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calcul d'entropie

Posté par
ferality 09-01-21 à 13:00


Bonjour,

J'ai un problème de niveau L2 concernant le cycle de Brayton, et je bloque au calcul de l'entropie... j'ai regardé le cours sur le site sur l'entropie, mais la méthode employée n'est pas la même que l'on doit utiliser je pense.

L'énoncé est le suivant :

On note Cv et Cp les capacités thermiques à volume et pression constantes (respectivement) du gaz parcourant le cycle. Le gaz est considéré comme parfait.
Le cycle de Brayton présente le fonctionnement idéalisé d'une turbine à gaz. On considère que le cycle est parcouru par n moles de gaz, où n est constant. Le fonctionnement est le suivant :

— Transformation A → B : Le gaz (de l'air), initialement à température et pression atmosphérique (état A : pA, TA) est injecté dans un compresseur, où il subit une compression adiabatique réversible de la pression pA à la pression pB.

— Transformation B → C : Le gaz dans l'état B (pB, TB) passe ensuite dans une chambre de combustion, où il subit un chauffage isobare jusqu'à une température TC. On considérera que cette transformation se produit par mise en contact du gaz avec un thermostat TC de température TC.

— Transformation C → D : Le gaz dans l'état C (pC, TC) passe ensuite dans la turbine où il se détend de manière adiabatique jusqu'à la pression atmosphérique pD = pA. Le travail de la détente est utilisé pour faire fonctionner le compresseur et pour faire tourner la turbine.

— Transformation D → A : Le gaz subit un refroidissement isobare qui le ramène dans son état initial. On considérera que cette transformation se produit par mise en contact du gaz avec un thermostat TA de température TA.

1. Représenter le cycle dans le diagramme de Clapeyron. Justifier que le cycle de Brayton est un cycle moteur.
- j'ai fait cette question

2. Calculer la chaleur reçue par le gaz dans chacune des transformations (on notera
QAB pour la transformation A → B etc.), en fonction des températures uniquement (et de Cv et/ou Cp).
- j'ai fait cette question, je trouve QAB=0, Q_{BC}=Cp(T_C-T_B), QCD=0, Q_{DA}=Cp(T_A-T_D) , mais je ne suis pas sûr...

3. En utilisant l'identité thermodynamique, calculez l'entropie S(T, p) du gaz parfait
en fonction de T et p.
- je bloque sur celle-ci, je pars de dS=\dfrac{dU}{T} + \dfrac{P}{T}dV puis je pose dU=C_v dT donc  par identification j'ai \left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_V=\dfrac{C_V}{T} puis par intégration S=C_Vln(T)+f1(V)  et \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\dfrac{P}{T}  donc S=Pln(T)+f2(T)  mais ensuite je suis bloqué et je n'arrive pas à exprimer S en fonction de température et pression, j'ai toujours des volumes quelque part avec ces constantes d'intégration ...

(je met la suite des questions car certaines personnes n'aiment pas les énoncés incomplets mais c'est vraiment sur la 3 que je bloque je pense pouvoir faire la suite si je réussis la 3)
4. Calculer la variation d'entropie du gaz lors de chacune des transformations (on notera ∆SAB pour la transformation A → B etc.) en fonction des températures uniquement (et de Cv et/ou Cp).

5. Que vaut ∆S pour tout le cycle ? En déduire une relation entre les rapports TD/TA et TC/TB.

6. Calculez le rendement η du cycle, tout d'abord en fonction des quatre températures TA, TB, TC et TD. Puis, en utilisant le résultat de la question précédente, en fonction de TA et TB uniquement.

7. Comparer ce rendement au rendement du cycle de Carnot équivalent. Que peut-on en déduire sur la réversibilité ou l'irréversibilité du cycle ?

8. Calculer la variation d'entropie des thermostats TA et TC au cours du cycle. En déduire la variation d'entropie de l'univers ∆Su en fonction des températures uniquement (et de Cv et/ou Cp).

