Bonjour à tous,
Pour Praf,  :
- dans ton message du 06/12/20 à 20h53, il y a une inversion, à la fin :
         c'est :    a=2mu ; b= 2mu ; et c =2
- dans la suite de tes messages les termes ont été mis dans le bon ordre :
      et je trouve les mêmes valeurs de A et B que toi en fonction de mu ; idem pour K ;
- si on tient compte que mu = 1/4,    et si Vo est la vitesse de la bille quand têta =0,  avec Vo= (g*R*7/5)**(1/2)  je trouve A = - 7/5 ; B = 6/5 ; et  k =0  ;
        Cordialement

D'accord pour les valeurs de A et B ; erreur sur k : peut-être confusion entre 5/7 et 7/5 ?

Je viens de refaire le calcul : c'est moi qui ai permuté 5/7 et 7/5. Tu as raison : k=0 !

Bonjour Vanoise,

Bien reçu, merci !

bonsoir
donc si k=0
la détermination de   est plus simple
seulement résoudre l'équation :

D'accord pour l'arc tangente mais pas pour la valeur de l'angle.  Une tangente un peu supérieure à 1 conduit à un angle un peu supérieur à 45°.

oui exactement je pense les valeurs exact est :

D'accord.  De préférence, arrondir à trois chiffres significatifs.

merci
et pour le temps effectué par le particule pour atteindre θ_m?
est ce qui il y a une formule comme de la formule de borda borda concerne les mouvement en  frottement par exemple ?

Déjà les choses ne sont pas simples quand l'amplitude est grande en absence de frottement... Alors, pour les grandes amplitudes avec frottements, il faut se contenter de simulations numériques, sauf évidemment si, comme dans ce problème, on choisit des conditions initiales très particulières. Dans ce problème, v_o a été choisi de façon à obtenir k=0, ce qui simplifiait fortement le calcul...
Pour obtenir la date correspondant à =_m, on peut partir de l'expression de l'accélération angulaire fournie dans mon message du  26-11-20 à 18:00 et intégrer numériquement à l'aide d'un logiciel scientifique comme Matlab ou Scilab... Voici le résultat avec les valeurs numériques de ton problème. On voit que pour =_m0,86rad, t 0,45s.
A noter que le coefficient de frottement µ est particulièrement élevé ici : on no'observe qu'une seule oscillation très amortie puis une lente dérive vers une position d'équilibre qui ne va pas correspondre tout à fait à =0.

Bonsoir Vanoise,

Bien reçu, merci !
moi je cherche s 'il y a des des formule littérale qui permet de calculer et le temps ou la période la position en fonction de temps ; le nombre d'oscillation effectuée avant l'arrêt ......
mais il est clair  qu'il n'existe pas que des solution numérique

merci pour votre aide

Il n'existe que des solutions numériques lorsque l'amplitude est grande. On peut trouver des solutions exactes (dans le cadre du modèle des frottement solides de Coulomb) dans le cas des oscillations de très faibles amplitudes. Si les valeurs absolues de l'élongation angulaire ne dépassent pas la dizaine de degrés (0,2 radian environ), il est possible d'effectuer un développement limité à l'ordre 1 du sinus et du cosinus dans mon équation différentielle générale fournie le 26-11-20 à 18:00. Il est aussi facile de montrer qu'alors : ; . On obtient ainsi une équation différentielle simplifiée. Je pose : : pulsation propre.





Je te laisse résoudre, morceau par morceau, cette équation différentielle. Je pourrai t'aider si tu le juges nécessaire. Je me contente de fournir les résultats principaux en rapport avec les questions de ton dernier message.

1° : la pseudo période est égale exactement à la période propre en choisissant r=1,00m. Le premier maximum d'amplitude correspond donc à t=To/4 et ainsi de suite...

2° : La diminution d'amplitude est linéaire, contrairement au cas d'un frottement fluide où on obtient une décroissance exponentielle de l'amplitude. L'amplitude diminue de (4µ radian) par pseudo période. Cela permet de connaître les valeurs de l'élongation angulaire des maxima et minima successifs.

