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Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 16:48

II. Corde tendue : équation d'onde, cordes stationnaires et cordes agitées.

Dans cette partie, la corde est tendue entre les deux points d'accrochage précédents : elle est quasiment rectiligne entre ces deux points à l'équilibre. Dans toute cette partie, on considère que la corde reste proche de sa position d'équilibre et faiblement inclinée par rapport à la position d'équilibre (sur l'axe 5$ (Ox)). La pesanteur sera négligée. Une partie de corde située à l'équilibre en 5$ (x,0,0) se situera en 5$ (x,0,z) hors équilibre : on ne considère que les mouvements latéraux dans le plan 5$ (Oxz). Les notations utilisées pour la tension dans la première partie sont toujours valables.

1. Expliquer qualitativement devant quelle grandeur on néglige le poids et pourquoi on peut le faire.

2. Dans l'approximation des petits mouvements que l'on fait, lier 5$ dx et 5$ ds. Quelle est la relation entre 5$ T_x et 5$ T, la norme de la tension ?

3. a) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à une longueur 5$ ds de la corde. En déduire que 5$ T_x est constant : que peut-on en conclure pour 5$ T, la norme de la tension dans la corde ?
b) Montrer que l'équation en 5$ z est une équation du type : 5$ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}. Donner l'expression de 5$ c en fonction des paramètres du problème et en faire une analyse dimensionnelle. Que constate-t-on ?

4. Montrer que les solutions de l'équation différentielle précédente sont de la forme : 5$ z(x,t)=f(ct-x)+g(ct+x). Interpréter le sens physique des fonctions 5$ f et 5$ g et donner le sens physique de 5$ c.

5. On va envisager l'aspect énergétique du problème.
a) En multipliant les termes de l'équation d'onde par la vitesse transversale, on peut faire apparaître la variation temporelle d'énergie cinétique linéique. Calculer 5$ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial x} \right) et faire apparaître deux termes dans le membre de droite de l'équation précédente. L'un est une variation temporelle et l'autre est une variation dans l'espace. Regrouper les dérivées temporelles à gauche, la dérivée spatiale restant à droite. Interpréter le résultat comme un bilan d'énergie : identifier l'énergie cinétique linéique, l'énergie potentielle linéique et le terme de flux d'énergie. En déduire 5$ \vec{\Pi}, le vecteur flux d'énergie en 5$ x en fonction de 5$ T et des dérivées de 5$ z par rapport à 5$ x et à 5$ t.
b) En considérant le travail de la force de tension qui s'exerce en 5$ x sur la corde, retrouver le terme de flux 5$ \Pi_x(x).

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 16:52

pour la qst 1: je disais qu'on négligeait le poids devant la tension car la corde est tendue

2) j'aurais bien utiliser l'angle   et dire cos= dx/ds ?
Tu en penses quoi ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:03

1. Supposer la corde tendue, c'est négliger la flèche (écart entre le bas de la corde et l'horizontal en gros) donc la tension est très supérieure au poids. On peut donc négliger le poids devant la tension.

2. Dans mon cours j'ai 5$ ds=\sqrt{(dx)^2+(y(x+dx,t)-y(x,t))^2}=\sqrt{(dx)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2(dx)^2}=dx\sqrt{1+\tan^2 \alpha} \equiv dx\sqrt{1+\alpha^2} \equi dx (petits déplacements donc 5$ \alpha << 1 rad et développement au second ordre par rapport à 5$ x).

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:05

Je voulais mettre des signes équivalents pour les deux dernières égalités...

