Bonjour mwa1,

es-tu sur de la relation qu'on te demande de retrouver ? Moi j'obtiens4K/(1 - K)2, au lieu du + au denominateur. Et je retrouve ainsi un resultat bien connu des joueurs de billard et de petanque : si m1 = m2 (donc K = 1), la boule 1 apres le choc s'immobilise (donc Ecf1 = 0), ce qui donne le rapport Ecf2/Ecf1 infini.

Avant que je te detaille mon calcul, verifie ton enonce stp.

Prbebo.

PS  a mon message precedent : Pour avoir Ecf1 = 0 avec m1 = m2 il faut aussi v2 = 0 : la boule 1 percute une boule 2 de meme masse et initialement a l'arret.

Je confirme l'énoncé que voilà en pièce jointe (mais rien n'éxclu une erreur dans l'énoncé)

pour m1 = m2 c'était la question d'avant et en effet on trouve vf1 = 0 et vf2 = vi1

OK, mais que penses-tu du contre exemple que je t'ai donne (m1 = m2 et v2 = 0 entraine v'1 = 0 et v'2 = v1, soit un transfert integral de l'energie cinetique de la boule 1 a la  boule 2) ?

Voici mon calcul ; je n'ai pas le temps de faire un schema, Je choisis un axe oriente de la gauche vers la droite (comme l'axe des abscisses), imagine que la boule 1 vient de la gauche donc v1 est positif. je pose v'1 et v'2 les vitesses algebriques des deux billes apres leur choc.

conservation de la quantite de mpuvement : m1.v1 = m1.v'1 + m2.v'2 (1) ;
choc elastique donc conservation de l'energie cinetique : m1.v1² = m2.v'1² + m2.v'2² (le 1/2 s'en va bien sur) (2).

(1) et (2) deviennent
m1.(v1 - v'1) = m2.v'2( (3)    et   m1.(v1² - v'1²) = m2.v'2² = m1.(v1 + v'1).(v1 - v'1) (4), en utilisant l'identite bien connue a² - b² = (a+b)(a-b).

On fait alors le rapport membre a membre des relations 4 et 3, et on obtient une relation simple : v1 + v'1 = v2 (5).
Tu es en licence, donc inutile de te detailler le reste du calcul : avec les relations (3) et (5), on obtient facilement v'1 et v'2 en fonction de v1 :

v'1 = (m1 - m2).v1/(m1 + m2),   et v'2 = 2.m1.v1/(m1 + m2).

Ces deux relations, soit dit en passant, montrent bien que si m1 est > m2, v'1 est > 0 donc de meme de meme sens que v1, et que si m1 < m2 la boule 1 rebrousse chemin. Quant a la boule 2, elle se deplace toujours vers la droite.
Si m1 = m2, on constate que v'1 = 0 et v'2 = v1 : l'energie cinetique de la boule 1 est integralement transmise a la deuxieme ; a la petanque ca s'appelle "faire un carreau".

Passons au rapport des energies cinetiques apres le choc, en faisant Ec2 / Ec1 et en oubliant comme precedemment le facteur 1/2 :
m2.v'2² / (m1.v'1²) = 4.m1.m2 /(m1 - m2)², calcul sans mystere.

On pose alors m1 / m2 = K, soit m1 = m2.K, qu'on reporte dans la relation ci-dessus. Et on obtient  4K.m2² / [m2².(K -1)²] soit 4K /(K - 1)², comme explique dans mon premier post. Et si K = 1 (m1 = m2), ce rapport est bien infini.

Il y a donc bien une etourderie dans ton enonce.
Desole pour le manque complet d'accentuation, mais je travaille sur un clavier americain. Si tu as des questions n'hesite pas.

Bonne fin de soiree,

Prbebo.

Pour moi, l'énoncé est faux.

On trouve ce que prbebo propose mais seulement dans 1 cas particulier.

Pour rapprocher le problème de celui du billard avec 2 boules de masses différentes, on trouve ce que prbebo propose uniquement dans le cas PARTICULIER où la boule 1 (avant l'impact) suit la droite joignant les centres d'inertie des 2 boules.
Dans ce cas particulier, les boules après impact ont également cette direction (par forcément toutes les 2 le même sens).

Mais dans le cas général, on a ceci :



Les angles alpha et beta ne sont pas nuls (ou Pi), cela arrivera chaque fois que la boule 1 (avant l'impact) ne suit pas la droite joignant les centres d'inertie des 2 boules

Et alors, on ne trouve plus ni la relation proposée par l'énoncé ni celle proposée par prbebo.

Sauf distraction.  

