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Niveau maths spé
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Des cordes

Posté par
masterrr 02-11-09 à 00:46

Bonsoir,

J'aurais besoin de votre aide pour résoudre le problème donc l'énoncé est le suivant. Mes réponses sont à la suite. Merci d'avance !

_______________________________________________________________________________________________________

On va aborder différentes questions sur les cordes. Milieux à la fois solides, élastiques et partiellement déformables, on en verra successivement des aspects statiques, dynamiques, vibratoires et... musicaux (harmoniques ?).

Une corde est un milieu unidimensionnel de section uniforme 5$ S, S^{\text{1/2}} étant faible devant la dimension longitudinale de masse linéique 5$ \mu. En un point 5$ M de la corde règne une tension 5$ T(M). On paramètrera la corde par son abscisse curviligne 5$ s ou, lorsqu'elle est assez tendue, par une variable d'espace 5$ x linéaire. Ses points se succèdent sans toujours rester alignés.

I. Corde détendue : chaînette.

La corde est de longueur 5$ L et pend de manière flasque, c'est-à-dire sous son propre poids entre deux points de même cote. Par souci de simplicité, on prendra cette cote nulle 5$ (z=0) et les deux extrémités de la corde sur l'axe 5$ (Ox) en 5$ O et en 5$ A d'abscisse 5$ a tel que 5$ 0<a<L. La corde est au repos dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen pour l'étude de ce problème.

1. Indiquer par un raisonnement simple pourquoi la corde est contenue dans le plain 5$ (Oxz).

2. On considère 5$ \vec{T}(M)=\vec{T}(x) la tension de la corde en un point 5$ M. Soit 5$ \vec{\tau} le vecteur tangent à la corde dans le sens des 5$ x croissants. On a alors : 5$ \vec{T}(x)=T(x)\vec{\tau}=T_x(x)\vec{e_x}+T_z(x)\vec{e_z} où 5$ \vec{e_x} et 5$ \vec{e_z} sont les vecteurs unitaires respectifs des axes 5$ (Ox) et 5$ (Oz).

En exprimant l'équilibre d'un élément de longueur 5$ ds de la corde, montrer que 5$ T_x(M) est indépendant du point de la corde considéré puis déterminer la variation de 5$ T_z en fonction de 5$ s.

3. a) Déterminer 5$ f=\frac{dz}{dx} en fonction des composantes cartésiennes de la tension 5$ T_x et 5$ T_z. En déduire l'expression de 5$ \frac{df}{dx} en fonction de 5$ \mu, g, T_x et 5$ f.
b) Intégrer cette relation.
c) Montrer que 5$ z=\frac{T_x}{\mu g}\left( \text{ch}\left( A+\frac{\mu gx}{T_x} \right)-\text{ch}(A) \right) où 5$ A est une constante. Déterminer 5$ A.

4. Pour obtenir la valeur de 5$ T_x, on va devoir utiliser la longueur totale de la corde. Déterminer l'expression de 5$ ds en fonction de 5$ dx et des caractéristiques de la corde. En déduire 5$ L : on obtient une équation donnant implicitement 5$ T_x.

5. A.N. : Déterminer numériquement 5$ T_x dans le cas d'un filin en acier de section 1 cm2 sachant que l'acier a une densité de 7,87, que le filin est long de 10 m et accroché entre deux points distincts de 6 m. Donner sur la copie l'allure de la forme de la corde à l'échelle 1/100ème.

Le filin pourrait-il être tenu par un homme à chaque extrémité ? Quelle est la cote du point le plus bas de ce filin ?
_______________________________________________________________________________________________________

1. Les forces en jeu n'ont pas de composante selon l'axe 5$ (Oy) donc la corde est dans le plan 5$ (Oxz).

2. On étudie un élément de longueur 5$ ds de la corde dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Sur ce système s'exercent son poids 5$ \vec{P}=\mu ds\vec{g}, la tension de la corde au point 5$ O, \vec{T}(O) et la tension de la corde au point 5$ M, \vec{T}(M).

Le principe fondamental de la dynamique, à l'équilibre, fournit : 5$ \mu ds\vec{g}+\vec{T}(O)+\vec{T}(M)=\vec{0}.

La projection de cette relation sur l'axe 5$ (Ox) fournit : 5$ T_x(M)-T_x(O)=0 donc 5$ T_x(M) est indépendant du point de la corde considéré.

La projection de cette relation sur l'axe 5$ (Oz) fournit : 5$ \mu dsg-T_z(M)+T_z(O)=0 mais je ne vois pas comment poursuivre...