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 17:06

je suis d'accord pour la 1er qst
pour la 2éme aussi, (j'ai rien qui ressemble à ça dans mon cours ^^) sinon il faudrait pas remplacer les y par des z pour que ça corresponde à notre énoncé ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:08

Après il faut dire quoi ? 5$ T_x=T\cos\alpha ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:09

Ah si pardon, j'y pensais mais en ayant le cours sous mes yeux j'ai eu du mal à recopier mon cours et à faire le changement en même temps... ^^

Mais d'un côté ce que tu disais est juste aussi. Le cosinus de l'angle est équivalent à 1 donc on arrive bien à la même conclusion, non ?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 17:12

pour ton avant dernier topic :je dirais que oui...
et oui effectivement j'arrivais à la même chose, merci de me le faire remarque ^^ (je me dis que je ne raconte pas que des bétises ^^)

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:21

3. a) Je passe le blabla sur le système étudie, le référentiel d'étude et les forces s'exerçant sur le système parce que c'est identique à ce qui a été fait à la partie I.

Le principe fondamental de la dynamique fournit 5$ \mu ds\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}\vec{e_z}=\frac{\partial \vec{T}}{\partial x}dx.

Or d'après la question 2. 5$ ds \approx dx donc 5$ \mu\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}\vec{e_z}=\frac{\partial \vec{T}}{\partial x}.

La projection sur 5$ (Ox) fournit 5$ \frac{\partial T_x}{\partial x}=0 donc 5$ T_x est constant.

Et d'après la question 2. 5$ T est donc constante elle aussi ?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 17:25

j'suis tout a fait d'accord avec toi !
je ne suis pas sûre que dans la question 2 se soit bien explicite ! La il est claire que T est constant

Tu fais comment pour faire des deron T en Latex ?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 17:27

DSl (je ne lis pas correctement!) (la fatigue) oui T est aussi constant d'apres ce qu'on a dis précédemment !

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:29

b) La projection sur 5$ (Oz) fournit 5$ \mu \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}=\frac{\partial T_z}{\partial x}=\frac{\partial(T\sin\alpha}{\partial x}=T\frac{\partial \sin\alpha}{\partial x} car 5$ T est constante.

Or, comme 5$ \alpha est petit, 5$ \sin\alpha \approx \tan\alpha=\frac{\partial z}{\partial x} d'où 5$ \mu\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} soit 5$ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} avec 5$ c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:31

Le d rond en LaTeX s'obtient grâce à la commande \partial.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 17:32

Merci !
Et je trouve comme toi.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 17:36

c est homogéne a une vitesse.
\frac{m.s^-2}{m m^-2}

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:38

Il faut dire que ça ressemble fortement à ce qui est dans le cours... ^^

Du coup 5$ c est homogène à une vitesse. C'est ça le constat demandé ?

4. Il est écrit montrer que les solutions sont de la forme et non pas montrer que si on écrit 5$ z ainsi alors 5$ z est solution... Ce qui m'embête parce que dans le programme il est seulement indiqué que ce type de fonction est solution mais la démonstration dans l'autre sens n'est pas au programme... On l'a faite en cours mais bon ça me perturbe.

Que faut-il répondre ? Démontrer que les solutions sont de cette forme (ce qui est hors programme) ou simplement vérifier que sous cette forme ça vérifie l'équation (ce qui est au programme) ?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 17:41

oui ça ressemble beaucoup au cours ^^
oui pour moi c'est ça le constat qui est demandé.
Ben je pense qu'il faut montrer qu'elles verifient l'équation, si c'est vrai c'est qu'elles sont écrit sous la bonne forme .

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:42

5$ f (resp. 5$ g) est une onde place progressive qui se propage dans le sens des 5$ x croissants (reps. décroissants) à la vitesse 5$ c.

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:43

Oui mais si tu regardes bien l'énoncé, il est demandé de montrer que les solutions sont sous cette forme. Ce qui n'est pas la même chose que de vérifier que sous cette forme c'est effectivement solution...

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:45

Si on que sous cette forme c'est solution, alors on aura trouvé DES solutions de l'équation mais pas LES solutions de l'équation ; ce qui à l'air d'être demandé d'après la tournure de la question...

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:45

*Si on montre*

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 17:46

je suis d'accord avec ton avant dernier topic.
Sinon tu as raison il faut montrer qu'elles sont sous cette forme mais je n'ai jamais vu comment on fait pour le demontrer...

