Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 3 +


Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 07-12-20 à 23:01

Maintenant, nous sommes d'accord ! Tu peux un peu simplifier l'expression de k compte tenu de la valeur fournie pour vo.

Posté par
Chimival
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 08-12-20 à 14:23

Bonjour à tous,
Pour Praf,  :
- dans ton message du 06/12/20 à 20h53, il y a une inversion, à la fin :
         c'est :    a=2mu ; b= 2mu ; et c =2
- dans la suite de tes messages les termes ont été mis dans le bon ordre :
      et je trouve les mêmes valeurs de A et B que toi en fonction de mu ; idem pour K ;
- si on tient compte que mu = 1/4,    et si Vo est la vitesse de la bille quand têta =0,  avec Vo= (g*R*7/5)**(1/2)  je trouve A = - 7/5 ; B = 6/5 ; et  k =0  ;
        Cordialement

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 08-12-20 à 14:37

D'accord pour les valeurs de A et B ; erreur sur k : peut-être confusion entre 5/7 et 7/5 ?

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 08-12-20 à 14:44

Je viens de refaire le calcul : c'est moi qui ai permuté 5/7 et 7/5. Tu as raison : k=0 !

Posté par
Chimival
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 08-12-20 à 14:52

Bonjour Vanoise,

Bien reçu, merci !

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 08-12-20 à 21:16

bonsoir
donc si k=0
la détermination de  \theta_M  est plus simple
seulement résoudre l'équation :

-\frac{7}{5}cos\theta+\frac{6}{5}sin\theta=0

7}cos\theta=6sin\theta


\theta=Arctan\frac{7}{6}



\theta\approx 1.429  rad

\theta\approx 81.870 °

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 08-12-20 à 21:59

D'accord pour l'arc tangente mais pas pour la valeur de l'angle.  Une tangente un peu supérieure à 1 conduit à un angle un peu supérieur à 45°.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 09-12-20 à 20:54

oui exactement je pense les valeurs exact est :

\theta\approx 0.86  rad

\theta\approx 49.39 °

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 09-12-20 à 20:57

D'accord.  De préférence, arrondir à trois chiffres significatifs.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 09-12-20 à 22:06

merci
et pour le temps effectué par le particule pour atteindre θm?
est ce qui il y a une formule comme de la formule de borda borda concerne les mouvement en  frottement par exemple ?

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 09-12-20 à 23:07

Déjà les choses ne sont pas simples quand l'amplitude est grande en absence de frottement... Alors, pour les grandes amplitudes avec frottements, il faut se contenter de simulations numériques, sauf évidemment si, comme dans ce problème, on choisit des conditions initiales très particulières. Dans ce problème, vo a été choisi de façon à obtenir k=0, ce qui simplifiait fortement le calcul...
Pour obtenir la date correspondant à =m, on peut partir de l'expression de l'accélération angulaire fournie dans mon message du  26-11-20 à 18:00 et intégrer numériquement à l'aide d'un logiciel scientifique comme Matlab ou Scilab... Voici le résultat avec les valeurs numériques de ton problème. On voit que pour =m0,86rad, t 0,45s.
A noter que le coefficient de frottement µ est particulièrement élevé ici : on no'observe qu'une seule oscillation très amortie puis une lente dérive vers une position d'équilibre qui ne va pas correspondre tout à fait à =0.

mouvement dans un trajet circulaire avec frottement

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 10-12-20 à 21:04

Bonsoir Vanoise,

Bien reçu, merci !
moi je cherche s 'il y a des des formule littérale qui permet de calculer et le temps ou la période la position en fonction de temps ; le nombre d'oscillation effectuée avant l'arrêt ......
mais il est clair  qu'il n'existe pas que des solution numérique

merci pour votre aide

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 11-12-20 à 15:25

Il n'existe que des solutions numériques lorsque l'amplitude est grande. On peut trouver des solutions exactes (dans le cadre du modèle des frottement solides de Coulomb) dans le cas des oscillations de très faibles amplitudes. Si les valeurs absolues de l'élongation angulaire ne dépassent pas la dizaine de degrés (0,2 radian environ), il est possible d'effectuer un développement limité à l'ordre 1 du sinus et du cosinus dans mon équation différentielle générale fournie le 26-11-20 à 18:00. Il est aussi facile de montrer qu'alors : \dot{\theta}^{2}\ll\frac{\mu.g}{r} ; \sin\left(\theta\right)\approx\theta\quad;\quad\cos\left(\theta\right)\approx1. On obtient ainsi une équation différentielle simplifiée. Je pose : \sqrt{\frac{g}{r}}=\omega_{o} : pulsation propre.