D'avance merci,

masterrr

Posté par
donaldosre : Des cordes 02-11-09 à 01:38

Pourquoi faire intervenir la tension au point O alors que l'on s'intéresse à la tension au point M?

A l'une des extrémités de l'élément de corde {\rm d}s , on a la tension \vec{T}+{\rm d}\vec{T} et à l'autre, -\vec{T}.

On a donc la relation:

{\rm d}\vec{T}+\mu{\rm d}s \vec{g}=0

qui donne

{\rm d}T_x=0

et

{\rm d}T_z=\mu g{\rm d}s

A suivre...

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 10:48

Bonjour donaldos,

Merci pour la réponse, je ne sais pas pourquoi je suis parti sur la tension au point 5$ O...

On obtient donc, sur 5$ (Ox), dT_x=0 d'où 5$ T_x=\text{constante} donc 5$ T_x est indépendant du point de la corde considéré.

Et sur 5$ (Oz), dT_z=\mu gds. Quelle est la réponse attendue à cette question ? Dois-je donner cette relation ou l'intégrer ?

2. a) La tension étant tangente à la corde, il vient : 5$ \frac{T_z}{T_x}=\frac{dz}{dx}=f. Or, d'après la question précédente, 5$ dT_z=\mu gds et on a également 5$ (ds)^2=(dx)^2+(dz)^2 d'où 5$ \frac{df}{dx}=\frac{1}{T_x}\frac{dT_x}{dx}=\frac{\mu g}{T_x}\sqrt{1+f^2}.

b) On obtient donc 5$ \frac{df}{sqrt{1+f^2}}=\frac{\mu g}{T_x}dx ce qui fournit, après intégration, 5$ \ln\left( f+\sqrt{1+f^2} \right)=\frac{\mu g}{T_x}x+C où 5$ C est une constante.

c) En passant à l'exponentielle, il vient : 5$ f+\sqrt{1+f^2}=\exp\left( \frac{\mu g}{T_x}x+C \right) mais je ne vois pas trop comment poursuivre pour déterminer l'expression de 5$ z...

Est-ce que mes réponses à la question 2 sont correctes et comment poursuivre ?

Merci d'avance

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 12:04

il n'y aurait pas un hic lorsque vous intégrez ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 12:08

Bonjour anaisss25,

Comment intégreriez-vous ça ?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 12:13

Bonjour,
en fait non elle est juste votre intégration mais on peut aussi dire que argsh(f) = (g / Tx) x +C

Car argsh(x) = ln(x+ \ sqrt{x^2 +1})

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 12:15

Oui, je suis d'accord !

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 12:22

je vais regarder pour remplacer le f par dz/dx. Je ne sais pas si ça peut aider ?!

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 12:54

J'ai vu que tu étais sur le même sujet de concours !

Je croyais que l'intégration sous forme logarithmique faciliterait les calculs mais en fait c'est plus simple d'écrire 5$ \text{Argsh}(f)=\frac{\mu g}{T_x}x+C.

D'où 5$ f=\text{sh}\left( \frac{\mu g}{T_x}x+C \right). Or 5$ f=\frac{dz}{dx}, donc 5$ z=\frac{T_x}{\mu g}\text{ch}\left( \frac{\mu g}{T_x}x+C \right)+B et il reste à déterminer 5$ C et 5$ B grâce aux conditions limites.

C'est ce que tu avais trouvé ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 13:06

Vu que 5$ z(0)=0, on a 5$ B=-\frac{T_x}{\mu g}\text{ch}(C) d'où 5$ z=\frac{T_x}{\mu g}\left( \text{ch}\left( \frac{\mu g}{T_x}x+C \right)-\text{ch}(C) \right).

On obtient donc l'expression proposée dans l'énoncé mais j'ai du mal à déterminer la constante 5$ C. Je me doute qu'il va falloir utiliser l'autre condition limite : 5$ z(a)=0 mais je suis perdu avec les 5$ \text{ch}(C)...

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 13:34

En écrivant 5$ z(a)=0, il vient 5$ \frac{T_x}{\mu g}\left( \text{ch}\left( \frac{\mu g}{T_x}a+C \right)-\text{ch}(C) \right)=0.

D'où 5$ \text{ch}\left( \frac{\mu g}{T_x}a+C \right)=\text{ch}(C) et en en développant le cosinus hyperbolique, il vient : 5$ \text{th}(C)=\frac{1-\text{ch}\left( \frac{\mu g}{T_x}a \right)}{\text{sh}\left( \frac{\mu g}{T_x}a \right)}.