9. Ce résultat confirme-t-il celui de la question 7) sur la réversibilité/irréversibilité du cycle ?

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 09-01-21 à 13:49

Bonjour
Pour le calcul de l'entropie : remarquer que, pour un gaz parfait :
P/T=(nR/V)
En intégrant, tu vas faire intervenir un logarithme du volume.

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 09-01-21 à 13:56

La méthode précédente donne S en fonction de T et V. Pour avoir S en fonction de P et T, tu as intérêt à partir de la deuxième identité thermodynamique :
dH=V.dP+T.dS avec dH=Cp.dT pour un gaz parfait.

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 09-01-21 à 14:31

vanoise @ 09-01-2021 à 13:56

La méthode précédente donne S en fonction de T et V. Pour avoir S en fonction de P et T, tu as intérêt à partir de la deuxième identité thermodynamique :
dH=V.dP+T.dS avec dH=Cp.dT pour un gaz parfait.


Bonjour vanoise, d'accord je vais tester avec ça je reviendrai dire ce que je suis arrivé à faire.
Merci.

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 09-01-21 à 14:44

Si tu éprouves quelques difficultés, tu peux consulter la fiche référencée ci-dessous, en particulier le paragraphe 6.1.2.
Tu trouveras aussi un certain nombre d'exercices avec correction détaillée.
Deuxième principe de la thermodynamique

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 09-01-21 à 15:42

vanoise @ 09-01-2021 à 14:44

Si tu éprouves quelques difficultés, tu peux consulter la fiche référencée ci-dessous, en particulier le paragraphe 6.1.2.
Tu trouveras aussi un certain nombre d'exercices avec correction détaillée.
Deuxième principe de la thermodynamique


Dans le chapitre 6.12, je ne comprend pas comment est fait le passage de (17) à (18). D'où  vient cette expression de dS avec les dérivées partielles (l'expression (18)) ? Je ne la connais pas et elle n'est pas mentionné avant dans le document..

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 09-01-21 à 15:50

Dans cette ligne :

\left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_V=\dfrac{-nR}{P}=g'(P)

1) cela devrait être subscript 'T' et non 'V' dans la dérivée partielle à mon avis ? Les deux parties de la différentielle sont dT et dP...

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 09-01-21 à 17:48

Citation :
je ne comprend pas comment est fait le passage de (17) à (18)

(17) résulte de la combinaison de (15) : deuxième identité thermodynamique et de (16) : deuxième loi de Joule.
(18) n'est pas une conséquence logique de (17) mais simplement l'expression générale d'une différentielle d'une fonction d'état considérée comme une fonction des deux variables d'état indépendantes P et T. De façon très générale, pour un système fermé, si :
S=f(T,P), l'expression la plus générale de la différentielle de S est l'expression (18).
Concernant ton dernier message :
Citation :
\\ \left(\dfrac{\partial S}{\partial P} \right)_{V} = - \dfrac{n . R}{P} = g'(P)

Il y a une faute de frappe au niveau de l'indice. Il faut lire, par identification entre (17) et (18) :

\\ \left(\dfrac{\partial S}{\partial P} \right)_{T} = - \dfrac{n . R}{P} = g'(P)
Je vais corriger l'erreur ; merci de l'avoir signalée.

Posté par
gbm Webmasterre : calcul d'entropie 09-01-21 à 18:53

Bonsoir à vous deux,

La fiche a été corrigée

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 09-01-21 à 19:11

Bonsoir gbm et merci !

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 09-01-21 à 19:17

vanoise @ 09-01-2021 à 17:48


(18) n'est pas une conséquence logique de (17) mais simplement l'expression générale d'une différentielle d'une fonction d'état considérée comme une fonction des deux variables d'état indépendantes P et T. De façon très générale, pour un système fermé, si :
S=f(T,P), l'expression la plus générale de la différentielle de S est l'expression (18).