3° : Revois au besoin les lois de Coulomb sur les frottements solides. Le pendule s'immobilise définitivement à une date t_f telle que :

  et

où µ_s désigne le coefficient de frottement statique, coefficient supérieur d'environ 10% au coefficient de frottement dynamique utilisé jusqu'alors : µ_s = 1,1.µ ; Compte tenu des conditions initiales, la durée du mouvement est donc de la forme :

où n est un nombre entier. (ici : tf=7,25.To=14,5s)

Contrairement au cas des frottements fluides où l'élongation angulaire tend asymptotiquement vers zéro, il est possible ici de définir une durée ; autre différence : la position finale ne correspond pas nécessairement à une élongation angulaire nulle ; elle doit vérifier : .

Pour illustrer tout ceci, voici deux simulations faites pour To=2,00s, µ=0,007  et une vitesse initiale correspondant à une amplitude angulaire en absence de frottement de 0,2rad.

merci pour votre répense
la solution de léquation differentiel


est la somme de la solution générale et un solution particulier

la solution générale est sous forme :  

la soltion particulier :

donc



et la vitesse :

les constante A et sont determiner par les condition initial

c-à-d a t=0  ona  

donc  :   et  

on peut tire que    et    A=

Plus facile d'écrire _g sous la forme  :
A.cos(_o.t) + B.sin(_o.t)

bonsoir
oui, on peut faire  :

donc



pour determiner A et B on utilise les condition initial



c-à-d :    

donc:    





c-à-d:    

donc :    

Juste une petite erreur pour la solution particulière valide entre la position initiale et le premier maximum :



C'est surtout la suite qui est intéressante. Je vais étudier le mouvement entre le premier maximum et le premier minimum de l'élongation angulaire. Pour simplifier, je note ₁ la valeur de correspondant à ce premier maximum et je change l'origine des dates pour avoir t=0 pour .Puisque la vitesse angulaire est négative sur la durée étudiée :

donc : ; d'où l'équation générale :



Compte tenu du nouveau choix de la date t=0 :



D'où l'équation valide entre le premier maximum et le premier minimum :



Le premier minimum nul correspond donc à : soit : . L'élongation angulaire de ce premier minimum est ainsi :



La demie pseudo période, est donc ainsi égale à la demie période propre. On remarque aussi que l'amplitude a diminué de 2µ en une demie période propre. Pour généraliser ces résultats, on pourrait étudier le mouvement entre le premier minimum et le deuxième maximum. On montre que la durée est encore égale à la demie période propre et que ce deuxième maximum correspond à

.

On retrouve bien les résultats décrits dans mon message précédent.

Merci bien vanoise pour cette explication
donc le mouvement a les caractéristique suivants:

      *un mouvement oscillatoire amorti

      *la période de mouvement et celle de mouvement sans frottement

     *l'élongation maximale se diminue en chaque demi période par     jusqu'à l'arrive a une angle    ou la particule s'arrête

le problème est : quel est la  valeurs de    qui permet :

   *un mouvement apériodique

   *un mouvement sinusoïdal amorti

Tu as bien ici un mouvement sinusoïdal amorti mais l'amplitude décroit linéairement au lieu de décroître exponentiellement.
La notion de mouvement apériodique au sens que tu connais  n'existe pas dans ce cas. Imaginons pour faire simple un pendule abandonné à la date t=0 avec =_m et une vitesse angulaire initiale nulle. Supposons que tu augmente fortement la valeur du coefficient de frottement. Si _mµ_s : il n'y a pas de mouvement.
Si (_m-2µ)µ_s : le mouvement s'arrêtera à la date t=To/2 après une demie pseudo période en =-(_m-2µ)
Si (_m-4µ)µ_s : le mouvement s'arrêtera à la date To après une pseudo période en =(_m-4µ)µ_s et ainsi de suite...