Est-ce la réponse attendue où dois-je encore travailler l'expression ? (comment ?)

Posté par
donaldosre : Des cordes 02-11-09 à 14:01

Quel est ton objectif?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 14:07

Dsl (je devait aller manger ^^) et oui je suis sur le même sujet que vous ^^
sinon j'suis d'accord avec ce que vous avez écrit pour vos 2 avant derniers topics mais j'trouve que le dernier commence a se corser ^^ (je ne dis pas que c'est faux !)
On peut utiliser argth pour isoler C ??

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 14:30

Donaldos --> Je suis toujours à la question 3. J'essaye de terminer la constante C comme demandé au c).

anaisss25 --> Si, on peut exprimer C en fonction de Argth mais je me demande s'il n'y a pas de simplification possible... Où en es-tu sur l'exercice ? Au même endroit ? (au fait, tu es en prépa ? où ça ?)

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 14:36

4. Comment procéder ? On a 5$ ds=\sqrt{(dx)^2+(dz)^2}. Or 5$ dz=\frac{dz}{dx}dx et on peut calculer 5$ \frac{dz}{dx} puisqu'on a l'expression de 5$ z.

J'arrive donc à 5$ ds=\sqrt{1+\text{sh}\left( \frac{\mu g}{T_x}x+C \right)}dx. Comment déterminer l'équation implicite donnant 5$ T_x. Est-ce que 5$ L=\Bigint_{0}^L \sqrt{1+\text{sh}\left( \frac{\mu g}{T_x}x+C \right)}dx ?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 14:50

oui j'en suis au même endroit que toi. Enfin j'ai pas encore regarder la question 4. Je la fais et je te dis ce que j'en pense.
Sinon j'suis en PC sur Valence et toi ?

Posté par
donaldosre : Des cordes 02-11-09 à 14:52

C'est \sinh^2 sous la racine.

Utilise la relation \cosh^2-\sinh^2=1.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 14:52

et oui il y a probablement une simplification à faire mais j'ai trop du mal avec les th et argth. Donc je vais probablement laisser comme ça et mettre C= argth ...

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 14:56

anaisss25 --> Je suis en PC à Lyon. Tu n'as qu'une partie du sujet de concours à faire ? Moi j'ai l'intégralité... En fait, je ne suis pas si convaincue que ça qu'il y ait une simplification possible. J'ai donné le calcul à faire à Maple et il m'a sorti le résultat avec un Argth.

donaldos --> Oui, c'est un sh² sous la racine, erreur de typo en LaTeX... Est-ce que l'intégrale que j'ai écrite est juste ? (l'intégrale de ds entre 0 et L est bien égale à L ?)

Posté par
donaldosre : Des cordes 02-11-09 à 15:05

Non, x ne varie pas entre 0 et L mais entre 0 et OA.

Tu peux aussi remarquer que la courbe décrite admet la droite d'équation x=OA/2 comme axe de symétrie et que la tangente à la courbe est donc horizontale en x=OA/2, ce qui peut également fournir une relation.

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 15:06

Pour la question 3.c) la condition au limite 5$ z(a)=0 se traduit par 5$ \text{ch}\left( \frac{\mu ga}{T_x}+C \right)=\text{ch}(A) d'où 5$ C=-\frac{\mu ga}{2T_x}. C'était plus simple que ce que j'avais fait en fait...

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 15:21

a bien oui c'est plus simple comme ça ! ^^ Sinon moi aussi j'ai tout le sujet (enfin jusqu'à la fin de la partie 3)

sinon pour l'intégrale on ne peut pas remplacer 1 + sh²((g / Tx) x +C) par ch²(g / Tx) x +C)
pour que se soit plus simple à calculer ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 15:27

Moi j'ai le IV aussi.

M'enfin, terminons déjà le I !

D'après les questions précédentes, on a 5$ \frac{ds}{dx}=\frac{T_x}{\mu g}\frac{df}{dx} et on connaît l'expression de 5$ f donc finalement 5$ ds=\text{ch}\left( \frac{\mu g}{T_x}\left( x-\frac{a}{2} \right) \right)dx.

Il ne reste plus qu'à calculer 5$ \Bigint_{0}^a ds=L pour obtenir l'équation implicite de 5$ T_x.