D'accord je vois c'est bon à savoir, on a vu ça en maths mais je ne savais pas qu'on pouvait utiliser ça ici, mais je comprend.

vanoise @ 09-01-2021 à 17:48


Il y a une faute de frappe au niveau de l'indice. Il faut lire, par identification entre (17) et (18) :
\left(\dfrac{\partial S}{\partial P} \right)_{T} = - \dfrac{n . R}{P} = g'(P)
Je vais corriger l'erreur ; merci de l'avoir signalée.

Ok, de rien ! Bonsoir gbm, merci

Du coup j'ai trouvé comme expression de l'entropie S(T,P) = C_P ln(T) - nRln(P) + K (on a le droit d'utiliser C_P selon l'énoncé donc je le laisse, je fais pas la relation de Mayer). Ca me paraît plausible...

Cependant pour la question 4) avec le calcul des \Delta S j'ai \Delta S_{AB}=C_Pln(T_B/T_A) - nRln(P_B/P_A) , je n'arrive pas à exprimer uniquement selon la température,  je pense qu'il faut utiliser le fait qu'on aie une adiabatique (Lois de Laplace) mais je ne vois pas comment... en utilisant l'équation d'était j'ai :  \Delta S_{AB}=C_Pln(T_B/T_A) - nRln(V_A T_B/V_B T_A) ... je suis bloqué là encore

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 09-01-21 à 19:42

Reprends les fondamentaux  et en particulier les conséquences directes du deuxième principe  : que peut-on dire de l'entropie lors d'une évolution adiabatique réversible  ? Aucun calcul n'est nécessaire...  Relis au besoin les premiers paragraphes du document que je t'ai indiqué.

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 09-01-21 à 20:22

vanoise @ 09-01-2021 à 19:42

Reprends les fondamentaux  et en particulier les conséquences directes du deuxième principe  : que peut-on dire de l'entropie lors d'une évolution adiabatique réversible  ? Aucun calcul n'est nécessaire...  Relis au besoin les premiers paragraphes du document que je t'ai indiqué.


Ah oui je pense que je vois, étant donné qu'on est dans le cadre d'une transformation adiabatique, on a pas de chaleur lors de la transformation (Q=0), or \Delta S = \frac{\Delta Q}{T_{ext}}, donc \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0 (les deux adiabatiques).

Pour les isobares j'imagine qu'on a \Delta S = \dfrac{C_P\Delta T}{T_{ext}} ... mais que vaut T_{ext} dans le cadre de ce problème ? J'imagine que c'est le thermostat, comme on est dans un cas de moteur ditherme (ce n'est pas dit dans l'énoncé mais bon...) c'est soit T_C (thermostat chaud) soit T_F (thermostat froid). Il n'est cependant pas mention des thermostats dans le problème

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 09-01-21 à 22:49

Effectivement, une transformation adiabatique et réversible se déroule à entropie constante.

Concernant maintenant les isobares : le deuxième principe conduit pour chacune à :

\Delta S=\frac{Q}{T_{ext}}+S_{c}=\frac{C_{p}.\Delta T}{T_{ext}}+S_{c}

Relis bien l'énoncé : la source de chaleur est assimilable à un thermostat de température égale à la température en fin d'échange, soit TC ou TA. Chacune de ces deux transformations est irréversibles. Pour avoir une isobare réversible, il faudrait mettre le système en contact avec une infinité de sources de chaleur de températures échelonnées entre la température de début et la température de fin d'échange. L'entropie créée lors de chacune de ces deux étapes isobares est donc strictement positive. Puisque la variation totale d'entropie sur un cycle est nécessairement nulle, tu obtiens ainsi l'inégalité de Clausius concernant les cycles dithermes irréversibles. Bien comprendre tout cela va t'aider à finir la résolution du problème mais ne répond pas à la question 4.

Concernant les calculs des deux variations d'entropie, les relations au-dessus sont inutiles car l'entropie créée par irréversibilité est inconnue, on sait juste qu'elle est strictement positive. Il faut raisonner sur le fait que l'entropie est une fonction d'état : sa variation ne dépend que des paramètres de l'état final et de l'état initial, que la transformation réelle soit réversible ou non. Bien que les transformations isobares soient irréversibles, tu peux donc utiliser comme expression de la variation d'entropie celle déduite de la question 2, même si la démonstration faite à la question 2 supposaient les transformations réversibles.