\ddot{\theta}+\omega_{o}^{2}.\theta+\omega_{o}^{2}.\mu=0\quad si\quad\dot{\theta}>0

\ddot{\theta}+\omega_{o}^{2}.\theta-\omega_{o}^{2}.\mu=0\quad si\quad\dot{\theta}<0

Je te laisse résoudre, morceau par morceau, cette équation différentielle. Je pourrai t'aider si tu le juges nécessaire. Je me contente de fournir les résultats principaux en rapport avec les questions de ton dernier message.

1° : la pseudo période est égale exactement à la période propre T_{o}=\frac{2\pi}{\omega_{o}}=2,00s en choisissant r=1,00m. Le premier maximum d'amplitude correspond donc à t=To/4 et ainsi de suite...

2° : La diminution d'amplitude est linéaire, contrairement au cas d'un frottement fluide où on obtient une décroissance exponentielle de l'amplitude. L'amplitude diminue de (4µ radian) par pseudo période. Cela permet de connaître les valeurs de l'élongation angulaire des maxima et minima successifs.

3° : Revois au besoin les lois de Coulomb sur les frottements solides. Le pendule s'immobilise définitivement à une date tf telle que :

\dot{\theta}=0  et  |\theta|\leq\mu_{s}

où µs désigne le coefficient de frottement statique, coefficient supérieur d'environ 10% au coefficient de frottement dynamique utilisé jusqu'alors : µs = 1,1.µ ; Compte tenu des conditions initiales, la durée du mouvement est donc de la forme :

t_{f}=\frac{T_{o}}{4}+n\frac{T_{o}}{2} où n est un nombre entier. (ici : tf=7,25.To=14,5s)

Contrairement au cas des frottements fluides où l'élongation angulaire tend asymptotiquement vers zéro, il est possible ici de définir une durée ; autre différence : la position finale ne correspond pas nécessairement à une élongation angulaire nulle ; elle doit vérifier : |\theta|\leq\mu_{s}.

Pour illustrer tout ceci, voici deux simulations faites pour To=2,00s, µ=0,007  et une vitesse initiale correspondant à une amplitude angulaire en absence de frottement de 0,2rad.

mouvement dans un trajet circulaire avec frottement

mouvement dans un trajet circulaire avec frottement

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 13-12-20 à 20:52

merci pour votre répense
la solution de léquation differentiel

\ddot{\theta}+\omega_{o}^{2}.\theta \overset{-}{+} \omega_{o}^{2}.\mu=0\quad 
 \\   si \quad\dot{\theta}>0
est la somme de la solution générale et un solution particulier

la solution générale est sous forme :  \theta_g= Acos(\omega_{o} t+\varphi)

la soltion particulier : \ \theta_p =\omega_{o}^{2}.\mu

donc

\theta= \omega_{o}^{2}.\mu  + Acos(\omega_{o} t+\varphi)

et la vitesse :  \overset{.}{\theta}= -A.\omega_{o}sin(\omega_{o} t+\varphi)

les constante A et \varphi sont determiner par les condition initial

c-à-d a t=0  ona  \theta_0=0    et  \overset{.}{\theta}=\overset{.}{\theta_0}

donc  :  \omega_{o}^{2}.\mu  + Acos(\varphi)=0 et   \overset{.}{\theta_0}= -A.\omega_{o}sin(\varphi)

on peut tire que tan(\varphi)=\frac{\overset{.}{\theta_0}}{ \omega_{o}.\mu}   et    A=-\frac{\overset{.}{\theta_0}}{ \omega_{o}.sin\varphi} =-\frac{\omega_{o}^2}{ cos\varphi}

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 13-12-20 à 21:19

Plus facile d'écrire g sous la forme  :
A.cos(o.t) + B.sin(o.t)

