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Cycle thermo, travail, sources, rendement

Posté par
ferality
17-10-20 à 19:58

Bonjour,

J'ai un exercice de thermodynamique sur un cycle et j'ai du mal à avancer (exercice niveau L2)

On doit traiter un cycle effectué de manière quasi-statique sur un gaz monoatomique  
qui est ainsi :

A -> B : compression isobare de V_1  vers V_2, avec V_2 < V_1
B -> C : transformation isochore, volume V_2 constant, de la pression P_1 vers P_2, avec P_1 < P_2
C -> A : détente adiabatique, de (P_2, V_2) vers (P_1,V_1)

Les questions sont les suivantes :
Attention, on ne peut pas utiliser l'entropie ! pas vu dans le cours cours encore

1. Pour chaque transformation du cycle, exprimer le travail et la chaleur.
On exprimera les résultats en fonction de \gamma=C_p/C_v, P_1, V_1[\tex] et [tex]a=V1/V2.
J'ai réussi cette question, mais j'utilise aussi P_2 et V_2 dans mes expressions, et je n'utilise pas "a"... je ne vois pas trop comment utiliser "a" (et je pense que le fait que P_2 et V_2 ne soient pas cités pour les expressions est une erreur !?)

2. En déduire les transformations pour lesquelles le système est en contact avec la source chaude et avec la source froide.
pas d'idée pour celle là... à part d'une manière utiliser P_1/V_1=P_2/V_2 pour la transformation isochore ?

3. Calculer la température T_c de la source chaude et celle T_f de la source froide.

4. Calculer le rendement du cycle \eta=W/Q_cW est le travail fourni par le système à l'extérieur au cours du cycle, et Q_c la chaleur reçue de la source chaude. Application numérique avec a= 5.

5. Vérifier que  \eta <= 1 - T_f/T_c

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
vanoise
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 17-10-20 à 20:36

Bonsoir
As-tu tracé le cycle en diagramme de Clapyron ? Cela aide beaucoup !

Posté par
vanoise
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 17-10-20 à 20:41

La loi de Laplace concernant les gaz parfaits : tu connais ? Cela devrait régler ton problème.

Posté par
ferality
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 17-10-20 à 21:02

vanoise @ 17-10-2020 à 20:36

Bonsoir
As-tu tracé le cycle en diagramme de Clapyron ? Cela aide beaucoup !

Bonsoir,
Le diagramme de Clapeyron est donné dans le problème, je ne l'ai juste pas représenté ici.

vanoise @ 17-10-2020 à 20:41

La loi de Laplace concernant les gaz parfaits : tu connais ? Cela devrait régler ton problème.


Oui je connais la loi de Laplace et je l'ai utilisée pour calculer le travail de la transformation adiabatique. Il faut l'utiliser pour les questions 2 et 3 aussi concernant les sources chaudes et froides ? Peut-être la forme TV^{\gamma -1}=cste ? Je ne vois pas trop... surtout qu'après les applications numériques sont demandes, et si on a des gamma dans l'expression des température ça va être difficile !

Posté par
ferality
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 17-10-20 à 21:06

En fait je n'ai aucune idée de quoi ils parlent avec ces histoires de sources chaudes... c'est très peu mentionné dans le cours et je trouve pas d'informations dessus sur internet à part pour un cycle de Carnot, mais ce n'est pas le sujet ici

Posté par
vanoise
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 17-10-20 à 21:35

La loi de Laplace appliquée à la transformation C - A permet d'obtenir P2  en fonction de P1 et des données.
Le fluide reçoit de la chaleur  (Q>0) à  la source chaude  et cède de la chaleur (Q<0) à la source froide.
Les températures des sources sont les températures en fin d'échange de chaleur avec ces sources.  

Posté par
ferality
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 18-10-20 à 11:40

Bonjour,
D'accord intéressant, je pense que cela m'aidera à déterminer le contact avec les sources chaudes et froide donc. Si j'ai bien compris, il me suffit de regarder la valeur de Q dans chaque transformation ! Merci.

Par contre, par exemple pour la première transformation A-B (isobare), je trouve ça : \Delta U = \dfrac{nP_1}{\gamma -1}(V_2-V_1)
et Q_{AB} = P_1(V_2-V_1)(\frac{n}{\gamma-1}+1). Est-ce que je dois obligatoirement ne pas utiliser V_2 dans ces expressions et donc utiliser V_2=V_1/a ? Je ne vois pas l'intérêt car V_2 est contenu dans a...

