Enoncé incomplet.

Il vous manque quelles données ?

Par exemple la longueur du canon et la direction du tir.

... et la masse de la balle.

Longueur de canon de 2 cm je pense, après je modifierais quand j'aurais la valeur exact, tir vertical et c'est une bille d'acier, avec une masse volumique de 7,85 kg/m3

Donc une masse de 0,000033 kg = 0,03 g

Aire de la section de la balle perpendiculaire à l'axe du canon : S = Pi.D²/4 = Pi.10²/4 = 78,5 mm² = 78,5.10^-6 m²

F = Pression * S = 10^5 * 78,5.10^-6 = 7,85 N

Travail de F sur la longueur du canon L (en m) : W = 7,85.L J

Et donc (hors frottement), l'énergie cinétique de la balle à la bouche du canon est Ec = W - mgL = 7,85.L - mgL (si canon vertical pointé vers le haut).

50 cm plus haut que la bouche du canon, l'énergie cinétique de la balle est : Ec' = 7,85.L - mgL - mg*0,5.
Soit V1 la vitesse du projectile à cet instant (hors frottement) :

(1/2).m.V1² = 7,85.L - mgL - mg*0,5

V1² = 15,7.L/m - g.(2L + 1)

Avec les données numériques :

Volume = 4/3.Pi.R³
m = 4/3.Pi.R³ * Rho = (4/3)*Pi*(0,005)³ * 7850 = 0,0041 kg (et pas ce que tu as écrit)

V1² = 15,7*0,02/0,0041 - 9,81.(2*0,02 + 1)
V1² = 66,38
V1 = 8,1 m/s
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Sauf distraction.  

Génial ! je viens de faire des calculs pour différentes pression et différentes diamètres de billes, je trouve des valeurs proche des valeurs expérimentales avec tout de même quelques variations surement du aux expériences pas forcément réalisé dans de super conditions.

En tout cas merci beaucoup pour ton temps

Si, dernière question, quand je fais le graphique vitesse en fonction de la pression avec une bille de 10 mm et une hauteur de 50 cm on voit clairement que jusqu'à une pression de 3 bar la vitesse diminue et qu'à partir de 3 bar elle remonte exponentiellement. Le point minimum serait-il le point a partir duquel la bille touche la cible a 50 cm ?

Oubliez mon dernier message je me suis trompé, merci beaucoup

S = Pi.D²/4

F = P * Pi.D²/4

W = P * Pi.D²/4 * L

1/2.m.v² = P * Pi.D²/4 * L - mg(L+0,5)

v² = P * Pi.D² * L/(2m) - 2g(L+0,5)

v = racinecarrée[P * Pi.D² * L/(2m) - 2g(L+0,5)]

Si L = 2 cm ??
avec D = 1 cm
et m = 4,1 g

v = racinecarrée[P * Pi.D² * L/(2m) - 2g(L+0,5)]
v = racinecarrée[7,66.10^-4.P - 10,2] avec P en Pascal

v = racinecarrée[76,6.P - 10,2] avec P en bars
vitesse (en m/s) à 50 cm plus haut que la bouche du canon.

Cette fonction n'existe que pour P >= 0,133 bars et est strictement croissante avec P.
P est évidemment une pression différentielle.

Attention qu'un tel bidule est dangereux.

Pas de problème, c'est pour mon boulot