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 14-12-20 à 20:52

bonsoir
oui, on peut faire  : \theta_g=A.cos(\omega_{o}t)+B.sin(\omega_{o}t)

donc

\theta=\omega_{o}^2.\mu+A.cos(\omega_{o}t)+B.sin(\omega_{o}t)

pour determiner A et B on utilise les condition initial

\theta(t=0)=0

c-à-d :    \omega_{o}^2.\mu+A=0

donc:     A=-\omega_{o}^2.\mu

\dot{\theta}=-A.\omega_{o}.sin(\omega_{o}t)+B.\omega_{o}.cos(\omega_{o}t)

\dot{\theta}(t=0)=\dot{\theta}_0=\frac{v_0^2}{R}

c-à-d:    \dot{\theta}_0=B.\omega_{o}

donc :     B=\frac{\dot{\theta}_0}{\omega_{o}}

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 15-12-20 à 15:36

Juste une petite erreur pour la solution particulière valide entre la position initiale et le premier maximum :

\ \theta_{p}=-\mu

C'est surtout la suite qui est intéressante. Je vais étudier le mouvement entre le premier maximum et le premier minimum de l'élongation angulaire. Pour simplifier, je note 1 la valeur de correspondant à ce premier maximum et je change l'origine des dates pour avoir t=0 pour \theta=\theta_{1}.Puisque la vitesse angulaire est négative sur la durée étudiée :

\ddot{\theta}+\omega_{o}^{2}.\theta-\omega_{o}^{2}.\mu=0 donc : \theta_{p}=\mu ; d'où l'équation générale :

\theta=K_{1}.\cos\left(\omega_{o}.t\right)+K_{2}.\sin\left(\omega_{o}.t\right)+\mu\quad;\quad\dot{\theta}=\omega_{o}.\left[-K_{1}.\sin\left(\omega_{o}.t\right)+K_{2}.\cos\left(\omega_{o}.t\right)\right]

Compte tenu du nouveau choix de la date t=0 :

\theta_{1}=K_{1}+\mu\quad;\quad0=K_{2}

D'où l'équation valide entre le premier maximum et le premier minimum :

\theta=\left(\theta_{1}-\mu\right).\cos\left(\omega_{o}.t\right)+\mu

Le premier minimum nul correspond donc à : \cos\left(\omega_{o}.t\right)=-1 soit : t=\frac{\pi}{\omega_{o}}=\frac{T_{o}}{2} . L'élongation angulaire de ce premier minimum est ainsi :

\theta_{2}=2\mu-\theta_{1}=-|\theta_{1}-2\mu|

La demie pseudo période, est donc ainsi égale à la demie période propre. On remarque aussi que l'amplitude a diminué de 2µ en une demie période propre. Pour généraliser ces résultats, on pourrait étudier le mouvement entre le premier minimum et le deuxième maximum. On montre que la durée est encore égale à la demie période propre et que ce deuxième maximum correspond à

\theta_{3}=\theta_{1}-4\mu.

On retrouve bien les résultats décrits dans mon message précédent.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 16-12-20 à 16:59

Merci bien vanoise pour cette explication
donc le mouvement a les caractéristique suivants:

      *un mouvement oscillatoire amorti

      *la période de mouvement et celle de mouvement sans frottement

     *l'élongation maximale \theta_1 se diminue en chaque demi période par   2\mu  jusqu'à l'arrive a une angle  \theta_c\ne 0  ou la particule s'arrête

le problème est : quel est la  valeurs de  \mu  qui permet :

   *un mouvement apériodique

   *un mouvement sinusoïdal amorti

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 16-12-20 à 18:12

Tu as bien ici un mouvement sinusoïdal amorti mais l'amplitude décroit linéairement au lieu de décroître exponentiellement.
La notion de mouvement apériodique au sens que tu connais  n'existe pas dans ce cas. Imaginons pour faire simple un pendule abandonné à la date t=0 avec =m et une vitesse angulaire initiale nulle. Supposons que tu augmente fortement la valeur du coefficient de frottement. Si mµs : il n'y a pas de mouvement.
Si (m-2µ)µs : le mouvement s'arrêtera à la date t=To/2 après une demie pseudo période en =-(m-2µ)
Si (m-4µ)µs : le mouvement s'arrêtera à la date To après une pseudo période en =(m-4µ)µs et ainsi de suite...

