Référentiel lié à la voiture :

P = mg
P = 1000*10 = 10^4 N (vertical vers le bas)

Fc = m.v²/R
Fc = 1000 * v²/10 = 100.v² (force centrifuge : horizontale vers l'extérieur du virage)

Projection de ces 2 forces sur une direction perpendiculaire à la route :

- P * cos(37°) + Fc * sin(37°) = -10000 * cos(37°) + 100.v² * sin(37°) = -7986,4 + 60,18.v²

Et donc la composante normale de la réaction du sol est N = 7986,4 - 60,18.v² (vers le haut)

Donc la force de frottement max (transversale à la route) est |f| = 0,1 * (7986,4 - 60,18.v²) = 798,64 - 6,018.v²
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Projection de ces 2 forces (P e tFc) sur une direction transversale à la route :

- P * sin(37°) + Fc * cos(37°) = -10000 * sin(37°) + 100.v² * cos(37°) = -6018,15 + 79,86.v²
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On est à la limite d'adhérence (vers l'extérieur du virage) si : -6018,15 + 79,36.v² = (798,64 - 6,018.v²)

v = 8,94 m/s (32 km/h)

On est à la limite d'adhérence (vers l'intérieur du virage) si : -6018,15 + 79,36.v² = -(798,64 - 6,018.v²)

v = 7,82 m/s (28 km/h)

Donc, il faut 28 < v < 32 (avec v en km/h)

La vitesse max est 32 km/h ... mais la vitesse min est 28 km/h.
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Sauf distraction (rien vérifié ... à toi de le faire)  

Merci pour votre réponse mais j'ai un problème car ma professeur m'a donné la réponse finale (9,5m/s) et manifestement ce n'est pas la même que vous 😕

Est ce que quelqu'un voit où est l'erreur parce que j'ai besoin de l'info pour demain?
Merci 😀

Bonsoir
Je crains d'arriver un peu tard mais ton professeur a tour à fait raison  et JP a tord !
En notant N la composante normale de la réaction de la route et T la composante tangentielle de celle -ci, la relation fondamentale de la dynamique conduit à :


L'accélération est normale centripète et de norme V²/R. En projetant la RFD sur un axe vertical, on obtient, en se plaçant à la limite du glissement :


soit :


En projetant la RFD sur un axe horizontal et en se plaçant à la limite du glissement, on obtient :


Par substitution et simplification par m, on obtient, toujours à la limite du glissement :


L'application numérique conduit à V = 9,5m/s comme donné par ton professeur.

J'ai oublié de préciser : je travaille dans un repère lié à la route, donc un repère galiléen.
J'ai ainsi calculé la vitesse maximale en supposant la force T parallèle à la route mais orientée vers l'intérieur du virage.
Pour calculer la vitesse minimale, il faut imaginer une force T de sens inverse au sens précédent. Cela conduit à inverser les signes de T dans les relations précédentes. Je te laisse vérifier que l'on obtient alors :


L'application numérique conduit à : V=7,7m/s
Conclusion : si la vitesse du véhicule est supérieure à 9,5m/s le véhicule glisse vers l'extérieur du virage, si la vitesse du véhicule est inférieure à 7,7m/s, le véhicule glisse vers l'intérieur du virage.

Merci beaucoup pour toutes ces précisions !
Juste une question que signifie RFD?

RFD pour relation fondamentale de la dynamique , encore appelée principe fondamental de la dynamique, deuxième loi de Newton... Fais comme tu as l'habitude. Voici un schéma avec les différentes forces. Supposer comme je l'ai fais l'accélération du centre d'inertie G du véhicule par rapport à la route horizontale centripète suppose que la différence d'altitude entre le point G et le centre de la trajectoire circulaire de G est  faible devant le rayon  R de la trajectoire. Il s'agit en général d'une approximation tout à fait valide.
Le sens de T est celui permettant de calculer la vitesse maximale. Pour la vitesse minimale, il faut inverser ce sens.

Gros lapsus dans ma dernière phrase : le sens de T sur la figure est celui permettant de calculer la vitesse minimale. Pour la vitesse maximale, il faut inverser le sens...

Oui, petite erreur de signe dans ma réponse (lié à mon "rien vérifié ... à toi de le faire")

J'aurai du arriver à N =  7986,4 + 60,18.v² (vers le haut)

Qui au final donne : -6018,15 + 79,86.v² = (798,64 + 6,018.v²)

v max = 9,6 m/s

Sauf nouvelle distraction qui me donnerait à nouveau tort.