Bonjour Angel92,
ce n'est pas tres difficile. Je ne sais pas bien sur quelle methode ton prof a suivie pour traiter ca, aussi je vais te proposer la mienne (c'est peut-etre la meme !).
En seconde, on connait : 1) les fonctions lineaires ou affines ; 2) le theoreme de Pythagore. Alors on va essayer de se debrouiller avec ca.

Dessine un systeme d'axes dont l'origine O est placee au centre de la feuille (mais inutile de prendre une feuille entiere pour ca, 1/4 de page suffira). L'axe des abscisses (horizontal) est la route ouest-est suivie par la Peugeot qu'on notera P, et l'axe vertical (ordonnees) celle suivie par la Ford (notee F). O est bien sur le croisement des deux routes.

Sur ton schema place deux points, P₀ qui represente la position de P a l'instant initial (donc a 13 heures), et F₀ qui represente celle de F au meme instant.
Premier piege : OF0 est positif (puisque F va vers O et vers le sud), donc OF₀ = + 200 en prenant le km pour unite de longueur. Tandis que P₀ est a gauche de O (P va d'ouest en est), donc OP₀ = - 200. OK ?

Maintenant on appelle x = OP la position de P a un instant t ulterieur a 13 heures, et y = OFcelle de F au meme instant. Il s'agit d'ecrire les lois horaires du mouvement de chacune des voitures. Les lois horaires cherchees sont x = f(t) et y = f(t). Je t'explique comment il faut faire pour F, tu chercheras ensuite celle de P.

La fonction y(t) est une loi lineaire selon la variable t (puisque, la vitesse de F etant constante, y varie - diminue ici - regulierement au cours du temps). Je l'ecris donc y(t) = at + b.
- Le terme b represente la valeur de y lorsque t est nul, c'est donc PF0 = + 200 ;
- le terme a represente le taux ce variation de y en fonction du temps (on l'appelle aussi taux d'acrroissement, ou coefficient directeur, mais avec la reforme des programmes de maths inauguree cette annee je ne sais plus quelle est l'appellation en vigueur... desole !). En tout cas, a est donne par la vitesse de F, donc a = v, avec v = 40 km/heure. Maintenant, attention car la distance FO diminue (F se rapproche du carrefour). Je dois donc ecrire OF = y = 200 - vt. Si tu ne comprends pas bien, renvoie-moi un message. Si tu as compris, tu dois pouvoir tout seul recopier ce raisonnement pour trouver la loi x(t) qui donne le mouvement de P.

Ceci fait, on exprime la distance PF avec le theoreme de Pythagore : PF² = d² = x² + y^y. Inutile d'en prendre la racine carree, puisqu'on cherche le minimum de cette quantite. Dans d² il y a des termes en t et des termes en t², donc ce n'est pas facile au niveau seconde de rechercher la valeur de t qui donne d² minimum (ca ira mieux l'an prochain quand tu auras etudie les derivees). Je te conseille donc de programmer la relation donnand d² sur une calculette, et d'essayer plusieurs valeurs de t jusqu'a ce que tu trouves la bonne. Un tableur permettrait d'ailleurs d'aller plus vite.

Pendant que je tape ces explications, il me vient une autre idee pour traiter cet exercice, mais elle utilise la notion de vitesse relative et je ne sais pas si c'est vu en seconde.

Si tu ne t'en sors pas avec mes indications, dis-le moi et envoie-moi en qqes phrases le corrige de ton prof et ce que tu ne comprends pas dedans ; je t'enverrai alors mon propre corrige et t'expliquerai ce que tu n'as pas compris.

A bientot, prbebo.

Bonjour Pebebo,
deja merci pour tn aide et desolé de répondre si tard.
je ne comprend pourquoi OPO= -200 car à 13h la peugeot est à 100 km de O et que je ne comprends pas le signe car il va dans le sens positif

Mon professeur lui nous a dit:
d²=y²+x²= (-40t+200)² + (40t-100)²
et il a preciser que la distance est minimal quand d/dt(d²)=0

Mais vous ne trouvez pas les mêmes équations que lui

Bonjour Angel92,

en effet dans mon message du 28/04 il y avait une erreur sur la valeur numerique de OP₀ : c'est 100 au lieu de 200 (en km bien sur). En revanche pour le signe c'est simple : le point P₀ est a gauche de O (puisque a l'ouest de O), donc OP₀ est bien negatif. Le fait que la Peugeot se deplace dans le sens positif n'a rien a voir avec sa position initiale : cette info donne seulement le signe de sa vitesse.

Si on recapitule, l'equation horaire de la Ford est y(t) =200 - vt, et celle de la Peugeot x(t) = -100 + vt, avec v = 40 (dans ces deux relations, les distances sont en km et les temps en heure). Il me semble que, a la faute de frappe sur OP₀ pres, c'est en accord avec la solution de ton prof ?

En calculant d² = x² + y², j'obtiens une expression de la forme d² = a.t² - bt + c, avec a = 3200, b = 24000 et c = 50000.

La distance d sera minimale lorsque son carre le sera aussi, donc on derive d² par rapport a t et on annule cette derivee. Calcul enfantin pour un eleve de terminale (moi je trouve). On obtient d(d²)/dt = 2at - b, nul pour t₁ = b/2a = 3,75 heures (soit 3h et 45 mn). En reportant cette valeur de t₁ dans l'expression de d², on obtient sans peine d = 70,7 km.

Dans mon message precedent je t'avais parle d'une autre methode : elle consiste a utiliser la composition des mouvements : on se place sur l'une des deux voitures, par exemple la Peugeot. A ton avis, quelle est pourc et  observateur la trajectoire rectiligne suivie par la Ford ? Une fois ceci trouve, on trace la distance mimimale HP₀ separant la Peugeot de cette droite et on tombe directement sur d.