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 17-12-20 à 20:06

Bonsoir ;
merci
est ce qu'on peut déterminer le nombre d'oscillation avant l'arrêt de la particule comme ça?

l'amplitude se diminue avec   2\mu   à chaque demi période

le nombre d'oscillation est n

le mouvement s'arrête lorsque:        \theta_m-2n\mu=\mu

donc :

      n=\frac{\theta_m-\mu}{2\mu}

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 18-12-20 à 12:21

Tu y es presque ! Juste deux précisions :
* n est un nombre entier, il faut retenir la partie entière du résultat ;
* il est plus rigoureux de faire la différence entre coefficient de frottement statique (µs) et coefficient de frottement dynamique (µ) même si l'écart relatif entre les deux valeurs ne dépasse pas en général 10%.

nombre de demi-périodes :

n=E\left(\dfrac{\theta_{m}-\mu_{s}}{2\mu}\right)

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 19-12-20 à 20:57

oui exactement. merci

encore une dernière aide dans ce problème s'il vous plaît :

si on complète la trajectoire ça veut dire on a  un cercle au lieu d'un demi-cercle
    1- la vitesse minimale pour que la particule fait un tour
    2-le nombre de tour effectués par la particule avant d'oscille

pour la 1ère  question je procède comme suit :
d'après mon message le  16-11-20 à 17:48 s'il est correcte

on travaille dans un premier cas par la force de frottement constante f

on a R_N-mgcos(\theta)=\frac{mv^2}{R}

donc

on a R_N=mg.cos(\theta)+\frac{mv^2}{R}

et   \frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2=-mgR.(1-cos(\theta))-f.R.\theta



un tour complète ça veut dire :

R_N>0 pour \theta=\pi

d'après un calcul classique, on obtient :

v_0^2>5gR+\frac{2fR\pi}{m}


pour la 2ème question je ne sais pas

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 20-12-20 à 11:49

D'accord avec toi pour la première question. Pour la suite, tu peux commencer par déterminer la vitesse au passage en \theta=0 après n tours complets. Le théorème de l'énergie cinétique conduit à :

\frac{1}{2}m.v_{on}^{2}-\frac{1}{2}m.v_{o}^{2}=-2\pi.n.R.f

Ensuite, on peut dire que la valeur de von qui permet d'obtenir des oscillations correspond à une remontée telle que \theta_{m}\leq\frac{\pi}{2}. Malheureusement la situation est plus compliquée que cela : on peut obtenir des valeurs de von telles que la masse remonte d'un angle supérieur à /2 pour lequel Rn s'annule. La masse décolle alors de la piste, décrit un mouvement parabolique avant de rencontrer à nouveau la piste plus bas, un peu comme dans cette simulation. J'ai choisi l'instant initial de la simulation un peu arbitrairement pour une élongation angulaire voisine de -130°.

mouvement dans un trajet circulaire avec frottement

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 21-12-20 à 15:16

merci beaucoup

y-a-t-il une méthode de déterminer le temps effectué par un tour ?

les n tours on la même période ?

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 21-12-20 à 15:36

Qu'il y ait des frottements ou non, il n'existe pas de calcul littéral exact permettant d'obtenir la durée d'un tour. Les calculs littéraux ne sont possible que pour des élongations angulaires de très faibles valeurs absolues. Seule possibilité dans le cas général : établir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par  l'élongation angulaire (cela a déjà été fait) et intégrer par une méthode numérique.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 21-12-20 à 17:59

OK. merci
maintenant si on prend le coefficient de frottement \mu  au lieu de la force constante f

la démonstration suivante est correcte ?

