pas trop ce qui peut te gêner car tout ce qui est délicat, soit du point de vue physique, soit du point de vue mathématique, est expliqué dans l'énoncé... En notant pour alléger les notations :

r=\Vert\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\Vert=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}

Les vecteurs unitaires ont pour composantes cartésiennes :

\overrightarrow{u_{\Vert}}:\left(\begin{array}{c} \\ \dfrac{x_{2}-x_{1}}{r}\\ \\ \dfrac{y_{2}-y_{1}}{r} \\ \end{array}\right)\quad;\quad\overrightarrow{u_{\bot}}:\left(\begin{array}{c} \\ \dfrac{y_{1}-y_{2}}{r}\\ \\ \dfrac{x_{2}-x_{1}}{r} \\ \end{array}\right)

Si le vecteur vitesse, juste avant le choc avec la paroi, a pour composantes cartésiennes :

\overrightarrow{v}:\left(\begin{array}{c} \\ v_{x}\\ \\ v_{y} \\ \end{array}\right)

les composantes de ce vecteur vitesse dans la base \left(\overrightarrow{u_{\Vert}},\overrightarrow{u_{\bot}}\right) :

v_{\Vert}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_{\Vert}}\quad;\quad v_{\bot}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_{\bot}}

Je te laisse effectuer les calculs de produits scalaires...

Restent ensuite les étapes 4 et 5 de l'énoncé...

Posté par
cybelre : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 05-06-20 à 19:02

Merci.

J'ai calculé v|| =(vx/vy) et v = ((vx*((y1-y2)/(x2-x1))) /(vy*((x2-x1)/(y2-y1)))

w'1|| = w1||
w'1 = 0
w'2|| = 0
w'2 = w1

d'où v'1 = v1 + v2
et v'2 = ((vx*((y1-y2)/(x2-x1))) /(vy*((x2-x1)/(y2-y1))) + v2

Je ne suis apparemment pas bon ...

Désolé pour l'affichage, je n'arrive pas à insérer des formules mathématiques avec des vecteurs;

Posté par
gbm Webmasterre : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 05-06-20 à 19:29

Bonsoir,

Citation :
Désolé pour l'affichage, je n'arrive pas à insérer des formules mathématiques avec des vecteurs;

Tu peux cliquer sur ce raccourci pour savoir comment procéder :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?



Les boutons pour éditer du Latex et l'assistant associés sont ici :

Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement

Posté par
vanoisere : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 05-06-20 à 19:50

La méthode proposée par gbm pour entrer les formules est excellente s'il s'agit juste d'entrer quelques formules sur un forum comme celui-ci. Si, professionnellement, tu penses être amené à manipuler souvent des formules, tu pourrais peut-être télécharger le logiciel “LYX” sur ton ordinateur. C'est un traitement de texte qui permet de saisir toutes les formules avec la souris sans aucune connaissance préalable sur le langage Tex. Je l'utilise couramment sur ce forum ainsi que pour écrire de nombreux documents scientifiques plus longs et complexes...

Pour en revenir à ton problème, tu n'as pas vraiment calculé les produits scalaires comme je te l'avais suggéré. Par exemple :

v_{\Vert}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_{\Vert}}=v_{x}\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{r}+v_{y}\cdot\frac{y_{2}-y_{1}}{r}

Même méthode pour v_{\bot} ... Je te laisse rectifier et continuer...

Posté par
cybelre : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 06-06-20 à 19:51

Merci pour ces informations utiles ...

Voici mes formules :

v_{||} = \vec v . \vec u_{||} = v_x . \frac {x_2 - x_1}{r} + v_y . \frac {y_2 - y_1}{r}
v_ = \vec v . \vec u_ = v_x . \frac {y_1 - y_2}{r} + v_y . \frac {x_2 - x_1}{r}

\vec v^{'} = v_x . \frac {x_2 - x_1}{r} + v_y . \frac {y_2 - y_1}{r} + v_x . \frac {y_1 - y_2}{r} + v_y . \frac {x_2 - x_1}{r}

\vec v^{'} = v_x . (\frac {x_2 - x_1}{r} + \frac {y_1 - y_2}{r} )+ v_y . (\frac {y_2 - y_1}{r} + \frac {x_2 - x_1}{r})


A partir de là, je me demande si  (\frac {y_2 - y_1}{r} + \frac {x_2 - x_1}{r}) est égal à 1 car \sqrt {(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}
devient (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1) dans mes vagues souvenirs ...

d'où  \vec v^{'} = v_x . (\frac {x_2 - x_1+y_1 - y_2}{r} )+ v_y

et \vec v^{'} = v_x . (\frac {x_2 - x_1+y_1 - y_2}{x_2 - x_1+y_2 - y_1} )+ v_y

mais je pense que je m'égare ?

