Fiche de physique - chimie
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Les systèmes oscillants

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I. Les systèmes oscillants

Un système oscillant est un système pouvant effectuer des aller-retours autour d'une position d'équilibre: c'est un système périodique.


Écartés de leur position d'équilibre par une action extérieure, ils y retournent plus ou moins rapidement en oscillant de part et d'autre de cette position d'équilibre.

On peut citer trois types de pendules:
Le pendule pesant : Système mécanique mobile autour d'un axe horizontal et qui ne passe pas par son centre d'inertie.
Le pendule simple : Cas particulier du pendule pesant. Constitué d'une masse suspendu à un fil de masse négligeable, l'oscillation s'effectue autour d'une position d'équilibre.
Le pendule élastique: Lorsque le solide est écarté de sa position d'équilibre puis lâché, il effectue un mouvement d'aller-retours de part et d'autre de sa position d'équilibre.

Un oscillateur est libre s'il n'y a aucun apport d'énergie après sa mise en mouvement.
Dans le cas contraire, on parle d'oscillateur forcé.


II. Étude du pendule pesant

Notion d'équilibre du pendule

Référentiel : terrestre supposé galiléen.
Système : masse suspendue au fil.
Bilan des forçes : poids (\overrightarrow{P}) et la tension du fil (\overrightarrow{T}).
Les systèmes oscillants : image 1

Il y a deux positions d'équilibre :
Les systèmes oscillants : image 2

1 : Si l'on écarte le pendule de sa position d'équilibre, il va osciller autour de cette position: c'est sa position d'équilibre stable. Un pendule est en équilibre stable quand son centre d'inertie est sur la verticale passant par l'axe de rotation et en-dessous de ce dernier.
2 : Le pendule se trouve en une position instable.

Quelques grandeurs physiques caractéristiques

période: c'est le plus petit intervalle de temps au bout duquel le phénomène se reproduit identique à lui-même. On la mesure en secondes (s).
fréquence: nombre de périodes en une seconde. f = \dfrac{1}{T} avec f en Hz (Hertz), T en s.


La période d'une oscillation est donné par la formule
T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}
  T : Période d'une oscillation (en s)
  l : longueur du fil (en m)
  g : 9,8m.s^{-2}

Analyse dimensionnelle :
[T]=\sqrt{\dfrac{L}{L\times s^{-2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{s^{-2}}}=\sqrt{s^2}=s
La période est bien homogène à une durée.

On appelle abscisse angulaire \theta (t) l'angle formé par le pendule à la date t et le pendule à l'équilibre


C'est une grandeur algébrique.
L'amplitude \theta_m est la valeur absolue de l'abscisse angulaire maximale. C'est une grandeur positive.

Remarque: Influence de l'amortissement:
Lorsque les frottements ne sont pas négligeables, les forces de frottements s'exerçant sur le pendule provoquent une diminution de l'abscisse angulaire: le mouvement est amorti.
Lorsque l'amortissement est conséquent, le régime n'est plus pseudo-périodique mais apériodique: le système revient dans sa position d'équilibre sans oscillations.




Le système solide-ressort

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I. Force de rappel exercé par un ressort

Les systèmes oscillants : image 3

On sait que la force de rappel exercé par un ressort est proportionnelle à sont allongement.
Prenons la force exercée par le point A sur le point B.
\overrightarrow{F}_{_{A/B}}=-k(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A_iB_i}) On place un signe - devant le k car l'allongement \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A_iB_i} est de sens opposé à \overrightarrow{F}_{_{A/B}}
\rm\overrightarrow{F}_{_{A/B}}=-k(\overrightarrow{AB}_i+\overrightarrow{B_iB}-\overrightarrow{A_iA}+\overrightarrow{AB_i})\\ =-k(\overrightarrow{B_iB}-\overrightarrow{A_iA})

Si A=A_i alors \overrightarrow{F}_{_{A/B}}\rm=-k\overrightarrow{B_iB}
Les systèmes oscillants : image 4

Le vecteur \overrightarrow{i} est un vecteur unitaire.
x représente l'allongement du ressort.

On a donc \overrightarrow{F}_{_{A/B}}=-kx\overrightarrow{i}
La constante k est appelé la raideur du ressort


II. Étude d'un mouvement horizontal avec force de frottement négligée.

Référentiel : terrestre supposé galiléen.
Système : masse.
Force : poids (\overrightarrow{P}), force du ressort ( \overrightarrow{F}).
Schéma :
Les systèmes oscillants : image 5

Appliquons la deuxième loi de Newton :
\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}
On projette les vecteurs sur les axes du repère.
\overrightarrow{P}\left(0;-mg\right)\\\overrightarrow{R}\left(0;R\right)\\\overrightarrow{F}\left(-kx;0\right)
Seul les abscisses nous intéressent car le mouvement est horizontal.
Ce qui donne 0+0-kx=m\dfrac{d^2x}{dt}

On obtient finalement : \boxed{\dfrac{d^2x}{dt}+\dfrac{k}{m}x=0}

La solution de cette équation différentielle et est de la forme \boxed{x(t)=X_{max}cos(W_0t+\scr{C})}
X_{max} : amplitude (en m)
W_0 : pulsation propre (rad.s-1)
scr{C} : phase a l'origine (en rad)

W_0=\dfrac{2\pi}{T_0} avec T_0 : période propre (s).


Le solide est lâché sans vitesse initiale à t=0 en un point a.

La dérivé de la position de la masse par rapport au temps étant la vitesse de cette masse, on dérive x(t).

\dfrac{dx}{dt}=-X_{max}W_0sin(\scr{C}+W_0 t)
A t=0, la vitesse est nulle donc

0=-X_{max}W_0sin(\scr{C})
L'amplitude et la pulsation propre étant non nuls, on peut dire que :

sin(\scr{C})=0

A t=0, on a aussi a=X_{max}cos(\scr{C})

D'où \boxed{x(t)=a cos(W_0 t)}


On cherche l'expression de la période propre

\dfrac{d^2x}{dt}=-X_{max}W_0^2cos(W_0 t+\scr{C})

On la remplace dans l'équation différentielle :

-X_{max}W_0^2cos(W_0 t+\scr{C})+\dfrac{k}{m}(X_{max}cos(W_0t+\scr{C}))=0

Comme cos(W_0t+\scr{C})\neq 0

-X_{max}W_0^2+\dfrac{k}{m}X_{max}=0

Comme X_{max}\neq 0

-W_0^2+\dfrac{k}{m}=0\\W_0^2=\dfrac{k}{m}\\W_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}

Or W_0=\dfrac{2\pi}{T_0}
Ce qui donne finalement : \boxed{T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}}


III. La résonance

Définition

Soit un oscillateur subissant des oscillations forcées à la période de l'excitateur. Quand la période de l'excitateur devient proche de la période propre de l'oscillateur, celui-ci entre en résonance : l'amplitude de ses oscillations devient maximale.


Remarque : Une augmentation de l'amortissement provoque une diminution de l'amplitude

Influence de l'amortissement

Graphique:

Les systèmes oscillants : image 6


Les amplitudes sont toujours maximales à la résonance.

Quelques exemples de résonance mécanique

les amortisseurs des automobiles permettent d'éviter le phénomène de résonance
les immeubles vibrent sous l'action du vent ou des ondes sismiques
les instruments de musique constitués d'une caisse de résonance
Publié le
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