R_{N}=m.g.\cos\left(\theta\right)+\frac{mv^2}{R}


et  \frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2=-m.g.R.(1-cos(\theta))-R.\theta.R_{T}

or R_{T}=\mu.R_{N}     donc :

\frac{1}{2}mv^2-\fract{1}{2}mv_0^2=-m.g.R.(1-cos(\theta))-R.\theta..\mu.R_{N}

mv^2=mv_0^2-2.m.g.R.(1-cos(\theta))-2.R.\theta..\mu.R_{N}

R_{N}=m.g.\cos\left(\theta\right)+\frac{mv_0^2}{R}-2.m.g.(1-cos(\theta))-2.\theta.\mu.R_{N}

R_{N}(1+2.\theta.\mu)=\frac{mv_0^2}{R}-m.g.(2-3cos(\theta))

R_{N}=\frac{mv_0^2-R.m.g.(2-3cos(\theta))}{R(1+2.\theta.\mu)}

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 21-12-20 à 21:53

Si tu modélises les frottements par une force d'intensité constante f comme tu l'as fait dans les messages précédents : pas de problème pour appliquer le théorème de l'énergie cinétique.
Si tu choisis le modèle plus réaliste régi par les lois de Coulomb en introduisant le coefficient de frottement dynamique µ, la situation se complique car la réaction tangentielle RT dépend de . L'expression de son travail est plus compliquée que celle que tu as utilisée. Cela a déjà été évoqué dans mon message du 26-11-20 à 18:00 et dans les messages suivants.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 22-12-20 à 17:22

y-a-t-il une formule pour calculer le travail de R_T et même la reaction R_N et la vitesse


si on procède comme précédent  pour calculer la vitesse



  \frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2=-m.g.R.(1-cos(\theta))-R.\theta.R_{T}

dans votre message le du 26-11-20 à 18:00 :

Loi de Coulomb sur le frottement solide :

R_{T}=\mu.R_{N}=\mu.\left[m.g.\cos\left(\theta\right)+m.r.\dot{\theta}^{2}\right]=\mu.\left[m.g.\cos\left(\theta\right)+\frac{m.v^2}{R}]

donc

  \frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2=-m.g.R.(1-cos(\theta))-R.\theta.\mu.\left[m.g.\cos\left(\theta\right)+\frac{m.v^2}{R}]



  \frac{1}{2}mv^2-R.\theta.\mu.\frac{m.v^2}{R}=\frac{1}{2}mv_0^2-m.g.R.(1-cos(\theta))-R.\theta.\mu.\[m.g.cos(\theta)

après simplification :


 v^2=\frac{v_0^2-2.g.R[1-cos(\theta)(1-\mu.\theta)]}{1-2.\mu.\theta}

donc si on peut remplacer v par sa expression dans la loi de coulomb pour deduire la valeur de R_T

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 22-12-20 à 21:23

Dans mon message du 26-11-20 à 18:00, j'ai démontré l'expression de la réaction tangentielle :

R_{T}=\mu.R_{N}=\mu.\left[m.g.\cos\left(\theta\right)+m.r.\dot{\theta}^{2}\right]
La norme de cette vitesse varie selon la valeur de Il n'est donc pas possible d'écrire comme tu le fais :

W_{R_T}=-R.\theta .R_T}   FAUX !

Le travail de RT entre la position =0 et une position quelconque 1 peut s'écrire :

W_{R_{T}}=-\int_{0}^{\theta_{1}}R_{T}.R.d\theta=-R.\mu.m.\int_{0}^{\theta_{1}}\left[g.\cos\left(\theta\right)+r.\dot{\theta}^{2}\right].d\theta
Pas de problème pour intégrer le cosinus mais le carré de la vitesse angulaire dépend de selon une loi a priori inconnue. Impossible donc de s'en sortir ainsi, d'où la conclusion de mon précédent message. La simulation numérique a été fournie pour les grands angles. L'étude numérique pour les angles très faibles a été menée en détail dans les messages précédents...

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 23-12-20 à 15:23

oui, je comprend, merci

et si on remplace       \dot\theta^2     dans :


W_{R_{T}}=-\int_{0}^{\theta_{1}}R_{T}.R.d\theta=-R.\mu.m.\int_{0}^{\theta_{1}}\left[g.\cos\left(\theta\right)+r.\dot{\theta}^{2}\right].d\theta
par sa expression qu'on déja trouvé:

 \dot\theta^2=k e^{-a\theta} -  \frac{g}{R}(A.cos\theta+B.sin\theta) \

le calcul de travail est correct ?