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
vanoisere : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 06-06-20 à 21:11

Tu cherches dans la bonne direction mais tu as quelques problèmes d'ordre mathématique, en particulier à propos de la norme d'un vecteur. Je reprends les notations de mon message du 02-06-20 à 21:29 en les allégeant encore. Les deux vecteurs unitaires peuvent s'écrire de façon simplifiée :

\overrightarrow{u_{\Vert}}:\left(\begin{array}{c} \\ \dfrac{x_{2}-x_{1}}{r}=a\\ \\ \dfrac{y_{2}-y_{1}}{r}=b \\ \end{array}\right)\quad;\quad\overrightarrow{u_{\bot}}:\left(\begin{array}{c} \\ \dfrac{y_{1}-y_{2}}{r}=-b\\ \\ \dfrac{x_{2}-x_{1}}{r}=a \\ \end{array}\right)

Puisqu'il s'agit de vecteur unitaires (normes égales à 1) : a^{2}+b^{2}=1 ; ce n'est pas tout à fait ce que tu as écrit .

Je note :

\overrightarrow{v'}:\left(\begin{array}{c} \\ v'_{x}\\ \\ v'_{y} \\ \end{array}\right)

Puisque le choc conserve la composante de la vitesse parallèle à la paroi à la paroi :

\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_{\Vert}}=\overrightarrow{v'}.\overrightarrow{u_{\Vert}} soit :

\left(1\right)\quad a.v'_{x}+b.v'_{y}=a.v_{x}+b.v_{y}

Puisque le choc inverse la composante de la vitesse perpendiculaire à la paroi :

\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_{\bot}}=\overrightarrow{-v'}.\overrightarrow{u_{\bot}} soit :

\left(2\right)\quad b.v'_{x}-a.v'_{y}=-b.v_{x}+a.v_{y}

Multiplier tous les coefficients de (1) par « a » et tous les coefficients de (2) par b puis effectuer une « addition membre à membre » permet d'établi l'expression de v'x.

Multiplier tous les coefficients de (1) par « b » et tous les coefficient de (2) par a puis effectuer une « soustraction membre à membre permet d'obtenir v'y. Ne pas oublier pour simplifier : a^{2}+b^{2}=1...

Posté par
cybelre : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 07-06-20 à 16:23

Merci,

J'ai repris tes formules (1) et (2) :

(1) a.v^{'}_{x} + b.v^{'}_{y} = a.v_{x} + b.v_{y}

en multipliant par a : a(a.v^{'}_{x} + b.v^{'}_{y}) = a(a.v_{x} + b.v_{y})

d'où : a^{2}.v^{'}_{x} + ab.v^{'}_{y} = a^{2}.v_{x} + ab.v_{y}

v^{'}_{x} = (a^{2}.v_{x} + ab.v_{y} - ab.v^{'}_{y}) / a^{2}

avec v_{y} = v^{'}_{y}

v^{'}_{x} =v_{x}

(2) b.v^{'}_{x} - a.v^{'}_{y} = - b.v_{x} + a.v_{y}

en multipliant par b : b(b.v^{'}_{x} - a.v^{'}_{y}) = b(- b.v_{x} + a.v_{y})

d'où : b^{2}.v^{'}_{x} - ab.v^{'}_{y} = - b^{2}.v_{x} + ab.v_{y}

en multipliant par a : a(b^{2}.v^{'}_{x} - ab.v^{'}_{y}) =a( - b^{2}.v_{x} + ab.v_{y})

b.v^{'}_{x} - v^{'}_{y} = - b.v_{x} + v_{y}

v^{'}_{y} = b.v^{'}_{x} + b.v_{x} + v_{y}

où v^{'}_{x} = v_{x}

v^{'}_{y} = 2b.v_{x} - v_{y}

v^{'}_{y} = 2(\frac{y_2 - y_1}{r}).v_{x} - v_{y}

Je suis bloqué ici si tout de même je suis juste ...

Quel est mon problème avec la norme d'un vecteur ?

Posté par
vanoisere : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 07-06-20 à 16:37

En reprenant les notations de mon message précédent et en multipliant (1) par « a » et (2) par « b » puis en additionnant membre à membre :

\left(a^{2}+b^{2}\right)v'_{x}=\left(a^{2}-b^{2}\right)v_{x}+2a.b.v_{y}

Puisque : a^{2}+b^{2}=1 :

v'_{x}=\left(a^{2}-b^{2}\right)v_{x}+2a.b.v_{y}

Je t'ai fourni la méthode pour v'y.

Posté par
cybelre : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 07-06-20 à 17:22

Merci pour la rapidité !

v^{'}_{x} = (a^{2} - b^{2}).v_{x} + 2.a.b.v_{y}

avec a = \frac{x_{2} - x_{1}}{r}

avec b = \frac{y_{2} - y_{1}}{r}

et r = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_2 - y_1)^2}

v^{'}_{x} =\frac {(x_{2} - x_{1}) + (y_2 - y_1)}{ \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_2 - y_1)^2}}.v_{x} + 2.(\frac {(x_{2} - x_{1}) . (y_2 - y_1)}{ \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_2 - y_1)^2}}.).v_{y}

v^{'}_{x} =\frac {x_{2} - x_{1} - y_2 - y_1}{ x_{2} - x_{1} + y_2 -y1}}.v_{x} + 2.v_{y}

Je suis encore bloqué ...

Posté par
vanoisere : Vitesses après collision entre 2 balles en mouvement 07-06-20 à 18:11

Il te faut revoir ton calcul : quand tu remplaces a et b par leurs expressions en fonction de coordonnées de P1 et P2, on n'obtient pas ton résultat...


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