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 17:51

Je poste la démonstration, ça peut toujours servir... Au moins à comprendre, même si ce n'est pas une démonstration exigible. Et puis ça pourra servir à répondre à cette question surtout !

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 17:53

okay merci !

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 18:21

On fait le changement de variable 5$ (x,t) \mapsto (\alpha=x-ct,\beta=x+ct).

On a alors 5$ \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial \alpha}\frac{\partial \alpha}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial \beta}\frac{\partial \beta}{\partial t}=c\left( -\frac{\partial f}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial \beta} \right).

Donc 5$ \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial \alpha}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)\frac{\partial \alpha}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial \beta}\left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)\frac{\partial \beta}{\partial t}=c\left( -c\left( \frac{\partial^2 f}{\partial \alpha^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial \alpha \partial \beta} \right)+c\left( -\frac{\partial^2 f}{\partial \alpha \partial \beta}+\frac{\partial^2 f}{\partial \beta^2} \right) \right)=c^2\left( \frac{\partial^2 f}{\partial \alpha^2}-2\frac{\partial^2 f}{\partial \alpha \partial \beta}+\frac{\partial^2 f}{\partial \beta^2} \right).

L'équation de d'Alembert devient donc : 5$ \frac{\partial^2 f}{\partial \alpha^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial \beta^2}-\frac{1}{c^2}\left( c^2\left( \frac{\partial^2 f}{\partial \alpha^2}-2\frac{\partial^2 f}{\partial \alpha \partial \beta}+\frac{\partial^2 f}{\partial \beta^2} \right) \right)=0.

Donc 5$ \frac{\partial^2 f}{\partial \alpha \partial \beta}=0, c'est-à-dire \left( \frac{\partial }{\partial \alpha}\left( \frac{\partial f}{\partial \beta} \right)_\alpha \right)_\beta=0.

D'où 5$ \left( \frac{\partial f}{\partial \beta} \right)_\alpha=h(\beta)=\frac{df_-(\beta)}{d\beta}.
Donc 5$ f(\alpha,\beta)=f_-(\beta)+f_+(\alpha)[/tex et [tex]5$ f(x,t)=f_+(x-ct)+f_-(x+ct).

Posté par
anaisss25re : Des cordes 02-11-09 à 18:35

Merci beaucoup !
Par contre je bloque sur la qst 5
je ne vois pas comment on peut calculer : \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial x})

Posté par
masterrrre : Des cordes 02-11-09 à 18:36

Idem... Je bloque sur l'aspect énergétique. Si quelqu'un sait comment procéder ?

Posté par
donaldosre : Des cordes 02-11-09 à 21:51

Pour cette question, il suffit de suivre les conseils:

Calculer la dérivée demandée d'un part et multiplier l'équation d'onde par \frac{\partial z}{\partial x} d'autre part.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 03-11-09 à 17:52

Bonsoir,
je ne vois toujours pas comment on peut calculer la dérivée qui est demandée ...

Pour masterrr : Je n'arrive pas à retrouver la constante C de la partie 1. Quand j'ai recopié mon DM, les 2 C s'annule ??
Sinon pour les parties énergétiques, je n'ai jamais fait ça dans mon cours. Donc je vais regarder dans un bouquin.

Posté par
masterrrre : Des cordes 03-11-09 à 20:13

Bonsoir anaisss25,

La fonction cosinus hyperbolique est paire donc 5$ \text{ch}(x)=\text{ch}(y) \Leftrightarrow x=\pm y.

Ici, un cas est à éliminer car quand les constantes s'annulent on obtient un terme qui doit être nul alors que d'après les données il est non nul et l'autre cas fournit la solution que j'ai indiquée plus haut.

Sinon je bloque toujours sur l'étude énergétique... J'en ai une dans mon cours sur les ondes sonores mais ici on doit tout redémontrer apparemment ; on ne peut pas sortir du chapeau les énergies linéiques cinétique et potentielle...