Relis si nécessaire le paragraphe 2 de la fiche déjà indiquée concernant la notion de réversibilité.
Le paragraphe 3.4 de la fiche sur le premier principe concernant les transformations quasi statiques pourra peut-être aussi t'aider. Premier principe de la thermodynamique

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 10-01-21 à 10:43

Bonjour, j'ai relu les parties en question. Tel que je comprend, étant donné que l'entropie est une fonction d'état et qu'on considère qu'on est dans une transformation réversible (bien que ça ne soit pas le cas mais ce n'est pas important car l'entropie étant une fonction d'état est la même peu importe le "chemin thermodynamique emprunté") on a : \Delta S_{BC} = S_C - S_B. Ici, comme a des isobares, ça va bien fonctionner (le terme avec les pressions va s'annuler car P_B=P_C et ln(1)=0) et on trouve  \Delta S_{BC} = C_Pln\left(\dfrac{T_C}{T_B}\right) et identiquement on obtient \Delta S_{DA} = C_Pln\left(\dfrac{T_A}{T_D}\right)

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 10-01-21 à 11:49

C'est bien cela !

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 10-01-21 à 14:11

vanoise @ 10-01-2021 à 11:49

C'est bien cela !

Cool merci à la 5) je suis arrivé à la relation (d'égalité), la 6) j'arrive à exprimer le rendement avec T_A, T_B, T_C, T_D en calculant \eta = \dfrac{|W|}{Q_C}, mais pour exprimer avec seulement T_A et T_B je bloque j'ai essayé toutes les manipulations algébriques possibles j'ai l'impression... je pars de \eta = 1 + \dfrac{T_A-T_D}{T_C-T_B}

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 10-01-21 à 14:38

Tu as effectivement :

\eta=\dfrac{-W}{Q_{C}}=\frac{Q_{C}+Q_{F}}{Q_{C}}=1+\frac{Q_{F}}{Q_{C}}=1+\dfrac{T_{A}-T_{D}}{T_{C}-T_{B}}

Tu es peut-être passé trop vite sur la question 5. Sachant que la variation d'entropie sur le cycle est nulle, tu as :

\ln\left(\frac{T_{C}}{T_{B}}\right)+\ln\left(\frac{T_{A}}{T_{D}}\right)=0  donc ...

L'expression du rendement peut s'écrire :

\eta=1+\dfrac{T_{A}\cdot\left(1-\dfrac{T_{D}}{T_{A}}\right)}{T_{B}\cdot\left(\dfrac{T_{C}}{T_{B}}-1\right)}

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 10-01-21 à 15:10

vanoise @ 10-01-2021 à 14:38



Tu es peut-être passé trop vite sur la question 5. Sachant que la variation d'entropie sur le cycle est nulle, tu as :

\ln\left(\frac{T_{C}}{T_{B}}\right)+\ln\left(\frac{T_{A}}{T_{D}}\right)=0  donc ...


Donc ln(\dfrac{T_C T_A}{T_B T_D})=0 ce qui implique \dfrac{T_C T_A}{T_B T_D}=1
et donc \dfrac{T_C}{T_B}=\dfrac{T_D}{T_A} (j'avais bien trouvé ce résultat avant de faire la question 6))

vanoise @ 10-01-2021 à 14:38


L'expression du rendement peut s'écrire :

\eta=1+\dfrac{T_{A}\cdot\left(1-\dfrac{T_{D}}{T_{A}}\right)}{T_{B}\cdot\left(\dfrac{T_{C}}{T_{B}}-1\right)}


Je n'avais pas vu cette manipulation en effet à partir de là on y arrive, je n'avais pas pensé à factoriser de la sorte :[ ...

