Bonjour,

est l'énergie de repos d'une particule, c'est à dire dans le repère où sa vitesse est nulle.

Dans le cas général, ,où est l'impulsion de la particule (et ).

D'autre part, la masse est un invariant relativiste. C'est l'inertie d'une particule qui dépend de sa vitesse, pas sa masse.

Merci de ta réponse.

Le résultat que je trouve ne me convainc pas.

\text{ On a , $v$ étant égale à $c$, }\\\begin{align*}
E=\frac{1}{2}mv^2&\text{ ssi }\bigg(1-\frac{v^2}{c^2}\bigg)\times m^2v^2c^2+m^2c^2=\sqrt{\frac{1}{2}mv^2}\\ \phantom{E=\frac{1}{2}mv^2}&\text{ ssi }m^2v^2c^2-m^2v^4+m^2c^2=\sqrt{\frac{1}{2}mv^2}\\ \phantom{E=\frac{1}{2}mv^2}&\text{ ssi }m^2c^4-m^2c^4+m^2c^2=\sqrt{\frac{1}{2}mc^2}\\ \phantom{E=\frac{1}{2}mv^2}&\text{ ssi }m^2c^2=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\sqrt{m}\times c\\  \phantom{E=\frac{1}{2}mv^2}&\text{ ssi }m^2c=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\sqrt{m}\\  \phantom{E=\frac{1}{2}mv^2}&\text{ ssi }\sqrt{m}^3=\frac{1}{c\sqrt{2}}\\  \phantom{E=\frac{1}{2}mv^2}&\text{ ssi }m=\sqrt[3]{\frac{1}{c\sqrt{2}}}^2\end{align*}

Cela n'est pas très convainquant... Je n'ai pas vérifié si il y a des erreurs dans mon calcul (ce qui est sûrement le cas), ni même tenté d'appliquer mon résultat à l'équation de base, car je doute fort être dans la bonne voie...

C'est pas facile à lire

E² = p²c² + mo²c^4 (avec mo la masse au repos dans le référentiel d'étude)

avec p = [(1/Rac(1 - v²/c²)].mo.v

E² = mo².v²c²/(1 - v²/c²) + mo²c^4

E² = mo².v².c^4/(c² - v²) + mo²c^4

E² = mo².c^4[v²/(c²-v²) + 1]

E² = mo².c^4[c²/(c²-v²)]

E = mo.c².Racine[c²/(c²-v²)]

L'énergie au repos (v = 0) est donc : Eo = mo.c²

L'énergie nécessaire pour amener une particule de masse mo du repos à la vitesse v est donc:

Delta E = mo.c².Racine[c²/(c²-v²)] - mo.c²

Delta E = mo.c².[Racine(c²/(c²-v²)) - 1]

Supposons que v = a.c (avec a dans [0 ; 1[

Delta E = mo.(v²/a²).[Racine((v²/a²)/(v²/a²)-v²)) - 1]

Delta E = mo.(v²/a²).[Racine(1/(1-a²)) - 1]

Et lim(a --> 0) (Delta E ) = mo.v².lim(a --> 0) [(Racine(1/(1-a²)) - 1)/a²] = 1/2.mo.v²

Donc, à vitesse très petite devant c, on retrouve bien Ec = (1/2).m.v²
-----
Ancienne notion de "masse relativiste" :

A partir de E = mo.c².Racine[c²/(c²-v²)]
on pourrait considérer que tout se passe comme si la masse à la vitesse v devenait égale à mo.Racine[c²/(c²-v²)]

Et avec v = 0,1.c, on aurait m = mo.Racine[c²/(c²-v²)] = mo.Racine[c²/(c²-(0,1c)²)] = mo.Racine[1/(1-0,01)] = 1,005.mo
Donc tout se passe comme si la masse à la vitesse 0,1c était 0,5 % plus grande que la masse au repos.

Et avec v = 0,9.c, on aurait m = mo.Racine[c²/(c²-v²)] = mo.Racine[c²/(c²-(0,9c)²)] = mo.Racine[1/(1-0,81)] = 2,29.mo
Donc tout se passe comme si la masse à la vitesse 0,9c était plus que 2 fois grande que la masse au repos.


Certains ont introduit (dans le passé) la notion de masse relativiste : m = mo.Racine[c²/(c²-v²)] (qui revient à mo.gamma)

Mais on a abandonné cette manière de présenter les choses depuis déjà longtemps.

On a abandonné le vocable de "masse relativiste".

On préfère considérer la masse comme un invariant relativiste, mais les conséquences de la relation E = mo.c².Racine[c²/(c²-v²)] restent les mêmes.

Elles indiquent entre autre, que l'énergie nécessaire pour amener une particule de masse mo du repos à une vitesse proche de la vitesse de la lumière tend vers + l'infini.

En effet lim(a --> 1)  E = mo.(v²/a²).[Racine(1/(1-a²)) - 1] = +oo
-----

Sauf distraction.  

Merci beaucoup ! Après avoir beaucoup galéré à retrouver la limite en 0, j'ai enfin compris !

J'ai donc la démonstration que je voulais, c'est parfait. En revanche, je n'ai pas compris une chose. Tu as indiqué que, depuis peu, on considère la masse comme un «invariant relativiste», mais que le fait que si, entre autres, v=0.1, alors m=0.5mo, reste valable.
Je n'ai compris ce point.

En relisant ma feuille, il y a une étape qui me gène...

Vous avez dit que on pourrait considérer que tout se passe comme si la masse à la vitesse v devenait égale à mo.Racine[c²/(c²-v²)].
J'ai retrouvé ce résultat en écrivant que .
Mais pourquoi peut-on écrire cette égalité ? Qu'est-ce que E=mc² vient faire ici ?

L'énergie d'une particule au repos est Eo = mo.C²

L'énergie d'une particule animée d'une vitesse v est est E = mo.c².Racine[c²/(c²-v²)]

A partir de là, on avait construit le concept de masse relativiste m = mo.Racine[c²/(c²-v²)]

On pouvait alors simplifier l'écriture de la relation complète qui est : E² = p²c² + m2c^4 et l'écrire simplement E = mc² ... mais avec ici m la "masse relativiste", donc m = mo.c².Racine[c²/(c²-v²)]  (mo étant la masse au repos de la particule dans le référentiel considéré).
-----

On a "abandonné" cette manière de faire (donc de considérer une masse variant avec la vitesse").

On a préféré abandonner le concept de masse variant avec la vitesse pour éviter toute confusion.

Donc, maintenant on considère la masse comme invariant, elle ne dépend pas de la vitesse, sa caleur est celle de mo dans le début de ce message ... mais elle sera dorénavant notée m et considérée fixe.

Donc on a maintenant : E = m.c².Racine[c²/(c²-v²)] avec m la masse considérée comme invariante.

Mais cela ne change en rien les conséquences, c'est juste une manière différente de présenter les choses.

D'accord, j'ai compris ! En fait, on pose m=... pour avoir le fameux E=mc²...
Compris pour le reste.

Merci beaucoup à vous deux, joyeux noël un peu en retard et bonne année un peu en avance !