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travail de la force de pesanteur
Dans le cadre des intégrales, le prof nous a donné à faire un dm :
le point M de masse m kg se déplace sur la droite horizontale graduée, entre R et plus l'infini.
on désigne par
g l'accélération de la pesanteur à la surface de la terre (en m/s)
gx l'accélération de la pesanteur à la distance x du centre O du cercle
R le rayon de la Terre (en m) et x la distance OM
[il y a une figure avec un cercle de centre o, de rayon R et une demi-droite horizontale ayant pour origine O et qui va vers la droite]
1-déterminer l'expression de l'accélération Gx en fonction de g, R et x, sachant que gx est inversement proportionnelle au carré de la distance OM
2-en déduire l'énergie que l'on doit apporter à M pour l'écarter de la Terre d'une longueur dx supposée infinitésimale. on supposera donc que l'accélération gx est constante sur le trajet dx.
3-a l'aide du calcul intégral, déterminer l'expression de l'énergie Eh nécessaire à une élévation de h mètres à partir du niveau du sol. montrer l'égalité : Eh = gmRh/(R+h)
4-déterminer E(infini)qui est l'énergie qu'il faut apporter à M pour le transporter de la surface de la Terre à l'infini.
5-pour quelle valeur de h a-t-on Eh=0.5E(infini)
la vitesse de libération est la vitesse conférant à M une énergie cinétique égale à E(infini). c'est donc la vitesse minimale qui, à un projectile lancé depuis le sol, lui permet d'échapper à l'attraction de la pesanteur (en réalité, il faudrait aussi considérer la résistance de l'air qui est très importante)
6-donner l'expression algébrique de cette vitesse, puis sa valeur numérique en km/h et en Mach (Vson=340 m/s)
7-utiliser les résultats précédents pour déterminer la vitesse de libération de la Lune (résultat parfaitement réaliste du fait de l'absence d'atmosphère autour de cette planète)
8-déterminer l'énergie de la liaison Terre-Lune, c'est-à-dire l'énergie qu'il faudrait apporter à la lune pour l'écarter de la terre à l'infini.
DONNEES :
masse terre : Mt=6x10(puissance 24) kg
masse lune : Ml=1/81 x Mt
rayon de la lune : Rl=1736 km
distance centre de la terre - centre de la lume : Dtl=384400 km
j'ai essayé de le faire :
1-je trouve gx=gxR²/x²
2-je trouve E=mgR²⌠dx/x²
3-j'arrive à l'égalité à montrer
4-je trouve E(infini)=gmR
5- h=R
mais je bloque pour le reste des questions (en sachant qu'il faut utiliser que les données qu'on a je pense), est-ce vous pouvez m'aider?
merci d'avance
bonjour Teerminale,
c'est avec plaisir que je vais t'aider pour la fin de ton probleme, car tu as fait l'essentiel du travail. Tes reponses pour les 5 premieres questions sont bonnes, je vais juste te donner les miennes avec des notations qui permettront de faire la question 8 sans se tromper :
1 - g(x) = G.MT/x2, ou G est la cste de gravitation (6,672 x 10-11 SI, mais on ne s'en servira pas puisque l'enonce ne la donne pas), et MT la masse de la Terre. Au sol, quand x = RT (rayon de la Terre), on a evidemment g = 9,81 m.s-2 que je nomme gT.On trouve alors facilement que G.MT = gTRT, ce qui fournit pour g(x) l'expression g(x) = gT.RT2/x2. Donc bonne reponse.
2 - Pour ecarter une masse m d'une petite quantite dx, il faut lui apporter l'energie dE = m.g(x).dx : OK, mais n'oublie pas que dE est une quantite tres petite. Remarque : c'est bien une energie qu'on apporte, car il faut lutter contre le champ de pesanteur qui tend a ramener la masse m au niveau du sol.
3 - On integre dE entre x = RT et x = RT+h et on trouve sans difficulte le resultat donne dans l'enonce, sachant que la primitive de dx/x2 est -1/x.
4 - Je vais modifier legerement l'enonce de la question, en cherchant l'energie qu'il faut apporter a la masse m pour la deplacer depuis la distance x0 jusque l'infini. La primitive precedente est donc calculee entre x = x0 et x tres grand. Tu verifieras qu'on obtient facilement E = m.gT.RT2/x0.
Bien entendu j'eb deduis la reponse a la question de l'enonce en faisant x0 = RT, ce qui donne E = m.gT.RT, reponse que tu as donnee.
5 - OK, pas de pb.
Maintenant on passe a la suite, mais je corrige ton enonce en remplacant "projectile lance depuis le sol" par "lance depuis la distance OM = x0". La nuance est de taille, car elle permettra de traiter la question 8 (on ne peut pas dire que la Lune soit au niveau du sol terrestre..).
Le principe est de dire que l'ernergie necessaire pour echapper a l'attraction gravitationnelle est apportee par l'energie cinetique communiquee a m, avec une vitesse appelee vitesse de liberation.
On ecrit donc mvL2/2 = E, ce qui donne vL = [2gTRT2/x0]1/2. OK ? Bien entendu on n'a pas te compte d'autres forces (resistance de l'air, autre centre attracteur...).
6 - Avec x0 = RT on a tout de suite pour la Terre vL = 
(2gTRT) = 11200 m/s (tu feras les changements d'unites tout seul). NB : pour faire cetet question il faut connaitre le rayion de la Terre, non donne (RT = 6400 km).
7 - Il faut d'abord exprimer l'acceleration de la pesanteur lunaire, gL. Reprends la question 1 en remplacant RT par RL, gT par gL et MT par ML. On montre alors que gL/gT = (ML/MT)(RT/RL)2, ce qui avec le rapport des masses donne dans l'enonce gL = 1,64 ms-2 (connu : l'attraction lunaire est 6 fois moindre que celle de la Terre).
Dans l'expression de vL on fait x0 = RL, pour les autres parametres T devient L et on obtient vL = 2,369 km/s.
8 - Cette fois le centre attracteur est la Terre, le satellite est la Lune. Reprends donc l'expression de E trouvee a la question 4, en y faisant m = ML = 81MT, et x0 = distance Terre-Lune. C'est tout, je te laisse faire le calcul.
A une prochaine fois peut-etre. Prbebo.
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