\eta=1+\dfrac{T_{A}\cdot\left(1-\dfrac{T_{D}}{T_{A}}\right)}{T_{B}\cdot\left(\dfrac{T_{C}}{T_{B}}-1\right)} = 1+\dfrac{T_{A}\cdot\left(1-\dfrac{T_{D}}{T_{A}}\right)}{-T_{B}\cdot\left(1-\dfrac{T_{D}}{T_{A}}\right)} = 1-\dfrac{T_A}{T_B}  

super merci

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 14-01-21 à 19:46

Bonjour,

j'ai eu un délai pour le rendu du coup j'ai du travailler sur autre chose mais je suis de retour sur cet exercice.

Pour la question 7, le rendement de Carnot est \eta = 1-\dfrac{T_{chaud}}{T_{froid}} or nous on a T_{chaud}=T_B et T_{froid}=T_A ... je dirais qu'il est "différent" dans notre cas que celui de Carnot, donc notre transformation est irréversible ?

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 14-01-21 à 19:50

Oui mais tu peux être plus précis  : le rendement obtenu est supérieur ou inférieur à celui de Carnot  ?

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 14-01-21 à 20:13

vanoise @ 14-01-2021 à 19:50

Oui mais tu peux être plus précis  : le rendement obtenu est supérieur ou inférieur à celui de Carnot  ?


Je ne comprend pas bien le rendement de Carnot car on a forcément T_{chaud} > T_{froid} et donc \dfrac{T_{chaud}}{T_{froid}} > 1 donc \eta sera négatif.... je croyais que c'était censé donner un pourcentage ? nous on a l'inverse on divise le froid par le chaud donc on aura quelque chose plus petit que 1 donc notre \eta sera positif, donc notre \eta plus grand que celui de Carnot. Désolé je n'y comprend vraiment rien du tout à cette matière pourtant j'essaie

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 14-01-21 à 20:25

Tu n'as pas relu la fiche sur le deuxième principe que je t'ai indiquée. Le rendement de Carnot y est démontré.  Il fait intervenir Tf /Tc.

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 14-01-21 à 20:33

Ah oui je me suis trompé dans la formule, j'ai inversé numérateur et dénominateur, désolé.
Mais du coup nous sommes égaux au rendement de Carnot dans l'exercice ? Nous avons \eta = 1-\dfrac{T_{f}}{T_{c}} car T_{c}=T_B et T_{f}=T_A et on a \eta = 1-\dfrac{T_{A}}{T_{B}} .
Nous sommes égaux à la valeur maximum du rendement de Carnot qui est : \eta \leq 1-\dfrac{T_{f}}{T_{c}} ...

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 14-01-21 à 20:54

En adaptant les notations de la fiche à ton problème, le rendement de Carnot du cycle est :

\eta_{c}=1-\frac{T_{A}}{T_{C}}

Tu as démontré précédemment que le rendement du cycle est :

\eta=1-\frac{T_{A}}{T_{B}}

Or : T_{C}>T_{B}

Je te laisse conclure et interpréter.

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 14-01-21 à 21:39

D'accord oui donc notre rendement sera plus faible que le rendement de Carnot, j'ai confondu T_B et T_C désolé ...

Concernant la réversibilité du cycle, tel que je le comprend avec mon cours et la fiche, si on a une transformation réversible, alors on a le rendement de Carnot (c'est le "le cas limite d'une évolution réversible") qui est égal à 1-\dfrac{T_{f}}{T_{c}}  :  \eta = 1-\dfrac{T_{f}}{T_{c}}

Dans tous les autres cas, on a une transformation irréversible. Donc on a le rendement de la transformation qui est forcément inférieur strict au rendement de Carnot : \eta < 1-\dfrac{T_{f}}{T_{c}}

Donc, dans le cas du problème, nous sommes en présence d'une transformation irréversible. Est-ce que c'est un raisonnement correct ?

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 14-01-21 à 21:44

Oui. Le cycle est bien ditherme et irréversible.  Causes de l'irreversibilité  ?

