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Expression de la trajectoire

Posté par
teyo 05-01-20 à 11:34

Bonjour et merci déjà pour l'attention apporté à mon message. J'ai rencontré des difficultés avec l'exercice dont l'énoncé est le suivant :
Une particule M se déplace dans un repère cartésien orthonormé (O,i,j) du plan (xOy). Sa vitesse est définie par V = ae + b (e est un vecteur et est en indice ; V aussi est un vecteur) où a et b sont deux constantes. Déterminer l'équation r() de la trajectoire en coordonnées polaires.

Posté par
vanoisere : Expression de la trajectoire 05-01-20 à 11:48

Bonjour
Le scan d'un schéma serait le bienvenu pour définir avec précision l'orinetation du vecteur e
Connais-tu l'expression du vecteur vitesse en coordonnées polaires ?

Posté par
teyore : Expression de la trajectoire 05-01-20 à 13:17

Il y a pas de schéma dans l'énoncé de l'exercice( et donc pas d'orientation de e).
Pour la vitesse : V = r(point) er + r(point)e + r(point)sine
N.B : "point" signifie la dérivée première par rapport au temps
Merci déjà pour votre réponse.

Posté par
vanoisere : Expression de la trajectoire 05-01-20 à 14:12

Attention : le mouvement ici est plan. Pas de composante suivant e mais l'expression est correcte.
Reprends maintenant l'expression fournie par l'énoncé en remplaçant le vecteur par son expression en fonction de , \vec{e_r} et \vec{e_{\theta}}.
En identifiant les deux expressions du vecteur vitesse, tu obtiens deux équations différentielles. Une division membre à membre, faite en remarquant : \frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt} , conduit à une équation différentielle qui permet d'obtenir r=f().
Je te laisse réfléchir...

Posté par
teyore : Expression de la trajectoire 05-01-20 à 15:40

S'il vous plait j'ai du mal à exprimer en fonction de r, er et e

Posté par
vanoisere : Expression de la trajectoire 05-01-20 à 17:52

J'ai eu l'occasion d'aider quelqu'un sur un exercice analogue (messages du  13-02-16 à 00:34 et suivant) ici :
physique mecanique
Les lettres sont remplacées par leurs majuscules mais cela ne devrait pas te perturber. Commence par étudier ces messages puis poste des questions complémentaires si tu le juges utile.

Posté par
teyore : Expression de la trajectoire 05-01-20 à 18:16

Merci beaucoup

Posté par
teyore : Expression de la trajectoire 06-01-20 à 18:18

vanoise @ 05-01-2020 à 14:12

Attention : le mouvement ici est plan. Pas de composante suivant e mais l'expression est correcte.
Reprends maintenant l'expression fournie par l'énoncé en remplaçant le vecteur par son expression en fonction de , \vec{e_r} et \vec{e_{\theta}}.
En identifiant les deux expressions du vecteur vitesse, tu obtiens deux équations différentielles. Une division membre à membre, faite en remarquant : \frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt} , conduit à une équation différentielle qui permet d'obtenir r=f().
Je te laisse réfléchir...

Bonsoir Vanoise j'ai réessayé de faire l'exercice et je suis arrivé à :
d(logr) = \frac{\frac{-b}{\theta (point)}dcos\theta }{(a+bcos\theta)} et après developpements : r = e^{\frac{-bcos\theta }{\theta (point)(a+bcos\theta }}, = cte. Est ce bien cela ?

Posté par
vanoisere : Expression de la trajectoire 06-01-20 à 18:39

Citation :
Est ce bien cela ?

Non ; je pense avoir bien détaillé les calculs dans mon message du   14-02-16 à 12:24 dont je t'ai fourni la référence. On obtient l'équation polaire d'une ellipse.
Reprends pas à pas le calcul que j'ai fait et pose des questions précises si tu ne comprends pas.

Posté par
teyore : Expression de la trajectoire 06-01-20 à 20:26

vanoise @ 05-01-2020 à 14:12

Attention : le mouvement ici est plan. Pas de composante suivant e mais l'expression est correcte.
Reprends maintenant l'expression fournie par l'énoncé en remplaçant le vecteur par son expression en fonction de , \vec{e_r} et \vec{e_{\theta}}.
En identifiant les deux expressions du vecteur vitesse, tu obtiens deux équations différentielles. Une division membre à membre, faite en remarquant : \frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt} , conduit à une équation différentielle qui permet d'obtenir r=f().
Je te laisse réfléchir...

Ici il semblerait que vous avez parler d'une équation différentielle permettant d'obtenir r=f(theta) et c'est elle que j'ai cherché à obtenir

Posté par
vanoisere : Expression de la trajectoire 06-01-20 à 21:00

As-tu bien compris comment obtenir le système suivant ?
\\ \begin{cases} \\ \\ \frac{dr}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt}=B\sin\left(\theta\right)\\ \\ \\ r\frac{d\theta}{dt}=A+B\cos\left(\theta\right)\\ \\ \\ \text{rapport membre à membre en supposant \ensuremath{\frac{d\theta}{dt}\neq0} }\\ \\ \\ \frac{\frac{dr}{d\theta}}{r}=\frac{B\sin\left(\theta\right)}{A+B\cos\left(\theta\right)} \\ \\ \end{cases}
Ensuite on remarque que  -B.sin()  est la dérivée de [A+B.cos()] ; on peut donc écrire :

\dfrac{\frac{dr}{d\theta}}{r}=\dfrac{B\sin\left(\theta\right)}{A+B\cos\left(\theta\right)}=-\dfrac{\frac{d\left[A+B\cos\left(\theta\right)\right]}{d\theta}}{A+B\cos\left(\theta\right)}
Soit par intégration :

\ln\left(r\right)=-\ln\left(|A+B\cos\left(\theta\right)|\right)+\ln\left(C\right)\quad\text{avec C : constante positive}

Soit :

r=\dfrac{C}{|A+B\cos\left(\theta\right)|}
Je te laisse réfléchir...

Posté par
teyore : Expression de la trajectoire 08-01-20 à 19:08

Compris encore merci beaucoup pour tout.


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