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Trouver la phase (filtre du second ordre)
Bonsoir tout le monde !
Je fais encore appel à vous car j'ai un souci avec les filtres du second ordre pour trouver la phase.
Lorsque c'est du 1er ordre, la prof écrit que 
= N - D (pour N : numérateur et D : dénominateur).
Généralement, N = 0 ou pi/2 ou -pi/2, et pour D, avec un dénominateur de la forme a + jb, on a D = Arctan(b/a). Soit.
Mais lorsque c'est du deuxième ordre, elle fait une vérification pour savoir à quel quart du cercle trigo phi appartient ? Pourquoi ? Et surtout, comment ?
Dans le cours, avec l'exemple qu'elle a pris, elle nous a fait écrire que comme tan D = x/Q(1-x), avec x = w/w0, on a sin D >= 0, donc D E [0;pi]. Comment obtient-elle ce résultat ?
On lui a bien demandé des explications (à plusieurs reprises), mais elle a toujours éludé la question, et nous a même une fois fait comprendre que si on ne trouvait pas ça évident, on n'avait pas notre place en prépa. Sans commentaire.
Un peu plus loin, elle a mis : tan D = x/Q(1-x²), donc dD/dx > 0. Soit, je retrouve bien ça en dérivant. Mais pourquoi n'a-t-elle pas appliqué cette méthode la première fois ?
En espérant que vous pourrez m'éclairer,
merci d'avance, Alsyia.
Le hic est qu'une tangente est Pi périodique et que donc, il existe 2 angles (décalés de Pi) qui ont la même tangente. (à 2k.Pi près)
Soit z = a + ib
on peut écrire z = V(a²+b²).e^(i.Phi)
a)
Si a > 0, alors phi = arctan(b/a) (à 2kPi près)
b)
si a < 0, alors phi = arctan(b/a) - pi (à 2kPi près)
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Exemple:
Soit la réponse d'un filtre mise sous la forme : H = A/(1 + jwB + j²w²D²)
avec A, B et C des réels.
Phi(H) = Phi(A) - Phi((1 + jwB + j²w²D²))
Phi(H) = Phi(A) - Phi((1-w²D²) + jwB)
Si A est positif --> Phi(A) = 0
Si A est négatif --> Phi(A) = Pi
Pour Phi((1-w²D²) + jwB) :
Si 1-w²D > 0, alors phi((1-w²D²) + jwB) = arctg(wB/(1-w²D²))
Si 1-w²D < 0, alors phi((1-w²D²) + jwB) = arctg(wB/(1-w²D²)) - Pi
On peut alors calculer Phi(H) = Phi(A) - Phi((1 + jwB + j²w²D²)) à partir de ce qui précède.
On trouve évidemment Phi(H) à 2k.Pi près.
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exemple numérique:
Soit à trouver le Phi de z = a + ib
a) z = 2 + 3i
a = 2 > 0 ---> Phi = arctg(3/2) = 0,982... rad
b) z = 2 - 3i
a = 2 > 0 ---> Phi = arctg(-3/2) = -0,982... rad
c) z = -2 + 3i
a = -2 < 0 ---> Phi = arctg(3/(-2)) - Pi = -0,982 - Pi = -4,124 rad (qu'on peut ramener à -4,124 + 2Pi = 2,158... rad)
d) z = -2 - 3i
a = 2 < 0 ---> Phi = arctg(-3/(-2)) - Pi = 0,982 - Pi = -2,156... rad
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Autre méthode :
Il faut évaluer le quadrant où se trouve Phi
z = a + ib
z = V(a²+b²).e^(i.Phi)
z = V(a²+b²).(cos(Phi) + i.sin(Phi))
Si la partie réelle de z est > 0 et la partie imaginaire de z est > 0, alors Phi est dans le 1er quadrant.
Si la partie réelle de z est > 0 et la partie imaginaire de z est < 0, alors Phi est dans le 4eme quadrant.
Si la partie réelle de z est < 0 et la partie imaginaire de z est > 0, alors Phi est dans le 2eme quadrant.