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 14-01-21 à 21:55

C'est là que je ne sais plus trop quel raisonnement faire... nous sommes dans un cycle donc forcément \Delta S = 0... le cycle est fait d'adiabatiques et isobares donc cela devrait être réversible... mais après il y a le fait qu'il y aie de la chaleur produite par le moteur qui rend la chose irréversible... je ne comprend pas avec tout ça tout à l'aire de se contredire pour moi

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 14-01-21 à 22:03

Le gaz de température TB est mis brutalement en contact thermique avec la source chaude de température TC. L'évolution B-C n'est donc pas quasi statique donc pas réversible. Pour avoir une évolution B-C isobare et réversible, il faudrait remplacer la source unique par une infinité de sources de températures échelonnées entre TB et TC.
Raisonnement analogue pour le refroidissement isobare D-A.

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 14-01-21 à 22:18

vanoise @ 14-01-2021 à 22:03

Le gaz de température TB est mis brutalement en contact thermique avec la source chaude de température TC. L'évolution B-C n'est donc pas quasi statique donc pas réversible. Pour avoir une évolution B-C isobare et réversible, il faudrait remplacer la source unique par une infinité de sources de températures échelonnées entre TB et TC.
Raisonnement analogue pour le refroidissement isobare D-A.

D'accord je vois merci... cependant pour le cycle de Carnot aussi on a ce contact brutal avec la source chaude et cela fait une isotherme, mais pourtant il est bien réversible ? (Dans le cas où son rendement est égal à la limite \eta = 1-\dfrac{T_{f}}{T_{c}}).

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 14-01-21 à 22:35

Pour le cycle de Carnot, la température de fin de chaque adiabatique est la température de l'isotherme qui lui succède.

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 15-01-21 à 18:59

vanoise @ 14-01-2021 à 22:35

Pour le cycle de Carnot, la température de fin de chaque adiabatique est la température de l'isotherme qui lui succède.

Bonjour oui c'est vrai j'avais omis ce fait.. voilà mon doute levé merci ^^

Concernant la question 8) je pose \Delta S_{ThA} = \dfrac{-Q_{DA}}{T_A} = \dfrac{-Cp(T_A-T_D)}{T_A} et \Delta S_{ThC} = \dfrac{-Q_{BC}}{T_C} = \dfrac{-Cp(T_C-T_B)}{T_C} , ensuite je calcule \Delta S_U = \Delta S_{BC} + \Delta S_{DA} + \Delta S_{ThA} + \Delta S_{ThC} et j'aboutis mon calcul sur \Delta S_U = Cp( -2 +\dfrac{T_B}{T_C} + \dfrac{T_D}{T_A}) ... Cela semble-t-il correct ? Ca me paraît un peu étrange car diffcile de voir le signe de  \Delta S_U (qui doit être positif)sans connaître les températures, même en étudiant les relations entre elles (par exemple on sait que T_C > T_B et T_D > T_A ..

Posté par
vanoisere : calcul d'entropie 15-01-21 à 19:27

N'oublie pas que tu as déjà démontré :

\dfrac{T_C}{T_B}=\dfrac{T_D}{T_A}
Pour conclure : c'est un peu comme si tu devais comparer (x+\frac{1}{x}) à la valeur 2 si x est un réel strictement positif...

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 15-01-21 à 20:01

vanoise @ 15-01-2021 à 19:27

N'oublie pas que tu as déjà démontré :

\dfrac{T_C}{T_B}=\dfrac{T_D}{T_A}
Pour conclure : c'est un peu comme si tu devais comparer (x+\frac{1}{x}) à la valeur 2 si x est un réel strictement positif...

Ah oui d'accord à partir de votre inégalité on voit qu'il n'existe pas de valeur qui donne une entropie négative, la seule valeur possible pour que la somme soit égale à 2 est "1" dans le polynôme... ce qui signifierait que les températures T_B et T_C sont identiques. Je pense que ça suffira pour répondre à la 9 ^^

Posté par
feralityre : calcul d'entropie 15-01-21 à 23:57

Encore merci beaucoup pour ton aide vanoise


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