Comment fais-tu pour passer de PV = nRT à ln(P).ln(V) = ln(nR).ln(T) ??????

C'est original ... mais évidemment faux.

Si on veut, à partir de PV = nRT, on a : ln(P) + ln(V) = ln(nR) + ln(T), c'est quand même un poil différent de ce que tu as écrit.
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S ln(p) dp

On résout par une IPP (intégration par parties)

Poser ln(p) = u ---> du = dp/p
et poser dp = dv ---> v = p

S ln(p) dp = p.ln(p) - S p dp/p
S ln(p) dp = p.ln(p) - S dp
S ln(p) dp = p.ln(p) - p
S ln(p) dp = p.(ln(p) - 1)

F(p) = p.(ln(p) - 1) est une primitive de f(p) = ln(p)

Et donc je ne comprends pas non plus ta phrase : "je necomprends pas pourquoi lorsque que l'on intègre ln P devient lnP/P"
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Sauf distraction.