1- x1^2  + x2^2   = d  est non homogène
2- l'ensemble des points M est un cercle dont x1 est l'abscisse de M et x2 son ordonnée, vos notations ne sont pas simples.

"Comme à un instant donné, le niveau d'eau coïncidera avec z1" nous donnera UN point, on veut un LIEU.

Vous avez tout ce qu'il faut pour résoudre : je prends VOS équations
y1 = 1/2×g[x1^2 /(v1^2)] + d
y2=  1/2×g [x2^2/v2^2)]        
v1^2=2 g (z2+d) et v2^2=2 g z2
y1=y2 donne aux erreurs de calcul près x^2=4(z2+d)z2 et y=z2+d qui est bien l'équation d'une courbe paramétrée par z2 et de paramètre (fixe) d.

On peut bien sûr éliminer le paramètre pour trouver x^2=4y*(y-z2)

Il faut lire  x^2=4y*(y-d)

Ok mais j'ai pas du tout compris comment vous avez fait pour obtenir : x^2= 4( z2+f)  et
Y= z2 + d    parceque en égalant y1 et y2  ,j'ai eu : x1^2/(z2+d) = x2^2/ z2  .
Si vous pouviez me détailler un peu plus.

"parce que en égalant y1 et y2, j'ai eu : x1^2/(z2+d) = x2^2/ z2 "

Vous avez oublié le +d à la fin de y1 : x1^2/(z2+d) + d = x2^2/ z2, et c'est le même x (celui du point M)

Ok maintenant que j'ai : x1^2/(z2 +d) +d = x1^2/ z2    ,   qu'est-ce qui peut bien suivre encore ?

Ok maintenant que j'ai : x1^2/(z2 +d)+d = x2^2/z2    , qu'est-ce qui peut bien suivre encore ?

Vous en déduisez x, vous reportez dans y(x) pour avoir y.
Vous avez alors votre équation paramétrée.
Pour avoir une équation y(x), vous éliminez le paramètre entre les deux équations x= et y=.

Ok mais je ne vois pas comment je peux endeduire ici x vue que j'ai deux  x  . X1 et X2.
Là, je bloque vraiment.

Oubien il suffit que je remplace et x1 et x2 par x?

Vous cherchez la position du point M, ce point M a UNE abscisse et UNE ordonnée.

Oui le point M a une abscisse et une ordonnée, mais je n'est aucune idée de comment les déterminer.

Me montrer comment procéder ,me sera utile j'espère.

Je ne comprends pas : quand vous écrivez y1=y2 c'est bien pour déterminer le point d'intersection M entre la courbe y1(x) et y2(x). En cette intersection, par définition de celle-ci, y1=y2=y(M) et x1=x2=x(M).

Mon problème ce que   j'ai du mal à utiliser cette relation :
      x1^2/(z2+d)= x2^2/z2  pour trouver les coordonnées du point M.
Je n'est presque pas d'idées

On explicite en ajoutant le +d que vous avez encore oublié :

Produit en croix et simplification donne :
On reporte dans y2 :

Clic intempestif avant vérification : je recommence

Réduction au même dénominateur et simplification:  
On reporte dans y2 :
On isole z2 : que l'on reporte dans x :

Ok je me retrouve.
Maintenant qu'est-ce qui peut bien suivre pour la conclusion ?

Quelle conclusion ? On a répondu à la question.

Je pensais qu'on allait dire que l'ensemble des points M est un.......

L'équation est l'équation d'une ?

Et un dessin pour illustrer :

Ok  je pense que c'est l'équation d'une ellipse.

C'est l'équation d'une hyperbole (une ellipse c'est +x^2 +y^2).

Ok je vois,  et je tiens vraiment à vous remercier pour ce coup de main. Que Dieu vous en récompense. Merci infiniment.