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Circuits RC en régime variable

Posté par
Volgare
26-10-20 à 18:51

Bonjour, je bloque sur des calculs, à base d'équations différentielles dans un circuit.

On suppose que le condensateur est initialement déchargé.
A t=0, on ferme l'interrupteur K.

1°) Donner l'équation différentielle à laquelle obéit la tension uc(t).

2°) Donner alors l'équation de la tension uc(t)

3°) En déduire l'équation et le tracé de uR(t)

Donc je peux faire un loi des mailles déjà.

0 = -E +uc+uR
uc = E - uR

Puis je peux dire que i = C . \frac{d(u_{R})}{d(t)}

Est ce juste cela qu'on me demande pour la question 1 ?

Circuits RC en régime variable

Posté par
vanoise
re : Circuits RC en régime variable 26-10-20 à 18:53

Bonsoir
La méthode semble correcte mais on te demande l'équation différentielle vérifiée par Uc.

Posté par
gbm Webmaster
re : Circuits RC en régime variable 26-10-20 à 19:18

Bonsoir à vous deux,

@Volgare : cette fiche pourrait s'avérer utile en cas de besoin Condensateurs et dipôles RC

Posté par
Volgare
re : Circuits RC en régime variable 26-10-20 à 20:53

Bonsoir gbm et merci pour votre fiche, je l'ai lue, je n'ai pas tout compris mais je pense qu'elle peut m'aider.

Je vais essayer de m'en inspirer :

déjà selon la loi des maille :

UR = E - Uc

Et selon la loi d'Ohm :

UR = Ri

i = \frac{dq}{dt}

donc UR = R\frac{dq}{dt}

UR = R \frac{d(C * U_{c})}{dt}

UR = RC \frac{d(U_{c})}{dt}          Car C est une constante

E - Uc = RC \frac{d(U_{c})}{dt}

E = RC \frac{d(U_{c})}{dt} + Uc

normalement là c'est mieux.

Posté par
vanoise
re : Circuits RC en régime variable 26-10-20 à 21:05

Ce n'est pas mieux, c'est tout à fait bon  !

Posté par
gbm Webmaster
re : Circuits RC en régime variable 27-10-20 à 09:07

Bonjour à vous deux,

Citation :
normalement là c'est mieux

Avoir confiance en soi, on ne le répétera jamais assez

Bonne journée

Posté par
Volgare
re : Circuits RC en régime variable 27-10-20 à 12:11

Merci pour vos réponses, passons à la suite alors.

Maintenant que j'ai l'équation différentielle je dois la résoudre et comme je ne suis pas paresseux je vais tenter de la calculer moi même à l'aide de l'égalité suivante.

\frac{d(g)}{d(t)} + \frac{1}{\tau }*g = A
\Leftrightarrow g(t) = K_{1}e^{-\frac{t}{\tau }}+K_{2}

Donc

\frac{du_{c}}{dt} + \frac{1}{RC} u_{c}= \frac{E}{RC}

\Leftrightarrow u_{c}(t) = K_{1}e^{-\frac{t}{RC}}+K_{2}

Par contre là je ne me souviens plus comment calculer K1 et K2, mais je peux dire que
K1 = - E
Et que K2 = E
Je peux dire ça grâce à la fiche et je peux vérifier ça en dérivant.
ce qui nous donne

 u_{c}(t) = -E.e^{-\frac{t}{RC}}+E

J'ai donc répondu à la question deux

Je sais que uc = E - uR
donc  

-E.e^{-\frac{t}{RC}}+E = E -u_{R}

-E.e^{-\frac{t}{RC}} = -u_{R}


E.e^{-\frac{t}{RC}} = u_{R}

u_{R} = E.e^{-\frac{t}{RC}}

et là j'ai répondu à la question 3

Posté par
vanoise
re : Circuits RC en régime variable 27-10-20 à 14:04

Ce que tu as fait est tout à fait correct. Pour gagner un peu de temps, tu peux utiliser la méthode suivante, valide aussi pour les équations différentielles du deuxième ordre. On démontre en math que la solution générale est la somme de deux solutions :
1°. La solution particulière correspondant au régime permanent, c'est à dire au cas où toutes les dérivées par rapport au temps sont nulle. Cela conduit à :
Ucp = E ; cela règle directement le problème de ta première constante.
2°. La solution de l'équation homogène :
RC \frac{d(U_{c})}{dt} + Uc=0
qui admet une solution de la forme :

u_{ch}=K.e^{-\frac{t}{RC}}
La solution générale est ainsi de la forme :

u_{c}=u_{cp}+u_{ch}=E+K.e^{-\frac{t}{RC}}

Ne reste plus que l'unique constante K à déterminer sachant que le condensateur impose la continuité de la tension à ses bornes :

u_{c\left(t=0\right)}=0

Posté par
Volgare
re : Circuits RC en régime variable 27-10-20 à 14:25

Merci pour votre solution plus rapide, je vais commencer par me familiariser avec celle que j'ai effectué avant d'appliquer celle-ci.
Si on suit ce que j'ai fait, comment calculer K1 et K2 ?
Pour K2 j'imagine qu'il faut utiliser uc(t=0) = 0
et remplacer.
Mais pour K1 je ne vois pas bien.

Posté par
vanoise
re : Circuits RC en régime variable 27-10-20 à 14:45

La méthode pour obtenir K1 est celle que j'utilise pour obtenir K par la méthode que j'ai exposée  : on raisonne sur la situation à t=0.

Posté par
Volgare
re : Circuits RC en régime variable 27-10-20 à 16:07

D'accord, merci beaucoup pour votre aide.



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