On considère le double ressort pesant ci-contre :
Le point matériel M de masse m est soumis entre autres à la force des
ressorts de raideurs kA et kB , de longueurs à vide LA et LB
respectivement.
1) Rappeler l'expression de la force exercée par le ressort du haut
en fonction de kA, LA , de la distance AM et du vecteur unitaire
UX. Exprimer de même la force du ressort du bas.
2) On note la distance AB = D. Exprimer AM et BM en fonction
de D et de la position x de M, en prenant l'origine de cet axe en
A.
3) En déduire les expressions des forces exercées par les ressorts
en fonction de kA, LA, kB, LB, D, x et UX.
4) On se place à l'équilibre. Après avoir fait un bilan des forces
complet, déterminer la position xeq de la masse m à l'équilibre.
5) Cet équilibre est-il stable ? Justifier précisément.
6) On change l'origine du repère : on prend désormais l'origine à la position d'équilibre.
Exprimer AM et BM dans ce contexte.
7) En projetant le PFD sur l'axe Ox, et en simplifiant les expressions au vu de la question 4,
retrouver l'équation différentielle très simple vérifiée par x. Le second membre doit être
nul.
8) Quelle est la nature du mouvement ? Quantifier le temps caractéristique de ce mouvement.
9) Résoudre l'équation différentielle pour déterminer l'équation horaire du mouvement, en
supposant que l'on écarte m d'une distance H de sa position d'équilibre vers le bas, sans
vitesse initiale.
10) Montrer que l'énergie potentielle totale du système à la position x est :
Ep(x) = ½ (kA + kB) x² - mgx
11) Dans ces conditions, déterminer l'expression de la vitesse Vo de la masse m quand elle
passe à sa position d'équilibre. On distinguera le cas où m a été initialement tirée vers le
bas, et le cas où m a été initialement tirée vers le haut.