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 23-12-20 à 15:32

Le calcul du travail est effectivement possible ainsi. Il se simplifie d'ailleurs dans le cas particulier des conditions initiales choisies précédemment qui ont conduit à  k=0.
Tu peux effectivement faire ce calcul et voir si les résultats sont cohérents avec ceux obtenues précédemment.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 23-12-20 à 21:05

donc on peut facilement sans passe par le théorème de l'énergie cinétique de déterminer   v_0   qui permet à la particule de faire un tour complète


 \dot\theta^2=k e^{-a\theta} -  \frac{g}{R}(A.cos\theta+B.sin\theta) \ >0

à  \theta= \pi

k.e^{-a\pi}+A.\frac{g}{R}>0

et on déduire l'expression de   v_0    à partir de l'expression de k




   k=\frac{v_0^2}{R}+\frac{g}{R}.(µ-1)

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 23-12-20 à 22:15

Il faut aussi s'assurer, si tu veux un mouvement circulaire, que RN ne s'annule pas .

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 24-12-20 à 21:01

bonsoir,
oui, justement, je trompe, il faut que R_N soit >0 pour un un mouvement circulaire.
si la vitesse reste >0 et R_N s'annule, le mouvement se transforme à une mouvement parabolique comme tu as décris dans ton message  20-12-20 à 11:49


je veux seulement savoir si:

1- l'équation différentielle   \\ \ddot{\theta}+\mu.\dot{\theta}^{2}+\frac{g}{r}\cdot\left[\sin\left(\theta\right)+\mu.\cos\left(\theta\right)\right]=0   et   l'equation de vitesse      \dot\theta^2=k e^{-a\theta} -  \frac{g}{R}(A.cos\theta+B.sin\theta) \

reste valable pour un mouvement révolutionnaire (mouvement circulaire complète avec n tours) ou seulement il concerne la partie oscillatoire de mouvement


2- la diminution de l'amplitude de mouvement dans la partie oscillatoire par 2\mu et aussi pour les grandes amplitude ou seulement dans les oscillations de faibles amplitudes

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 25-12-20 à 13:06

Question 1 :  équations valides quelle que soit la valeur de , grande ou non, que le solide décrive un cercle complet ou non. Il y a cependant une difficulté en cas de changement de sens du mouvement, ce qui se produit en cas d'oscillations. En effet, ces relations ont été démontrée pour un mouvement dans le sens positif (vitesse angulaire positive). Si la vitesse angulaire devient négative, la force RT change de sens, ce qui revient, dans l'équation différentielle, à remplacer µ par (-µ).
Pour la question 2, la diminution d'amplitude de 2µ par pseudo demi-période  est valide seulement pour les mouvements de très faible amplitude. Dans le cas des grandes amplitudes, il n'existe pas de relation simple et pas de décroissance linéaire de l'amplitude : voir par exemple la simulation du 28-11-20 à 12:11 où la vitesse initiale a été choisie pour conduire à une amplitude théorique sans frottement égale à /2 rad.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 25-12-20 à 21:04

bien comprendre,
merci beaucoup pour votre aide,

j'arrive à résoudre les grandes difficultés du mouvement circulaire avec frottement solide


merci.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 04-01-21 à 14:32

bonjour vanoise
tu a déjà traiter le frottement fluide dans vos message
j'ai besoin une petite aide

quand la force de frottement est  f=-kv^2

dans Wikipedia le sujet qui traite le pendule simple

ils ont fait :

Nombre de tours:
il se trouve que ce problème est analytiquement soluble :
Si

\frac{1}{1+4k^2}(1+e^{4nk\pi}e^{-2k\pi})<H<\frac{1}{1+4k^2}(1+e^{4nk\pi}e^{+2k\pi})

le pendule effectuera n tours avant d'osciller.
avec

H=\frac{1}{2.g}R.\dot{\theta}^2+R.(1-cos(\theta)