Si la partie réelle de z est < 0 et la partie imaginaire de z est < 0, alors Phi est dans le 4eme quadrant.
on a tg(Phi) = b/a
On a Phi = arctg(b/a) + k.Pi
et on prend la valeur de k pour ramenre Phi dans le quadrant adéquat avec ce qui précéède.
Je recommence le même exercice numérique par cette méthode.
a) z = 2 + 3i
partie réelle > 0 et partie imaginaire > 0 ---> Phi est dans le 1er quadrant.
artg(b/a) = arctg(3/2) = 0,982... qui est dans le 1er quadrant ---> Phi = 0,982... rad
b) z = 2 - 3i
partie réelle > 0 et partie imaginaire < 0 ---> Phi est dans le 4eme quadrant.
artg(b/a) = arctg(-3/2) = -0,982... qui est dans le 4eme quadrant ---> Phi = -0,982... rad
c) z = -2 + 3i
partie réelle < 0 et partie imaginaire > 0 ---> Phi est dans le 2eme quadrant.
artg(b/a) = arctg(3/(-2)) = -0,982...
On a donc Phi = -0,982.. + k.pi et on doit choisir k pour être dans le 2eme quadrant ---> ici k = 1
Phi = -0,982.. + Pi = 2,158... rad
d) z = -2 - 3i
partie réelle < 0 et partie imaginaire < 0 ---> Phi est dans le 4eme quadrant.
artg(b/a) = arctg(-3/(-2)) = 0,982...
On a donc Phi = 0,982.. + k.pi et on doit choisir k pour être dans le 4eme quadrant ---> ici k = 1
Phi = 0,982.. + Pi = 4,123... rad (équivalent évidemment à 4,123 - 2Pi = -2,156... rad)
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Il existe encore d'autres méthodes.
Peu importe celle choisie pourvu qu'on la maîtrise bien.
Sauf distraction 
Bonjour,
Ah, merci, j'y vois beaucoup plus clair !
Donc, si j'ai = -D, avec D = arg(1-x² + jx/Q), lorsque x est très grand devant 1 :
1-x² < 0, donc D = Arctan( (x/Q) / (1-x²) ). Comme x >> 1, 1 - x² ~ -x², donc l'intérieur de l'Arctan tend vers 0, donc D = -Pi, donc = Pi.. Ca colle pas, la prof a mis -Pi pour Phi. J'ai loupé quelquechose... Ou alors, c'est parce que c'est bon à 2Pi près ?
Deuxième méthode : PhiD appartient au deuxième quadrant, donc PhiD = Arctan ( x/Q(1-x² ). Et je devrai sans doute ajouter Pi pour me retrouver dans le deuxième... J'ai bon ?
Merci encore, en tout cas.
Phi(D) = arg(1-x² + jx/Q),
Si x² > 1, alors le réel est négatif.
Ma 1ere méthode donne alors : Phi(D) = arctan((x/Q)/(1-x²)) - pi (à 2kPi près)
Si on a x² > > > 1, alors Phi(D) = arctan((x/Q)/(-x²)) - pi = arctan((-1/(Qx)) - Pi
Dans le cas où Qx > > > 1, alors alors Phi(D) = arctan((x/Q)/(-x²)) - pi = arctan(0) - Pi = -Pi (à 2 k.Pi près)
Et Phi = - Phi(D) = Pi (à 2 k.Pi près) ---> -Pi si on veut.
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2 eme méthode :
Phi(D) = arg(1-x² + jx/Q)
Si x² > > 1 le réel (1-x²) < 0 et l'imaginaire (x/Q) est > 0 ---> Phi(D) est dans le 2 eme quadrant
Phi(D) = arctan((x/Q)/(-x²)) + k.Pi (avec k pour ramener Phi dans le 2emme quadrant)
Si on a aussi (comme autre méthode) Qx > > > 1, alors alors Phi(D) = arctan(0) + k.pi = k.Pi (avec k pour ramener Phi dans le 2eme quadrant)
Phi(D) = - Pi ou Pi
Et Phi = - Phi(D) = Pi (à 2 k.Pi près) ---> -Pi si on veut.
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Sauf distraction.
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