Corrige complet demain ou lundi, car beaucoup d'eleves attendent leur tour...  prbebo,.

Bonjour prbebo,
en effet on trouve ce qu'on mon professeur avait fait mais là j'ai mieux compris la méthode, pour la seconde methode par contre je ne vois pas du tout.

Je vous remercie de votre patience et de toute votre aide

Bonjour Angel,

est-ce que en seconde on etudie les mouvements relatifs (ou encore la composition des vitesses) ? Sinon ce n'est pas grave : l'autre methode consiste a imaginer un passager place dans l'une des deux voitures, la Peugeot par exemple. Dans ce cas il est immobile par rapport a cette voiture, mais voit la Ford se deplacer sur une certaine trajectoire et avec une certaine vitesse. Essaie d'imaginer quel est le mouvement de la Ford pour ce passager de la Peugeot. Reponse complete demain, car cet am je suis vraiment trop occupe.

Bon courage et a demain,  BB.

Bonjour prbebo,
non les compositions de vitesse me dise rien, mais bon la seconde ca fait un moment mais ce nom me dit rien.
j'ai vraiment du mal à m'imaginer le probléme avec une voiture immobile du fait qu"on veut le moment ou elles seront séparées par une distance minimale.

en tout merci pour toute l'aide et les explications que vous m'avez donné, j'ai compris la methode du premier cas

Bonjour Angel,

je ne t'ai pas oublie, mais j'ai eu une journee chargee hier. Comme promis, Voici ma deuxieme methode pour chercher la distance d minimum entre les deux voitures, ainsi que l'instant t1 ou ce se produit. Suis bien les explications et retiens la methode, car elle te resservira surement plus tard.

Comme dit precedemment, il faut se placer sur l'une des voitures et observer le mouvement de l'autre ; par exemple je me place sur la Peugeot et je regarde la Ford (on appelle ca "etudier le mouvement relatif de la Ford par rapport a la Peugeot").
Pour ca, il faut se munir d'une feuille de papier normal (un surface de 10x10 cm suffira) et d'une feuille de papier calque (un peu plus grande).

1 - Voir le schema 1 ci-dessous : sur la feuille de papier tu traces 2 axes, ouest-est horizontal, nord-sud vertical. Tu places les points de depart F₀ et P₀ en respectant les distances OF₀ = 2.OP₀. Tu portes sur les deux axes des graduations equidistantes qui representent les positions des deux voitures a des intervalles de temps egaux (comme les vitesses sont les memes, les graduations sont identiques sur les deux axes).

2 - Schema 2 : Sur le calque, tu traces un axe horizontal sur lequel tu portes le point P₀ de depart de la Peugeot. OK ?
Ensuite, sur chacune des graduations de l'axe O-E, tu places le point P0 du calque, tu fais coincider les deux axes horizontaux et tu reportes la position de F au meme instant. Avec 4 ou cinq points, tu verras que les positions de la Ford se placent sur une droite inclinee a 45 degres.

3 - Schema 3 : j'ai represente la trajectoire F₀A de la Ford vue par un passager de la Peugeot. Tu vois immediatement que la Ford passe au plus pret de la Peugeot quand elle est en H, donc OH est la distance d demandee.
Puisque l'angle OF₀A vaut 45 degres, le triangle OAF₀ est rectangle et isocele, donc AO = 200 km, et comme OP₀ en vaut 100, on trouve sans peine que AP₀ = 100 km.
Le triangle AHP₀ est lui aussi rectangle isocele (1 angle de 90 degres et deux de 45). La distance P₀H vaut donc 100 x cos(45) = 100 x 2/2 = 70,7 km. C'est ce qu'on avait trouve precedemment, mais au bout d'un calcul bien plus complique (ecriture des lois horaires x(t) et y(t), d² = x² + y², puis derivee...).

Que penses-tu de cette methode ? Sur le schema 4 je t'ai dessine la vitesse relative de la Ford par rapport a la Peugeot : les vitesses V_P et V_F par rapport a un observateur fixe sont les vecteurs respectivement horizontal vers la droite et vertical vers le bas ; le vecteur V' = V_F - V_P se place alors a 45 degres des deux premiers : je l'ai  reporte sur le schema 3, car c'est lui qui represente la vitesse de F pour un observateur place sur P.

La feuille de papier calque a servi a faire la soustraction des deux mouvements (celui de F - celui de P), puisque tu l'as deplacee en la faisant  coincider avec P a chaque instant !

J'attends tes reactions.  Au plaisir,  BB.

C'est encore moi, car je ne savais pas qu'on avait droit a 3 documents attaches au maximum. Voici donc le dernier schema.  Au plaisir de lire tes reactions.  BB.

Je vois aussi que les deux premiers schemas ne sont pas passes, alors qu'ils apparaissaient correctement en faisant l'apercu du message avant de le poster. Je te reposte donc les schemas 1 et 2. Du coup ca fait desordre, et j'espere que Coll va faire le menage dans tout ca !  BB.

Edit Coll : images déplacées, pour "faire un peu de ménage"

Bonjour prbebo,
je viens de lire attentivement la méthode je l'ai même refait sur un calque. Je trouve bien tout pareil.
Il est vrai que cette méthode est bien plus facile mais je n'ai pas souvenir avoir deja employé une méthode identique.
Je pense que si je tombe sur un exercice similaire j'emploirai la seconde méthode.

En tout cas toutes vos explications et schémas m'ont permis de tout bien comprendre.
Je vous remercie pour le temps que vous m'avez accordé.
Passez une bonne journée
Et peut être à bientôt si je recontre un autre difficulté dans mes révisions de physique