1-comment arrivant à cette formule
2- comment déterminer n

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 04-01-21 à 15:25

J'imagine que tu fais référence à ce document :
Il s'agit d'un pendule simple mais, pour l'étude avec frottement en -f.v2, le document considère qu'un tour complet peut être obtenu pour une vitesse non nulle tout au long de la trajectoire. Cela suppose la liaison entre le point fixe et la masse en mouvement assurée par une tige rigide de masse négligeable. Dans le cas de ton problème, la situation est encore plus complexe : il faut supposer que la réaction normale ne s'annule jamais sur un tour : c'est beaucoup plus complexe et, personnellement, je ne connais pas de méthode analytique pour s'en sortir : seulement des simulations numériques à l'aide d'un ordinateur.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 05-01-21 à 15:30

Bonjour
merci pour votre explication
dans l'article mentionné il y a beaucoup de formule qui sont donner sans démonstration
merci pour votre aide

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 06-01-21 à 16:32

Bonjour vanoise
excuse moi

dans les condition que tu as déclarer (la liaison est assuré et pas et la réaction normal ne s'annule jamais) et en l'absence de frottement
dans la page de Wikipedia mentionné :

-quand le pendule tournoie : la période est:

 T=T_0\frac{1}{k\pi}K(\frac{1}{k})

la formule ne contient pas la vitesse initiale  v_0
qui permet le pendule de faire un tour complet
- est ce que c'est logique?
parce que  la distance reste constante la vitesse peut se varier ce qui implique la variation de temps

comment peut on démontrer cette formule?

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 06-01-21 à 18:57

Tu passe d'une problématique à l'autre... Es-tu sûr de ne pas t'y perdre toi-même ? A ce que je comprends, tu es revenu à une situation où les frottements sont négligés et le pendule rigide. Sur wikipedia, tu es dans le sous paragraphe "Cas pleinement non linéaire" : l'approximation des faibles amplitudes n'est plus possible. La conversation de l'énergie mécanique avec tes notation précédentes et tes conditions initiales  s'écrit :

\frac{1}{2}m.V_{o}^{2}=\frac{1}{2}m.l^{2}.\dot{\theta}^{2}+m.g.R.\left[1-\cos\left(\theta\right)\right]\quad;\quad l^{2}.\dot{\theta}^{2}+2g.R.\left[1-\cos\left(\theta\right)\right]=V_{o}^{2}

Avec les notations de wikipedia :

V_{o}^{2}=4.g.R.k^{2}
Tu vois bien que k fait intervenir la vitesse initiale !
En supposant un pendule rigide comme déjà expliqué et l'absence de frottement, le mouvement de rotation correspond bien à :

V_{o}>2\sqrt{g.R} soit :  k>1 .
La démonstration de la durée d'un tour utilise une méthode très analogue à celle que je t'ai fournie dans  mon message du  05-12-20 à 11:33. La solution fait intervenir une intégrale n'admettant pas de solution explicite, cette solution étant reliée au "K" de wikipédia. Peut-être pas nécessaire de t'embrouiller avec toutes ces notations de wikipédia. Conseil : prends la démonstration de mon document et adapte-là au cas V_{o}>2\sqrt{g.R} ...

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 06-01-21 à 19:06

Je viens de faire le calcul de T dans le cas d'une rotation. A la réflexion : poser comme wikipédia :  V_{o}^{2}=4.g.R.k^{2} allège bien les notations...

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 07-01-21 à 20:41

Bonsoir vanoise;
merci pour votre réponse,
excuse moi si je pose beaucoup de problème
mais le but est étudier sur le mouvement circulaire vertical dans ses différents état(avec/sans frottement , cas d'oscillations, tour/tour complet, faible/grande amplitude.....)
par votre aide j'arrive a résoudre les difficulté concerne le mouvement avec frottement solide, je poursuive l'étude je rencontre d'autre problème
donc je vais pas me perdre car c'est le même problématique mais se ramifier selon les condition de mouvement
merci