Bonsoir ;
merci
est ce qu'on peut déterminer le nombre d'oscillation avant l'arrêt de la particule comme ça?

l'amplitude se diminue avec      à chaque demi période

le nombre d'oscillation est n

le mouvement s'arrête lorsque:        

donc :

    

Tu y es presque ! Juste deux précisions :
* n est un nombre entier, il faut retenir la partie entière du résultat ;
* il est plus rigoureux de faire la différence entre coefficient de frottement statique (µ_s) et coefficient de frottement dynamique (µ) même si l'écart relatif entre les deux valeurs ne dépasse pas en général 10%.

nombre de demi-périodes :

oui exactement. merci

encore une dernière aide dans ce problème s'il vous plaît :

si on complète la trajectoire ça veut dire on a  un cercle au lieu d'un demi-cercle
    1- la vitesse minimale pour que la particule fait un tour
    2-le nombre de tour effectués par la particule avant d'oscille

pour la 1ère  question je procède comme suit :
d'après mon message le  16-11-20 à 17:48 s'il est correcte

on travaille dans un premier cas par la force de frottement constante f

on a

donc

on a

et  



un tour complète ça veut dire :

pour

d'après un calcul classique, on obtient :




pour la 2ème question je ne sais pas

D'accord avec toi pour la première question. Pour la suite, tu peux commencer par déterminer la vitesse au passage en après n tours complets. Le théorème de l'énergie cinétique conduit à :



Ensuite, on peut dire que la valeur de v_on qui permet d'obtenir des oscillations correspond à une remontée telle que . Malheureusement la situation est plus compliquée que cela : on peut obtenir des valeurs de v_on telles que la masse remonte d'un angle supérieur à /2 pour lequel R_n s'annule. La masse décolle alors de la piste, décrit un mouvement parabolique avant de rencontrer à nouveau la piste plus bas, un peu comme dans cette simulation. J'ai choisi l'instant initial de la simulation un peu arbitrairement pour une élongation angulaire voisine de -130°.

merci beaucoup

y-a-t-il une méthode de déterminer le temps effectué par un tour ?

les n tours on la même période ?

Qu'il y ait des frottements ou non, il n'existe pas de calcul littéral exact permettant d'obtenir la durée d'un tour. Les calculs littéraux ne sont possible que pour des élongations angulaires de très faibles valeurs absolues. Seule possibilité dans le cas général : établir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par  l'élongation angulaire (cela a déjà été fait) et intégrer par une méthode numérique.

OK. merci
maintenant si on prend le coefficient de frottement \mu  au lieu de la force constante f

la démonstration suivante est correcte ?




et  

or      donc :

Si tu modélises les frottements par une force d'intensité constante f comme tu l'as fait dans les messages précédents : pas de problème pour appliquer le théorème de l'énergie cinétique.
Si tu choisis le modèle plus réaliste régi par les lois de Coulomb en introduisant le coefficient de frottement dynamique µ, la situation se complique car la réaction tangentielle R_T dépend de . L'expression de son travail est plus compliquée que celle que tu as utilisée. Cela a déjà été évoqué dans mon message du 26-11-20 à 18:00 et dans les messages suivants.

y-a-t-il une formule pour calculer le travail de et même la reaction R_N et la vitesse


si on procède comme précédent  pour calculer la vitesse





dans votre message le du 26-11-20 à 18:00 :

Loi de Coulomb sur le frottement solide :



donc







après simplification :




donc si on peut remplacer v par sa expression dans la loi de coulomb pour deduire la valeur de

Dans mon message du 26-11-20 à 18:00, j'ai démontré l'expression de la réaction tangentielle :


La norme de cette vitesse varie selon la valeur de Il n'est donc pas possible d'écrire comme tu le fais :

   FAUX !

Le travail de RT entre la position =0 et une position quelconque ₁ peut s'écrire :


Pas de problème pour intégrer le cosinus mais le carré de la vitesse angulaire dépend de selon une loi a priori inconnue. Impossible donc de s'en sortir ainsi, d'où la conclusion de mon précédent message. La simulation numérique a été fournie pour les grands angles. L'étude numérique pour les angles très faibles a été menée en détail dans les messages précédents...

oui, je comprend, merci

et si on remplace           dans :



par sa expression qu'on déja trouvé:



le calcul de travail est correct ?