OK, comme j'avais préparé l'exercice dans le cas de alpha non nul, je l'envoie juste pour info.



m1v'1*sin(beta) - m2.v'2.sin(alpha) = 0 (1)
m1v'1*cos(beta) + m2.v'2.cos(alpha) = m1.v1 (2)
m1v1² = m1.v'1² + m2.v'2² (3)

(1)² + (2²)
m1²v'1²*sin²(beta) + m2².v'2².sin²(alpha) + 2m1m2.v'1.v'2.sin(beta).sin(alpha) + m1²v'1²*cos²(beta) + m2².v'2².cos²(alpha) + 2.m1.m2.v'1.v'2.cos(beta).cos(alpha) = m1²v1²
m1²v'1² + m2².v'2² + 2m1m2.v'1.v'2.(sin(beta).sin(alpha) + cos(beta).cos(alpha)) = m1²v1²
m1²v'1² + m2².v'2² + 2m1m2.v'1.v'2.cos(beta-alpha) = m1²v1²
m1v'1² + (m2²/m1).v'2² + 2m2.v'1.v'2.cos(beta-alpha) = m1v1²

avec(3) -->

m1v'1² + (m2²/m1).v'2² + 2m2.v'1.v'2.cos(beta-alpha) =  m1.v'1² + m2.v'2²
(m2²/m1).v'2² + 2m2.v'1.v'2.cos(beta-alpha) = m2.v'2²
(m2/m1).v'2² + 2.v'1.v'2.cos(beta-alpha) = v'2² et comme v'2 est différent de 0 :
(m2/m1).v'2 + 2.v'1.cos(beta-alpha) = v'2
K.v'2 + 2.v'1.cos(beta-alpha) = v'2
v'2(1-K) = 2.v'1.cos(beta-alpha)
v'2/v'1 = 2/(1-K) * cos(beta-alpha)

m2/m1 * (v'2/v'1)² = K * [2/(1-K) * cos(beta-alpha)]²

Ecf2/Ecf1 = [4K/(1-K)²] * cos²(beta-alpha)
----------
(1) :
m1v'1*sin(beta) = m2.v'2.sin(alpha)

v'2/v'1 = (m1/m2).sin(beta)/sin(alpha)
v'2/v'1 = sin(beta)/(K.sin(alpha))

2/(1-K) * cos(beta-alpha) = sin(beta)/(K.sin(alpha))
2K/(1-K) * cos(beta-alpha) = sin(beta)/sin(alpha)
2K/(1-K) * (sin(beta).sin(alpha) + cos(beta).cos(alpha)) = sin(beta)/sin(alpha)
2K/(1-K) * (sin²(alpha) + cotg(beta).sin(alpha).cos(alpha)) = 1
sin²(alpha) + cotg(beta).sin(alpha).cos(alpha) = (1-K)/(2K)
cotg(beta) = [(1-K)/(2K) - sin²(alpha)]/[(1/2).sin(2.alpha)]
cotg(beta) = [(1-K)/K - 2sin²(alpha)]/sin(2.alpha)
cotg(beta) = [(1-K) - 2K.sin²(alpha)]/[K.sin(2.alpha)]
tg(beta) = [K.sin(2.alpha)]/[(1-K) - 2K.sin²(alpha)]

cos²(beta) = 1/(1+tg²(beta))
cos²(beta) = 1/[1 + K².sin²(2.alpha)/((1-K) - 2K.sin²(alpha))²]
cos²(beta) = ((1-K) - 2K.sin²(alpha))²/[((1-K) - 2K.sin²(alpha))² + K².sin²(2.alpha)]

Ecf2/Ecf1 = [4K/(1-K)²] * ((1-K) - 2K.sin²(alpha))²/[((1-K) - 2K.sin²(alpha))² + K².sin²(2.alpha)]  (Si K diff de 1)
----------

On peut sûrement tripatouiller cette relation pour lui donner une tête un peu plus sympathique, mais soit, ce n'est que de la mise en forme.

Dans le cas particulier où alpha = 0, cela se simplifie en :

Ecf2/Ecf1 = [4K/(1-K)²] * ((1-K) - 0)²/[((1-K) - 0)² + 0]
Ecf2/Ecf1 = [4K/(1-K)²] * (1-K)²/(1-K)²
Ecf2/Ecf1 = 4K/(1-K)² ... qui est le résultat annoncé par Prbebo
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Exemple numérique :
m1 = 1 kg ; m2 = 2 kg ; v1 = 3 m/s et alpha = 30°

Les calculs amènent : beta = 90°, v'1 = racine(3) m/s et v2 = racine(3) m/s.
K = 1/2
Et Ecf2/Ecf1 = 2
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Sauf distraction ou erreur.

Bonjour à tous les deux,

j'ai en effet traité le cas simple d'un choc frontal, non pas par ignorance de savoir faire le cas général mais parce que l'énoncé le suggérait, en ne parlant pas des angles et . Mon attention s'est surtout portée sur le fait que la relation donnée dans cet énoncé avec son terme en (1 + K) comportait une erreur, flagrante pour JP et moi mais sans doute pas pour toi, mwa1.

Bravo à JP d'avoir pris le temps de taper tout ça. J'ai les mêmes relations dans un coin, rapport des Ec mis à part, mais jamais je n'aurais eu le courage de les mettre sur le forum, en tout cas pas à 10 heures du soir.

Bon après-midi,

B.B.

... je viens de me rendre compte que c'était une stupide
erreur de lecture  

en fait on lit bien    et non pas     

désolé pour le dérangement.