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 07-01-21 à 21:32

En utilisant la méthode développée sur le document que je t'ai indiqué, il est assez facile d'exprimer la durée T d'un tour en fonction de To, période des oscillations de faible amplitude d'un pendule simple de longueur R  et de k. L'expression fait intervenir une intégrale n'admettant pas de solution explicite. D'où la nécessité d'une résolution numérique.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 07-01-21 à 21:41


on a

dt= \sqrt{\frac{R}{2g}}\frac{d\theta}{\sqrt{cos(\theta)-cos(\theta_0)}}

ce qui implique :

t= \sqrt{\frac{R}{2g}}\int_{0}^{\theta_0} \frac{d\theta}{\sqrt{cos(\theta)-cos(\theta_0)}}

on a :     cos(\theta)=1-sin(\frac{\theta}{2})

t= \sqrt{\frac{R}{2g}}\int_{0}^{\theta_0} \frac{d\theta}{\sqrt{2sin^2(\theta_0)-sin^2(\theta)}}



avec   T_0=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}

et avec un changement de variable : sin(u)=\frac{sin(\frac{\theta}{2})}{sin(\frac{\theta_0}{2})}

en remplace on trouve :

t=\frac{2.T_0}{\pi}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{du}{\sqrt{1-sin^2(\frac{\theta_0}{2}).sin^2(u)}}

donc t=\frac{2.T_0}{\pi}}.K(sin(\frac{\theta_0}{2}))
 \\

avec K(x)  fonctions elliptiques de Jacobi

ça pour un mouvement oscillatoire avec  :  \theta(t=0)=\theta_0

en Wikipédia
il ont utiliser le petit k pour 2 notations:
- pour la vitesse ou l'énergie initiale (d'ou les cas : k<1, k=1, k>1)
- et pour sin(\frac{\theta_0}{2}) 
 \\
pour un tour complet je ne sais pas comment faire démontrer la formule proposé et à quelle notation se réfère k

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 07-01-21 à 22:55

le symbole "k" est ici pratique pour qualifier la vitesse initiale : V_{o}^{2}=4.g.R.k^{2}.
L'étude de la période du pendule de grande amplitude a déjà été traité. Reste à traiter le problème de la durée T d'un tour lorsque k>1.
La méthode est analogue mais il faut intégrer entre =0 (position initiale) et = rad. Cela permet d'obtenir T/2 : durée d'un demi tour. Le calcul est alors assez simple à poser ; il fait intervenir sin2(/2) mais l'intégrale obtenu n'admet pas de solution explicite. Une simple résolution numérique suffit.  Il n'est pas nécessaire de faire intervenir le changement de variable introduisant sin(u).

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 09-01-21 à 21:08

bonsoir
exactement, j'arrive a démontrer la formule de période de pendule simple tournoyant
une petite correction dans mon message précédent



on a :     cos(\theta)=1-2sin^2(\frac{\theta}{2})

merci beaucoup

Posté par
vanoise
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 10-01-21 à 12:02

D'accord. Tu peux vérifier le réalisme de ton résultat en considérant la situation où k est assez grand : au moins égal à 5. Dans ces conditions, la variation d'altitude au cours du mouvement influence peu la vitesse de sorte que l'on peut considérer la vitesse moyenne comme égale à la valeur initiale Vo. La durée d'un tour  doit vérifier :

T\approx\dfrac{2\pi.R}{V_{o}}\quad soit\quad T\approx\dfrac{2\pi.R}{2k.\sqrt{g.R}}=\dfrac{T_{o}}{2k}

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 10-01-21 à 22:47

effectivement;
merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
praf
re : mouvement dans un trajet circulaire avec frottement 13-01-21 à 21:29

bonsoir;
je vais débrouiller un peu avec les frottement fluide
sachant maintenant que la particule(ou même le pendule) soumis a une force de frottement visqueux  :  \overrightarrow{f}=-k\overrightarrow{v}

l'équation différentielle de mouvement:
on a :


\overrightarrow{P}+\overrightarrow{f}+\overrightarrow{R_{N}}=m.\overrightarrow{a}}

projetons sur l'axe tangentiel (avec l'accélération tangentielle : a_{T}=R.\ddot{\theta} et la vitesse v=R.\dot{\theta})

on obtient
:
-mgsin(\theta)-k.R.\dot{\theta}=m.\ddot{\theta}

\ddot{\theta} +\frac{k}{m}\dot{\theta}+\frac{g}{R}=0

ma question est :
*comment calculer le travail de la force de frottement?
*est ce q'on peut déterminer la vitesse  v_0  initial pour obtient un tour complete

1 2 3 +


Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2021

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !