Fiche de physique - chimie
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Images données par une lentille convergente

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N.B : dans l'ensemble de ce cours, on considérera que les distances sont positives vers "le haut" et vers "la droite".

I. Généralités sur les lentilles minces:

1) Définitions:


Images données par une lentille convergente : image 7

Une lentille est un milieu transparent, limité par deux surfaces sphériques ou une surface sphérique et un plan.
D désigne le diamètre d'ouverture et e l'épaisseur de la lentille.
Une lentille est dite mince si son épaisseur au centre est petite devant son diamètre d'ouverture D.

2) Présentation des deux types de lentilles minces:


Il existe deux types de lentilles minces différentiables aux toucher ou par le biais de méthodes expérimentales que nous n'étudierons pas ici (hors programme).
On distingue les lentilles dites:

convergentes à bords minces que l'on schématise ainsi:
Images données par une lentille convergente : image 1
et ayant pour symbole:
Images données par une lentille convergente : image 3

De gauche à droite on retrouve une lentille plan convexe, une lentille biconvexe et une lentille à ménisque convergent.

divergentes à bords épais que l'on schématisera de cette manière:
Images données par une lentille convergente : image 8
et se symbolisant par:
Images données par une lentille convergente : image 9

Ici, de gauche à droite, on a: une lentille plan concave, une lentille biconcave et une lentille à menisque divergent.


II. Caractéristiques des lentilles minces convergentes:

1) Schématisation et centre optique:


Si la lentille est suffisamment mince, on peut négliger sa partie centrale et elle se réduit donc en un point : le centre optique(O)

1ère propriété :
Tout rayon passant par le centre optique O d'une lentille n'est pas dévié.

Images données par une lentille convergente : image 4

2) Les axes optiques


L'axe principal (ou abusivement axe optique, dénomination utilisée par la suite) est la droite perpendiculaire à l'axe de la lentille et passant par le centre optique O.
Les axes secondaires sont toutes les autres droites passant par le centre optique O.

3) Foyer image et foyer objet


i) Foyer objet F de la lentille convergente:
Un faisceau de rayons incidents issus du foyer principal objet F, situé sur l'axe optique, symétrique de F' par rapport à O, émerge parallèlement à l'axe optique.
Le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par F est appelé plan focal objet.
Tout rayon incident issu d'un point F1 du plan focal objet (F1 désignant donc un foyer secondaire objet) émerge parallèlement à l'axe secondaire F1O.
Images données par une lentille convergente : image 11


ii) Foyer image F' de la lentille convergente:
Tout rayon incident, parallèle à l'axe optique converge en un point F', point remarquable de la lentille, constituant le foyer image de la lentille.
Plan focal image: le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par F' est appelé plan focal image.
Images données par une lentille convergente : image 10


Remarque:
Les foyers F et F' sont symétriques par rapport au centre optique.

4) Distances focales


On appelle distance focale objet la grandeur \text f=\overline{OF} (f < 0 pour une lentille convergente et |f|=f ')
On nomme distance focale image (utilisée en pratique) la grandeur  \text f'=\overline{OF'} mesurée sur l'axe optique orienté dans le sens de propagation de la lumière (f'>0 pour une lentille convergente).

5) Vergence d'une lentille convergente


On appelle vergence C d'une lentille l'inverse de sa distance focale image. La vergence s'exprime en dioptries (symbole \delta).
La vergence est définie par: \text C=\dfrac{1}{f'} où C>0.


Remarque: la distance focale image doit être exprimée en mètres.


III. Image formée par une lentille convergente

1) Objets et images réels et virtuels : définitions


On appelle objet (ponctuel) le point d'intersection des rayons incidents au système optique. Celui-ci est réel si tous les rayons qui lui parviennent sont réels (la source peut être "touchée"). Un objet réel est situé à gauche de la lentille.
Un objet est virtuel si au moins un des rayons qui lui parviennent est virtuel.
Un objet virtuel est situé à droite de la lentille.

L'image d'un objet par une lentille est l'intersection des rayons qui parviennent sur le système optique. Une image est réelle si tous les rayons qui lui parviennent sont réels (elle peut être recueillie sur un récepteur).
Une image réelle est située à droite de la lentille.
Une image est virtuelle si au moins un des rayons qui lui parviennent est virtuel.
Une image virtuelle est située à gauche de la lentille.

2) Schématisation de quelques situations


Objet réel/image réelle:
Images données par une lentille convergente : image 12


Ou encore si on prend un objet modélisé par les points A et B (A étant situé sur l'axe optique et B ne l'étant pas):

Images données par une lentille convergente : image 2


Objet virtuel/image réelle:

Images données par une lentille convergente : image 13


* S est l'objet pour L1
* I' est l'image pour L1
* I' est l'objet pour L2
* I est l'image pour L2
On imagine qu'on rapproche L2 de L1 de telle sorte que I' se forme après L2:

Images données par une lentille convergente : image 14


I' est alors un objet virtuel pour L2.

Image d'un objet situé en avant de F:
Images données par une lentille convergente : image 5

L'image A'B' obtenue est renversée (de sens contraire à l'objet), plus grande ou plus petite que l'objet.
On peut l'observer en plaçant un écran dans son plan focal image.

Image d'un objet situé entre O et F:
Images données par une lentille convergente : image 6


Le point B' est à l'intersection des prolongements des rayons émergents.
L'image est droite (de même sens que l'objet), toujours plus grande que l'objet. Elle ne peut être vue que par un observateur placé derrière la lentille.


IV. Relations de conjugaison et grandissement:

1) Propriétés générales des systèmes centrés: stigmatisme et aplanétisme:


Un système est dit centré s'il possède un axe de symétrie.

i) Stigmatisme et aplanétisme:
Un système centré est stigmatique si l'image d'un objet ponctuel est elle-même ponctuelle.
Un système centré est aplanétique si l'image d'un objet plan et perpendiculaire à l'axe optique est elle-même plane et perpendiculaire à l'axe optique.

ii) Stigmatisme approché dans les conditions de Gauss:
Les lentilles sont des systèmes non rigoureusement stigmatiques. Néanmoins les lentilles réalisent un stigmatisme approché dans les conditions de Gauss.

Conditions de Gauss: elles sont obtenues lorsque les rayons incidents sont peu inclinés sur l'axe et peu écartés de celui-ci.


Remarques:
Les écarts à ces conditions sont appelés aberrations géométriques;
Conséquences mathématiques: cos \alpha \approx 1, sin \alpha \approx \alpha, tan \alpha \approx \alpha

2) Constructions géométriques:


Construction de l'image de AB:
Images données par une lentille convergente : image 5


On utilise les propriétés de trois rayons particuliers:
le rayon qui passe par le centre optique de la lentille n'est pas dévié (ici le rayon rouge);
le rayon issu de B et parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image F' (ici le rayon vert);
le rayon issu de B et passant par F, émerge parallèlement à l'axe optique (ici le rayon bleu).

Remarque: Deux rayons suffisent pour établir la position d'un objet ou d'une image. Néanmoins, le tracé du troisième rayon peut permettre d'effectuer une vérification simple de la justesse du raisonnement.

3) Grandissement \gamma:


On considère le même schéma que précédemment.
Par définition:
\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}


Le grandissement est une grandeur sans dimension et une grandeur algébrique.
Si \gamma > 0, l'image est droite.
Si \gamma < 0, l'image est renversée.
Pratiquement, on utilise davantage la relation suivante: \gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} (qu'on démontre grâce au théorème de Thalès).

4) Formules de conjugaison:


Ces formules donnent la relation entre la position de l'image et celle de l'objet.

Images données par une lentille convergente : image 5


Formule de conjugaison avec origine au sommet (ou centre) O dite de Descartes:
\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\overline{OF'}}



On retrouve également cette relation sous la forme \dfrac{1}{p'} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{f'} en posant  \overline{OA} = p, \overline{OA'} = p' et \overline{OF'} = f'

Une autre variante de ces formules de conjugaison est la formule de Newton, appelée également "formule de conjugaison avec origine aux foyers": \overline{FA} \times{\overline{F'A'}} = -f'^2

Démonstration à partir du grandissement : \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'O}}

d'après la dernière égalité, on retrouve donc : \overline{F'O} \times{\overline{OA}} + \overline{OA'} \times{\overline{OA}} = \overline{OA'} \times{\overline{F'O}} et (\overline{OA'} - \overline{OA}) \times{\overline{OF}} = \overline{OA'} \times{\overline{OA}}

ce qui permet de remonter à la relation suivante : \frac{\overline{OA'} - \overline{OA}}{\overline{OA'} \times{\overline{OA}}} = \frac{1}{\overline{OF'}} et donc d'obtenir la forme de la formule de conjugaison donnée plus haut : \dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\overline{OF'}}

N.B : attention, veuillez noter que cette relation s'applique à la figure donnée dans ce paragraphe (il est possible d'obtenir un signe "+" dans certains cas). N'hésitez pas à refaire cette démonstration afin de la comprendre et de retrouver aisément la formule dans les cas auxquels vous faites face..
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shadowmiko Correcteur
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doudou87
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