Posté par
vanoise
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 18-10-20 à 12:24

Je comprends tes interrogations car certaines notions seront développées dans la suite du programme. Ici, tu peux imaginer un gaz évoluant dans un cylindre fermé par un piston mobile en mouvement de va et vient entre deux positions extrêmes : une position correspondant à un volume maximum noté ici V1 et une position correspondant à un volume minimum V2=V1/a. “a” est le taux de compression volumique, sa valeur influence fortement le rendement des moteurs. On te demande ici de remplacer systématiquement V2 par V1/a.

Conseil très général : après un calcul littéral un peu long, toujours vérifier l'homogénéité du résultat. Cela permet de déceler des erreurs ou étourderies. Ici, par exemple, le produit PV a la dimension d'une énergie (mesurée en joules), comme une variation d'énergie interne et comme une quantité de chaleur. Or, ton expression de la variation d'énergie interne apparaît comme le produit d'une énergie par une quantité de matière (n). Revoir donc le rôle de n ici ; sinon, je pense que tu as compris la méthode.

De même écrire : \left(\frac{n}{\gamma-1}+1\right) n'est pas correct ; on ne peut additionner que des grandeurs de mêmes dimensions physiques : ajouter à “1” une quantité de matière n'a pas de sens physique.

Posté par
ferality
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 18-10-20 à 16:16

vanoise @ 18-10-2020 à 12:24

Je comprends tes interrogations car certaines notions seront développées dans la suite du programme. Ici, tu peux imaginer un gaz évoluant dans un cylindre fermé par un piston mobile en mouvement de va et vient entre deux positions extrêmes : une position correspondant à un volume maximum noté ici V1 et une position correspondant à un volume minimum V2=V1/a. “a” est le taux de compression volumique, sa valeur influence fortement le rendement des moteurs. On te demande ici de remplacer systématiquement V2 par V1/a.

D'accord c'est plus clair merci, j'ai fait ça et du coup j'ai les bonnes expressions pour AB, uniquement en fonction de P_1, V_1, \gamma et a

vanoise @ 18-10-2020 à 12:24


Conseil très général : après un calcul littéral un peu long, toujours vérifier l'homogénéité du résultat. Cela permet de déceler des erreurs ou étourderies. Ici, par exemple, le produit PV a la dimension d'une énergie (mesurée en joules), comme une variation d'énergie interne et comme une quantité de chaleur. Or, ton expression de la variation d'énergie interne apparaît comme le produit d'une énergie par une quantité de matière (n). Revoir donc le rôle de n ici ; sinon, je pense que tu as compris la méthode.

De même écrire : \left(\frac{n}{\gamma-1}+1\right) n'est pas correct ; on ne peut additionner que des grandeurs de mêmes dimensions physiques : ajouter à “1” une quantité de matière n'a pas de sens physique.

Oui je m'étais confondu entre les capacités thermiques "pures" et celles qui sont en fonction de la masse et des moles, le prof les utilise un peu de manière interchangeable et les appelle/note pareil donc c'est pas super clair... mais là c'est bon j'ai réglé en faisant des analyses dimensionnelles.

Par contre pour la transformation B-C, je n'arrive pas à exprimer P_2 en fonction de P_1, pourtant j'essaye d'utiliser la propriété des transformations isochores \dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2}... le problème c'est que j'arrive à
P_2=\dfrac{P_1T_2}{T_1} puis j'ai T_2=\dfrac{P_2V_1}{anR} et  T_1=\dfrac{P_1V_1}{anR}, mais si je remplace dans l'expression je me retrouverai avec P_2=P_2 ce qui n'est pas très utile... :/ et je ne peux pas utiliser les lois de Laplace ici car ce n'est pas une transformation adiabatique.

Posté par
vanoise
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 18-10-20 à 17:07

Citation :
le prof les utilise un peu de manière interchangeable et les appelle/note pareil donc c'est pas super clair... mais là c'est bon j'ai réglé en faisant des analyses dimensionnelles.