Le calcul du travail est effectivement possible ainsi. Il se simplifie d'ailleurs dans le cas particulier des conditions initiales choisies précédemment qui ont conduit à  k=0.
Tu peux effectivement faire ce calcul et voir si les résultats sont cohérents avec ceux obtenues précédemment.

donc on peut facilement sans passe par le théorème de l'énergie cinétique de déterminer      qui permet à la particule de faire un tour complète




à  



et on déduire l'expression de     à partir de l'expression de k




  

Il faut aussi s'assurer, si tu veux un mouvement circulaire, que R_N ne s'annule pas .

bonsoir,
oui, justement, je trompe, il faut que soit >0 pour un un mouvement circulaire.
si la vitesse reste >0 et s'annule, le mouvement se transforme à une mouvement parabolique comme tu as décris dans ton message  20-12-20 à 11:49


je veux seulement savoir si:

1- l'équation différentielle     et   l'equation de vitesse    

reste valable pour un mouvement révolutionnaire (mouvement circulaire complète avec n tours) ou seulement il concerne la partie oscillatoire de mouvement


2- la diminution de l'amplitude de mouvement dans la partie oscillatoire par et aussi pour les grandes amplitude ou seulement dans les oscillations de faibles amplitudes

Question 1 :  équations valides quelle que soit la valeur de , grande ou non, que le solide décrive un cercle complet ou non. Il y a cependant une difficulté en cas de changement de sens du mouvement, ce qui se produit en cas d'oscillations. En effet, ces relations ont été démontrée pour un mouvement dans le sens positif (vitesse angulaire positive). Si la vitesse angulaire devient négative, la force R_T change de sens, ce qui revient, dans l'équation différentielle, à remplacer µ par (-µ).
Pour la question 2, la diminution d'amplitude de 2µ par pseudo demi-période  est valide seulement pour les mouvements de très faible amplitude. Dans le cas des grandes amplitudes, il n'existe pas de relation simple et pas de décroissance linéaire de l'amplitude : voir par exemple la simulation du 28-11-20 à 12:11 où la vitesse initiale a été choisie pour conduire à une amplitude théorique sans frottement égale à /2 rad.

bien comprendre,
merci beaucoup pour votre aide,

j'arrive à résoudre les grandes difficultés du mouvement circulaire avec frottement solide


merci.

bonjour vanoise
tu a déjà traiter le frottement fluide dans vos message
j'ai besoin une petite aide

quand la force de frottement est

dans Wikipedia le sujet qui traite le pendule simple

ils ont fait :

Nombre de tours:
il se trouve que ce problème est analytiquement soluble :
Si



le pendule effectuera n tours avant d'osciller.
avec



1-comment arrivant à cette formule
2- comment déterminer n

J'imagine que tu fais référence à ce document :
Il s'agit d'un pendule simple mais, pour l'étude avec frottement en -f.v², le document considère qu'un tour complet peut être obtenu pour une vitesse non nulle tout au long de la trajectoire. Cela suppose la liaison entre le point fixe et la masse en mouvement assurée par une tige rigide de masse négligeable. Dans le cas de ton problème, la situation est encore plus complexe : il faut supposer que la réaction normale ne s'annule jamais sur un tour : c'est beaucoup plus complexe et, personnellement, je ne connais pas de méthode analytique pour s'en sortir : seulement des simulations numériques à l'aide d'un ordinateur.

Bonjour
merci pour votre explication
dans l'article mentionné il y a beaucoup de formule qui sont donner sans démonstration
merci pour votre aide

Bonjour vanoise
excuse moi

dans les condition que tu as déclarer (la liaison est assuré et pas et la réaction normal ne s'annule jamais) et en l'absence de frottement
dans la page de Wikipedia mentionné :

-quand le pendule tournoie : la période est:



la formule ne contient pas la vitesse initiale  
qui permet le pendule de faire un tour complet
- est ce que c'est logique?
parce que  la distance reste constante la vitesse peut se varier ce qui implique la variation de temps

comment peut on démontrer cette formule?

