Un système oscillant est un système pouvant effectuer des aller-retours autour d'une position d'équilibre: c'est un système périodique.
Écartés de leur position d'équilibre par une action extérieure, ils y retournent plus ou moins rapidement en oscillant de part et d'autre de cette position d'équilibre.
On peut citer trois types de pendules:
Le pendule pesant : Système mécanique mobile autour d'un axe horizontal et qui ne passe pas par son centre d'inertie.
Le pendule simple : Cas particulier du pendule pesant. Constitué d'une masse suspendu à un fil de masse négligeable, l'oscillation s'effectue autour d'une position d'équilibre.
Le pendule élastique: Lorsque le solide est écarté de sa position d'équilibre puis lâché, il effectue un mouvement d'aller-retours de part et d'autre de sa position d'équilibre.
Un oscillateur est libre s'il n'y a aucun apport d'énergie après sa mise en mouvement.
Dans le cas contraire, on parle d'oscillateur forcé.
II. Étude du pendule pesant
Notion d'équilibre du pendule
Référentiel : terrestre supposé galiléen.
Système : masse suspendue au fil.
Bilan des forçes : poids () et la tension du fil ().
Il y a deux positions d'équilibre :
1 : Si l'on écarte le pendule de sa position d'équilibre, il va osciller autour de cette position: c'est sa position d'équilibre stable. Un pendule est en équilibre stable quand son centre d'inertie est sur la verticale passant par l'axe de rotation et en-dessous de ce dernier.
2 : Le pendule se trouve en une position instable.
Quelques grandeurs physiques caractéristiques
période: c'est le plus petit intervalle de temps au bout duquel le phénomène se reproduit identique à lui-même. On la mesure en secondes (s).
fréquence: nombre de périodes en une seconde. avec f en Hz (Hertz), T en s.
La période d'une oscillation est donné par la formule : Période d'une oscillation (en s)
: longueur du fil (en m)
Analyse dimensionnelle : La période est bien homogène à une durée.
On appelle abscisse angulaire (t) l'angle formé par le pendule à la date t et le pendule à l'équilibre
C'est une grandeur algébrique.
L'amplitude est la valeur absolue de l'abscisse angulaire maximale. C'est une grandeur positive.
Remarque: Influence de l'amortissement: Lorsque les frottements ne sont pas négligeables, les forces de frottements s'exerçant sur le pendule provoquent une diminution de l'abscisse angulaire: le mouvement est amorti. Lorsque l'amortissement est conséquent, le régime n'est plus pseudo-périodique mais apériodique: le système revient dans sa position d'équilibre sans oscillations.
Le système solide-ressort
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I. Force de rappel exercé par un ressort
On sait que la force de rappel exercé par un ressort est proportionnelle à sont allongement.
Prenons la force exercée par le point A sur le point B.
On place un signe - devant le k car l'allongement est de sens opposé à
Si alors Le vecteur est un vecteur unitaire.
x représente l'allongement du ressort.
On a donc La constante k est appelé la raideur du ressort
II. Étude d'un mouvement horizontal avec force de frottement négligée.
Référentiel : terrestre supposé galiléen.
Système : masse.
Force : poids (), force du ressort ( ).
Schéma :
Appliquons la deuxième loi de Newton :
On projette les vecteurs sur les axes du repère.
Seul les abscisses nous intéressent car le mouvement est horizontal.
Ce qui donne
On obtient finalement :
La solution de cette équation différentielle et est de la forme : amplitude (en m)
: pulsation propre (rad.s-1)
: phase a l'origine (en rad)
avec : période propre (s).
Le solide est lâché sans vitesse initiale à t=0 en un point a.
La dérivé de la position de la masse par rapport au temps étant la vitesse de cette masse, on dérive x(t).
A t=0, la vitesse est nulle donc
L'amplitude et la pulsation propre étant non nuls, on peut dire que :
A t=0, on a aussi
D'où
On cherche l'expression de la période propre
On la remplace dans l'équation différentielle :
Comme
Comme
Or Ce qui donne finalement :
III. La résonance
Définition
Soit un oscillateur subissant des oscillations forcées à la période de l'excitateur. Quand la période de l'excitateur devient proche de la période propre de l'oscillateur, celui-ci entre en résonance : l'amplitude de ses oscillations devient maximale.
Remarque : Une augmentation de l'amortissement provoque une diminution de l'amplitude
Influence de l'amortissement
Graphique:
Les amplitudes des oscillations du résonateur sont toujours maximales à la résonance.
Quelques exemples de résonance mécanique
les amortisseurs des automobiles permettent d'éviter le phénomène de résonance
les immeubles vibrent sous l'action du vent ou des ondes sismiques
les instruments de musique constitués d'une caisse de résonance
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le
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