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 15:32

Dis-moi ce que tu trouves, moi j'aboutis à 5$ \frac{2T_x}{\mu g}\text{sh}\left( \frac{\mu ga}{2T_x} \right)=L.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 15:41

DSl le latex c'est pas simple au debut ^^
moi je trouve :
\frac{Tx}{\mu g}sh(\frac{\mu g}{Tx}({x-\frac{a}{2}}))

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 15:42

désolé j'ai oublié qu'il y avait des bornes

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 15:43

Primitive prise entre 0 et a, ce qui devrait fournir le résultat que j'ai écris si je n'ai pas fait d'erreur de calcul.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 15:44

c'est bon je trouve comme toi !

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 15:47

comment on peut faire pour isoler le Tx sans qu'il soit dans un sh ni un argsh ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 15:51

Par contre, pour la question 5., ma résolution numérique me fournit une valeur de 5$ T_x négative...

Selon moi : L = 10 m, a = 6 m, s=10-4 et = dsair=9,44.10-4 kg/m.

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 15:52

On ne peut pas l'isoler. Comme le précise l'énoncé, il s'agit d'une équation IMPLICITE...

On peut donc déterminer sa valeur par une résolution NUMÉRIQUE (ta calculatrice doit pouvoir le faire, moi j'utilise la fonction fsolve de Maple).

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 15:57

Pour la valeur négative, ce n'est pas un soucis en fait puisque la fonction est paire.

Par contre, je me demande si la densité est par rapport à l'eau ou à l'air...

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 15:59

J'ai ma réponse : pour les liquides et les solides c'est par rapport à l'eau et pour les gaz par rapport à l'air. C'est logique comme convention en fait...

Du coup, = 0,787 kg/m et Tx = 12,6 N.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 16:00

ah okay c'est pour cela qu'ils disent implicite.
à l'air je pense.

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 16:03

Non à l'eau puisqu'il s'agit de l'acier (solide) d'après la remarque que j'ai fait plus haut...

Tu t'en es sortie pour la résolution numérique ? Je ne sais pas quel outil tu utilises de ton côté.

Posté par
lamerandre : Des cordes 02-11-09 à 16:05

je n'ai certainement pas le droit mais je tente
masterr comment peut on te contacter en priver je ne vois pas comment t'envoyer un mail

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 16:08

je cherche la masse volumique de l'eau ^^ mais c'est 1kg/m^3 (en fait c'est pas ça!) ?!
sinon c'est plutot dans l'air  Non ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 16:09

La fonction cosinus hyperbolique possède pour minimum 1 donc la cote du point le plus bas de ce filin vaut : 5$ z=\frac{T_x}{\mu g}(1-\text{ch}(C)) où 5$ C=-\frac{\mu ga}{2T_x} d'où z = -3,6 m.

Posté par
lamerandre : Des cordes 02-11-09 à 16:11

masterr dans un autre topic de l'ile tu as écrit avoir traiter un sujet de ccp sur la jonction il y a peu de temps en posséde tu un corriger écrit car je cherche depuis pas mal de temps et je n'avance pas merci

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 16:12

Non : la densité est par rapport à l'eau pour les liquides et les solides et par rapport à l'air pour les gaz. Voir le site : .

Ensuite, pour la masse volumique de l'air, il y a un moyen simple pour ne pas faire d'erreur : tu dois savoir qu'un litre d'eau a une masse de 1 kg. La masse volumique de l'eau est donc de 1 kg/L et après il ne faut pas faire d'erreur en convertissant en mètre cube : ce qui donne 1000 kg/m3.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 16:13

c'est bon j'ai réglé mon problème, désolé. Je trouve comme toi !

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 16:14

lamerand --> oui j'ai le corrigé manuscrit de ma prof. Laisse ton e-mail sur ton profil et je te l'envoie.

Posté par
lamerandre : Des cordes 02-11-09 à 16:15

c'est fait

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 16:22

sinon un homme ne pourrait pas tenir le filin car la tension est trop grande !?

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 16:28

12 N ? Pour moi ça ne fait pas beaucoup, mais je peux me tromper...

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 16:32

non tu as raison ça ne fait pas beaucoup ! ça fait bien 12kg.m.s-2 donc c'est bon.

Sinon pour la partie 2)
1 qst) j'ai dis qu'on pouvait négliger le poids parce que la corde était tendue.

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 16:33

Quand on soulève une bouteille d'un litre d'eau, on exerce à peu près 10 N.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 16:33

oui il me semble.

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 16:35

Attends, je poste la partie II au cas où on aurait besoin d'aide extérieure ^^

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 16:38

okay, très bonne idée moi j'commence =)

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