Tu passe d'une problématique à l'autre... Es-tu sûr de ne pas t'y perdre toi-même ? A ce que je comprends, tu es revenu à une situation où les frottements sont négligés et le pendule rigide. Sur wikipedia, tu es dans le sous paragraphe "Cas pleinement non linéaire" : l'approximation des faibles amplitudes n'est plus possible. La conversation de l'énergie mécanique avec tes notation précédentes et tes conditions initiales  s'écrit :



Avec les notations de wikipedia :


Tu vois bien que k fait intervenir la vitesse initiale !
En supposant un pendule rigide comme déjà expliqué et l'absence de frottement, le mouvement de rotation correspond bien à :

soit : .
La démonstration de la durée d'un tour utilise une méthode très analogue à celle que je t'ai fournie dans  mon message du  05-12-20 à 11:33. La solution fait intervenir une intégrale n'admettant pas de solution explicite, cette solution étant reliée au "K" de wikipédia. Peut-être pas nécessaire de t'embrouiller avec toutes ces notations de wikipédia. Conseil : prends la démonstration de mon document et adapte-là au cas ...

Je viens de faire le calcul de T dans le cas d'une rotation. A la réflexion : poser comme wikipédia :   allège bien les notations...

Bonsoir vanoise;
merci pour votre réponse,
excuse moi si je pose beaucoup de problème
mais le but est étudier sur le mouvement circulaire vertical dans ses différents état(avec/sans frottement , cas d'oscillations, tour/tour complet, faible/grande amplitude.....)
par votre aide j'arrive a résoudre les difficulté concerne le mouvement avec frottement solide, je poursuive l'étude je rencontre d'autre problème
donc je vais pas me perdre car c'est le même problématique mais se ramifier selon les condition de mouvement
merci

En utilisant la méthode développée sur le document que je t'ai indiqué, il est assez facile d'exprimer la durée T d'un tour en fonction de To, période des oscillations de faible amplitude d'un pendule simple de longueur R  et de k. L'expression fait intervenir une intégrale n'admettant pas de solution explicite. D'où la nécessité d'une résolution numérique.

on a



ce qui implique :



on a :    





avec  

et avec un changement de variable :

en remplace on trouve :



donc

avec K(x)  fonctions elliptiques de Jacobi

ça pour un mouvement oscillatoire avec  :  

en Wikipédia
il ont utiliser le petit k pour 2 notations:
- pour la vitesse ou l'énergie initiale (d'ou les cas : k<1, k=1, k>1)
- et pour
pour un tour complet je ne sais pas comment faire démontrer la formule proposé et à quelle notation se réfère k

le symbole "k" est ici pratique pour qualifier la vitesse initiale : .
L'étude de la période du pendule de grande amplitude a déjà été traité. Reste à traiter le problème de la durée T d'un tour lorsque k>1.
La méthode est analogue mais il faut intégrer entre =0 (position initiale) et = rad. Cela permet d'obtenir T/2 : durée d'un demi tour. Le calcul est alors assez simple à poser ; il fait intervenir sin²(/2) mais l'intégrale obtenu n'admet pas de solution explicite. Une simple résolution numérique suffit.  Il n'est pas nécessaire de faire intervenir le changement de variable introduisant sin(u).

bonsoir
exactement, j'arrive a démontrer la formule de période de pendule simple tournoyant
une petite correction dans mon message précédent



on a :    

merci beaucoup

D'accord. Tu peux vérifier le réalisme de ton résultat en considérant la situation où k est assez grand : au moins égal à 5. Dans ces conditions, la variation d'altitude au cours du mouvement influence peu la vitesse de sorte que l'on peut considérer la vitesse moyenne comme égale à la valeur initiale Vo. La durée d'un tour  doit vérifier :

effectivement;
merci beaucoup pour votre aide.

bonsoir;
je vais débrouiller un peu avec les frottement fluide
sachant maintenant que la particule(ou même le pendule) soumis a une force de frottement visqueux  :  

l'équation différentielle de mouvement:
on a :




projetons sur l'axe tangentiel (avec l'accélération tangentielle : et la vitesse )

on obtient
:




ma question est :
*comment calculer le travail de la force de frottement?
*est ce q'on peut déterminer la vitesse   initial pour obtient un tour complete