Niveau maths sup

Problème en thermodynamique

Posté par
lovedanbalan 04-03-11 à 18:01

Bonjour,
J'ai des petits problèmes avec 2 exos de thermodynamique

** exercice effacé ** Problème en thermodynamique

"Un tube cylindrique horizontal d’axe Ox, de section droite d’aire S et de longueur 2a est séparé en deux compartiments par un piston de masse m dont on repère la position par rapport au point O (centre du tube)par son abscisse x. Chaque compartiment contient une mole d’un gaz parfait maintenu en équilibre thermique à la température T constante. Le tube est fixe.
A t = 0, le piston est en x0 << a.
1) Appliquez le principe fondamental de la dynamique au piston.
2) Déterminez l’expression de la pulsation des petites oscillations du piston autour de sa position
d’équilibre x = 0."

Pour le 1)
Forces: P=mg, vect(F1)=P1Svect(ux), vect(F2)=-P2Svect(ux)
PFD: projection sur ox: mx"=S(P1-P2)
P1S=P1V/(a+x0) et P2S=P2V/(a-x0)
mx"=((P1V)(a-x0)-(P2V)(a+x0))/(a²-x0²)=((P1-P2)(aV+x0V))/(a²-x0²)

Je dois arriver à x"+wo²=0 avec wo=((2nRT)/ma²)
Mais je ne vois pas comment y arriver

Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance

*** message dupliqué ***

Edit Coll : topic dupliqué, merci de respecter la FAQ, un problème = un topic

Posté par re : Problème en thermodynamique 05-03-11 à 19:24

Bonsoir,

Tu es parti pour t'embrouiller là !

Déjà, pour commencer, tu as oublié une force : La réaction normale du support $\vec{R}_N$ qui compense $\vec{P}$ . Du coup, ta RFD est incorrecte
$\vec{P}$ + $\vec{R}_N$ + $\vec{F}$ _pressante = m. $\vec{a}$
(a, accélération, à ne pas confondre avec a, 1/2-longueur du piston donc...)

Comme $\vec{P}$ + $\vec{R}_N$ = $\vec{0}$ , la RFD devient donc :
$\vec{F}$ _pressante = m. $\vec{a}$

Supposons le piston du côté des x positifs, retournant à sa position initiale
(Ox) orienté vers la droite donc...
$\vec{F}$ pressante dirigée selon (-) car Pd > Pg

RFD : (-F) = m.d²x/dt² = (Pg - Pd)S

Or,
Pg = nRT/Vg = nRT/[S.(a+x)]
Pd = nRT/Vd = nRT/[S.(a-x)]

On remplace dans la RFD, on simplifie : nRT.[1/(a+x) - 1/(a-x)] = m.d²x/dt²

Astuce ! Je factorise par (1/a) :
(nRT/m)(1/a)[1/(1+x/a) - 1/(1-x/a)] = d²x/dt²

Comme on a dit que x << a, alors (x/a) << 1 (donc tend vers 0), on va utiliser le fait que (1+) (1+.)
(développement limité à l'ordre 1)

Donc du coup, on a :
(nRT/m)(1/a)[ (1+x/a)^-1 - (1-x/a)^-1 ] = d²x/dt²
(nRT/m)(1/a)[ (1+(-1).x/a) - (1-(-1).x/a) ] = d²x/dt²
(nRT/m)(1/a)[ (1-x/a) - (1+x/a) ] = d²x/dt²

Je réduis le tout et je trouve donc :
-(2nRT)/(ma²).x = m.d²x/dt²

Cela montre bien que la force pressante est une force de rappelle du type -K.x

Et que tu as donc ₀² = (2nRt)/(ma²)

- sauf erreur de ma part -