salut:
je vois que le raisonnement est correct sauf :
à partir de
d1=d2
il falait utilisé ds le 1er membre
5T₁²=.....

Soit v1 la vitesse 1 seconde avant d'arriver au sol.
A l'arrivée au sol, la vitesse sera :  v = v1 + g*1 = (V1 + 10) m/s
Distance parcourue pendant cette seconde: d = v1*1 + g*1²/2 = v1 + 5 m

Donc le parcours complet est égal à 2(V1 + 5)

2(V1 + 5) = gt²/2
v1 = g(t-1) = gt - 10

2(gt -10 + 5) = gt²/2
4(gt - 5) = gt²
10t² - 40t + 20 = 0
t² - 4t + 2 = 0 (avec t > 1)

t = 3,41 s (durée totale de la chute)
h = gt²/2 = 5 * 3,41² = 58,3 m (hauteur de chute).
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Sauf distraction.  

Soit
yo la hauteur initiale du corps à l'instant t = 0
y1 sa hauteur à l'instant t1 une seconde avant d'atteindre le sol à l'instant t2.
On a les équations suivantes:
y1 = -1/2 gt1² + yo
0 = -1/2 gt2² + yo
y1 = yo/2
t2 - t1 = 1
L'élimination de y1 et de t2 donne
1/2 gt1² - yo/2 = 0
1/2 g(t1 - 1)² - yo = 0, d'où finalement
t1² + 2t1 - 1 = 0
La racine positive est (1 + V2)/2 = 1,2 s, et
yo = gt1² = 14,57 m,
la durée totale de chute étant 1,2 + 1 = 2,2 s.

Mon calcul n'était pas bon.
Mais je peux faire plus juste.... et plus simple!
Le corps, lâché d'une hauteur h, arrive au sol au bout d'un temps t donné par
h = (1/2)gt².
1 seconde avant de toucher le sol, il se trouve à mi-hauteur, d'où
h/2 = (1/2)g(t - 1)².
Ainsi
(1/2)gt² = g(t - 1)²
t² = 2(t - 1)²
t = (t -1)V2
t = V2/(V2 - 1) = 3,41 s
d'àù h = 58,23 m.

Gregstud,

Dans ta solution, il y a une erreur dans d2

d2 est la distance parcourue pendant la dernière seconde --> durée = 1 s
La vitesse intiale de ce parcours étant v1 = 10T1, on a :
d2 = 10T1 * 1 + 5 * 1²
d2 = 10T1 + 5

Ensuite: d1 = d2
5T1² = 10T1 + 5
Dont la racine positive est T1 = 2,41 s

La durée totale de chute est T = 2,41 + 1 = 3,41 s

Excellent bien vu, vous faites comment pour ne pas commettre de bêtes erreurs ?
Mille merci !

Qui t'a dit que je ne commettais pas de bêtes erreurs ?

moins souvent que moi en tout cas ! je connais les formules seulement leur application s'avère très vite être d'une complexité!! Et pourtant je vérifie tous les détails, je cherche trop compliqué alors que c'est bien simple ... en gros pas assez de recul! et le pire c'est que je tente tous les raisonnement, dont celui que vous avez proposé! sauf que hum je fais des erreurs de signe à la limite de la crise cardiaque!!