Tu peux jeter un cous d'oeil à cette fiche publiée sur le forum. Tu connais sans doute déjà l'essentiel mais tu trouveras des précisions sur les notations au paragraphe 2 et des précisions sur les différentes capacités thermiques au paragraphe 5 :
Premier principe de la thermodynamique
Il y a aussi une fiche sur le deuxième principe mais sont étude est peut-être un peu prématurée. Tu peux tout de même garder sa référence sous le coude :
Deuxième principe de la thermodynamique
Ici, pour utiliser les lois classiques et en particulier la première loi de Joule, tu as tout intérêt à faire intervenir les températures. Tu peux exprimer TB et TC en fonction de TA puis, après calculs, revenir à l'expression demandée par l'énoncé en remplaçant n.R.TA par P1.V1.
Pour obtenir simplement P2=PC, il faut s'intéresser à la transformation C-A : la loi de Laplace conduit à :

P_{2}.V_{2}^{\gamma}=P_{1}.V_{1}^{\gamma}\quad;\quad P_{2}=P_{1}\cdot\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}=P_{1}\cdot a^{\gamma}

Posté par
ferality
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 18-10-20 à 18:08

vanoise @ 18-10-2020 à 17:07


Tu peux jeter un cous d'oeil à cette fiche publiée sur le forum. Tu connais sans doute déjà l'essentiel mais tu trouveras des précisions sur les notations au paragraphe 2 et des précisions sur les différentes capacités thermiques au paragraphe 5 :
Premier principe de la thermodynamique
Il y a aussi une fiche sur le deuxième principe mais sont étude est peut-être un peu prématurée. Tu peux tout de même garder sa référence sous le coude :
Deuxième principe de la thermodynamique

D'accord merci pour ces ressources !

vanoise @ 18-10-2020 à 17:07


Ici, pour utiliser les lois classiques et en particulier la première loi de Joule, tu as tout intérêt à faire intervenir les températures. Tu peux exprimer TB et TC en fonction de TA puis, après calculs, revenir à l'expression demandée par l'énoncé en remplaçant n.R.TA par P1.V1.
Pour obtenir simplement P2=PC, il faut s'intéresser à la transformation C-A : la loi de Laplace conduit à :
P_{2}.V_{2}^{\gamma}=P_{1}.V_{1}^{\gamma}\quad;\quad P_{2}=P_{1}\cdot\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}=P_{1}\cdot a^{\gamma}

Ca me paraît un petit peu "contre intuitif" (triché ? ) de devoir regarder la transformation A-C alors qu'on est en train d'analyser la transformation B-C, mais soit, d'accord.
Je  comprend du coup l'expression pour la pression P_2, en l'utilisant dans le calcul de \Delta U j'arrive à \Delta U = Q_{BC} = \dfrac{P_1V_1}{\gamma-1}(a^{\gamma-1}-a^{-1})

Posté par
vanoise
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 18-10-20 à 18:25

D'accord avec ton dernier calcul. Personnellement, je préfère laisser le terme entre parenthèse sous la forme :

\dfrac{a^{\gamma}-1}{a}

Plus facile ainsi d'obtenir le signe de QBC !

Sinon : il s'agit pour toi d'étudier un cycle, pas une succession de trois transformations indépendantes puisque l'état final de la troisième est nécessairement l'état initial de la première. Ainsi, utiliser une propriété de la troisième pour étudier la deuxième n'est pas choquant.

Posté par
ferality
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 18-10-20 à 20:40

vanoise @ 18-10-2020 à 18:25

D'accord avec ton dernier calcul. Personnellement, je préfère laisser le terme entre parenthèse sous la forme :

\dfrac{a^{\gamma}-1}{a}

Plus facile ainsi d'obtenir le signe de QBC !

Oui c'est vrai

vanoise @ 18-10-2020 à 18:25


Sinon : il s'agit pour toi d'étudier un cycle, pas une succession de trois transformations indépendantes puisque l'état final de la troisième est nécessairement l'état initial de la première. Ainsi, utiliser une propriété de la troisième pour étudier la deuxième n'est pas choquant.

D'accord je vois, effectivement vu comme ça, ça se justifie plus facilement.
Pour l'adiabatique, je trouve finalement

W_{CA}=\dfrac{P_1V_1}{\gamma-1}(\dfrac{a-a^\gamma}{a})
et
Q_{CA}=0, car c'est une transformation adiabatique.