Posté par
anaisss25re : Des cordes 03-11-09 à 20:22

Merci beaucoup ! J'ai reussi le début de la question 7 mais je n'ai toujours pas réussi la question 5.
Si tu veux je peux essayer de t'envoyer une photo ( j'ai plus de scanner) avec ce que j'ai fait car le temps que j'écrive tout en latex, j'en ai pour qq min (voir 1h) ! ?

Posté par
donaldosre : Des cordes 03-11-09 à 20:29

Vous ne savez vraiment pas calculer :

\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial x}\right)

?

Il s'agit pourtant d'un calcul basique.

Ce calcul à lui seul vous éclairera probablement en comparant le résultat à l'équation d'onde.

Posté par
anaisss25re : Des cordes 03-11-09 à 20:32

Non je ne vois vraiment pas comment le calculer ...

Posté par
anaisss25re : Des cordes 03-11-09 à 20:36

à Masterrr : A priori il faut tout redémontrer ! :S

Posté par
donaldosre : Des cordes 03-11-09 à 20:44

Ce sont les dérivées partielles qui te perturbent?

Il s'agit pourtant simplement de la dérivée d'un produit de fonctions.

Posté par
masterrrre : Des cordes 03-11-09 à 20:57

Ce qui me perturbent ce n'est pas le calcul de dérivées partielles mais quelle fonction doit-on considérer ?

5$ z(x,t)=f(ct-x)+g(ct+x) ?!

Si on doit partir de cette fonction, je ne vois pas comment on va montrer que l'énergie cinétique linéique est 5$ \frac{1}{2}\mu \left( \frac{\partial z}{\partial t} \right)  et que l'énergie potentielle linéique est 5$ \frac{1}{2}T \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)...

Posté par
masterrrre : Des cordes 03-11-09 à 20:57

J'ai oublié les carrés...

Posté par
anaisss25re : Des cordes 03-11-09 à 21:05

ça veut dire que
\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial t} \frac{\partial z}{\partial x}) =
\frac{\partial ^2 z}{\partial ^2 x \partial t} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial ^2 z}{\partial ^2 x} \frac{\partial z}{\partial t}
?

Posté par
donaldosre : Des cordes 03-11-09 à 21:12

Oui, maintenant multiplie l'équation d'onde par \frac{\partial z}{\partial t} et compare.

Posté par
masterrrre : Des cordes 03-11-09 à 21:19

anaisss25, tu veux parler de la question 6 ou de la question 7 ?

Commençons par la 6 !

Voici l'énoncé :
__________________________________________________________________________________________________________

6. On va chercher les formes des réponses correspondant à un régime purement sinusoïdal. On utilise les notations complexes : 5$ \underline{z}(x,t)=\underline{A}\exp{\left( j\omega \left( t-\frac{x}{c} \right) \right)}+\underline{B}\exp{\left( j\omega \left( t+\frac{x}{c} \right) \right)} où 5$ \omega est la pulsation du signal, 5$ \underline{A} et 5$ \underline{B} des amplitudes complexes et 5$ j est l'imaginaire pur tel que 5$ j^2=-1.

a) Donner les conditions aux limites de la corde.
b) En déduire la relation entre 5$ \underline{A} et 5$ \underline{B} ainsi que les valeurs de 5$ \omega permises. Pour ces dernières, on introduira un entier naturel 5$ n et on indicera les pulsations et les fréquences : 5$ \omega_n et 5$ f_n. Peut-on obtenir plus de précision sur les valeurs de 5$ \underline{A} et de 5$ \underline{B} ? Donner une expression simple de 5$ z(t) ne faisant plus intervenir que des réels. Comment se nomme ce type d'onde et pourquoi ?
c) Comment appelle-t-on la plus petite valeur permise pour la fréquence 5$ f_1=\frac{\omega_1}{2\pi} ? Comme nomme-t-on les suivantes ? On considèrera qu'un signal réel se "déplaçant" sur la corde est composé d'une somme des solutions précédentes.
d) Décrire la solution correspondant à 5$ n=3.
_______________________________________________________________________________________________________

Voilà mes réponses :

6. a) On a 5$ \forall t, \underline{z}(0,t)=\underline{z}(L,t)=0.
b) On en déduit 5$ \underline{A}=-\underline{B} et 5$ \exists n \in \mathbb{N} / \omega\frac{L}{c}=n\pi. Par contre, je ne vois pas comment obtenir plus de précision sur 5$ \underline{A} et sur 5$ \underline{B} ? ...
c) Il s'agit de la fréquence fondamentale et des harmoniques.

Posté par
masterrrre : Des cordes 03-11-09 à 21:31

Pour le bilan énergétique :

5$ \frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial x} \right)=\frac{\partial^2 z}{\partial t\partial x}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} d'une part.

Et d'autre part en multipliant l'équation d'onde par 5$ \frac{\partial z}{\partial t}, il vient : 5$ \frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}.

Comment poursuivre ?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 03-11-09 à 21:31

à Masterrr,
je parlais bien de la question 7.
Mais on peut avant parler de la question 6 :
J'ai les mêmes réponses que toi, j'ai dis que l'on ne pouvait pas avoir plus de précision sur A et B !
et z=Cn  sin(\frac{ n \pi x}{L}) cos (\frac{n\pi c}{L} t + \phi)
avec Cn = 2 valeur absolu de A  et \phi = -arg (An j)
après plusieur simplification
Tu l'as aussi trouvé ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 03-11-09 à 21:40

Euh... moi j'arrive à 5$ \underline{z}(x,t)=-2j\underline{A}\sin\left( \frac{n\pi}{L}x \right)\cos\left( \frac{n\pi c}{L}t \right)+2\underline{A}\sin\left( \frac{n\pi}{L}x \right)\sin\left( \frac{n\pi c}{L}t \right) mais ensuite comment fais-tu ?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 03-11-09 à 21:46

tu es bien à la question 6 ?
si oui tu as juste à prendre la partie réel et c'est fini.
Tu ne crois pas ?

Posté par
masterrrre : Des cordes 03-11-09 à 21:59

Euh... Je ne sais pas s'il faut juste prendre la partie réelle mais si c'est le cas, n'aurais-tu pas oublié que 5$ \underline{A} est complexe donc s'était 5$ \underline{A}=a+jb du coup moi j'otiens :
\\ 5$ z(x,t)=2\text{Re}(\underline{A})\sin\left( \frac{n\pi}{L}x \right)\sin\left( \frac{n\pi c}{L}t \right)+2\text{Im}(\underline{A})\sin\left( \frac{n\pi}{L}x \right)\cos\left( \frac{n\pi c}{L}t \right)...

Posté par
donaldosre : Des cordes 03-11-09 à 22:00

Pour l'énergie, calculer aussi:

\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial z }{\partial t}\right)^2

d'une part et

\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial z }{\partial x}\right)^2

d'autre part.

Posté par
masterrrre : Des cordes 03-11-09 à 22:09

5$ \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial t} \right)^2=2\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}\frac{\partial z}{\partial t}

et

5$ \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2=2\frac{\partial^2 z}{\partial t \partial x}\frac{\partial z}{\partial x}.

Posté par
donaldosre : Des cordes 03-11-09 à 22:26

Est-ce qu'il n'y a pas moyen d'assembler tout ça maintenant?

Posté par
masterrrre : Des cordes 03-11-09 à 22:33

Alors, d'une part : 5$ \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial x}\right)=2\frac{\partial^2 z}{\partial^2 t}\frac{\partial z}{\partial t}+2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\frac{\partial z}{\partial t}.

Et d'autre part, avec l'équation d'onde : 5$ \frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\frac{\partial z}{\partial t}.

Jusque là, c'est correct ? Et après, on doit comparer ces deux équations ?

Posté par
anaisss25re : Des cordes 03-11-09 à 22:40

on peut remplacer le 1er terme de l'équation d'onde ?!

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