Donc si je résume, pour la question 2 :
Pour A-B : Q_{AB}=P_1(\dfrac{V1}{a}-V_1)(\dfrac{1}{\gamma-1}+1)

Pour B-C : Q_{BC}=\dfrac{P_1V_1}{\gamma-1}(\dfrac{a^\gamma-1}{a})

Pour C-A : Q_{CA}=0

Donc si on considère que dans tous les cas,  \gamma > 1 (ce que je n'ai pu trouver nulle part, mais ça a l'air empiriquement vrai), et que a > 1 (car V1 > V2), on aurait
Q_{AB} < 0 et Q_{BC} > 0.

Donc, pendant la transformation A-B on est en contact avec la source froide (car on donne de l'énergie, Q<0), et pendant la transformation B-C on est en contact avec la source chaude (car on gagne de l'énergie, Q>0). C'est ça ?

Posté par
vanoise
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 18-10-20 à 22:56

Tu sembles avoir bien compris beaucoup de choses mais il y a quelques lacunes à combler... Normal en début d'année . La relation de Mayer (mon premier document formule 25 paragraphe 5.2.3 ) implique >1. L'énoncé précise qu'il s'agit ici d'un gaz parfait monoatomique : formule (28) : \gamma=\frac{5}{3}  ;  \frac{1}{\gamma-1}=\frac{3}{2} .

Tes conclusions sont donc correctes. L'évolution AB se produit au contact thermique d'une source froide de température T_{f}=T_{B} et l'évolution BC se produit au contact d'une source chaude de température T_{c}=T_{C}. Indices “c” et “f” pour chaud et froid... Tu peux d'ailleurs remarquer : TC > TB.

Posté par
ferality
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 19-10-20 à 23:04

vanoise @ 18-10-2020 à 22:56

Tu sembles avoir bien compris beaucoup de choses mais il y a quelques lacunes à combler... Normal en début d'année . La relation de Mayer (mon premier document formule 25 paragraphe 5.2.3 ) implique >1. L'énoncé précise qu'il s'agit ici d'un gaz parfait monoatomique : formule (28) : \gamma=\frac{5}{3}  ;  \frac{1}{\gamma-1}=\frac{3}{2} .

Bonsoir, oui désolé en fait j'avais déjà regardé et m'étais rendu compte de ça, mais après ça m'est sorti de l'esprit... effectivement c'est bien toujours positif car égal à \frac{5}{3}.

vanoise @ 18-10-2020 à 22:56


Tes conclusions sont donc correctes. L'évolution AB se produit au contact thermique d'une source froide de température T_{f}=T_{B} et l'évolution BC se produit au contact d'une source chaude de température T_{c}=T_{C}. Indices “c” et “f” pour chaud et froid... Tu peux d'ailleurs remarquer : TC > TB.

D'accord très bien, je suis passé à la question 3 du coup, et je retombe sur quelques interrogations malheureusement ...
Je cherche à calculer dans un premier temps T_c,
Donc je pars de Q_{BC}=C_V(T_C-T_B), et je prend T_B=\dfrac{P_1V_1}{anR}
Je remplace donc dans l'expression et je résoud pour trouver T_C, en remplaçant à gauche par Q_{BC}=\dfrac{P_1V_1}{\gamma-1}(\dfrac{a^\gamma-1}{a}).
Bref ça me fait un "gros calcul", pour à la fin trouver : T_C=\dfrac{P_1V_1a^\gamma}{anR}, donc la loi des gaz parfaits...

En fait mon espoir était que les P_1, V_1 et a se simplifient, car on ne les connaît pas, or il est demandé de calculer T_c et T_f, donc de faire les applications numériques, non ? Ou je suis juste censé répondre  T_B=\dfrac{P_1V_1}{anR} et T_C=\dfrac{P_1V_1a^\gamma}{anR}, donc donner leur expression "littérale" sans vraiment les calculer ?

Posté par
vanoise
re : Cycle thermo, travail, sources, rendement 20-10-20 à 09:57

D'accord avec toi concernant la question 3. Tes expressions de Tc et Tf sont correctes. Le mot "calculer" de l'énoncé aurait dû être remplacé par "exprimer littéralement" car il n'est pas possible de faire une application numérique. La valeur de "a" n'est fournie qu'à la question 4. Un autre problème persiste à la question 3  pour établir les expressions littérales des deux températures. Il faut obligatoirement faire intervenir un autre paramètre du système : soit "n" comme tu l'as fait, soit T1=TA. Il y a donc incohérence dans cet énoncé. En revanche, les expressions étudiées aux questions 4 et 5 se simplifient pour ne conserver que "a" et . Les applications numériques sont ainsi possibles.

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