Bonjour,

Tu as une idée de la trajectoire que va effectuer la bille ?

Ensuite, on parle de l'angle de la trajectoire avec l'horizontale. En un point donné de la trajectoire, comment tu fais pour représenter cet angle ?

Fais un schéma et tu te rendras mieux compte de la situation et de ce qu'il serait judicieux de calculer. N'hésites pas à y adjoindre un repère (avec axes horizontal et vertical).

Bonjour,

cela voudrait dire que x=y alors, puisque c'est sur l'axe de 45°, mais quand j'essaie de mettre en relation la formule de la position horizontale et verticale j'obtiens ça :



En d'autre termes je n'arrive pas à relier les deux positions pour trouver le temps, qui est pourtant la seule inconnue !

Peux-tu montrer comment tu as placé tes axes ? Avec tes fonctions horaires pour x et y, on a x(t=0) = 0 et y(t=0)=0.

Pour dire si tes équations sont justes, il faudrait connaître l'orientation de tes axes et où tu as placé l'origine de ton repère.

Quant à "il faut que x = y", alors non ce n'est pas juste. Mais c'est effectivement une équation dans ce goût-là

Petite question : à t = 0, quel angle fait la trajectoire avec l'horizontale ?

Petite question numéro 2 : pour un instant t quelconque (entre le moment où la bille est lancée et celui où elle touche le sol), comment tu fais pour déterminer graphiquement l'angle que fait la trajectoire de la bille avec l'horinzontale ? Tu traces quoi ?

Dans le graphique je suis parti du principe que l'angle se faisait par rapport à la position initiale (qui est le haut de la tour Eiffel).

Et donc je me serais trompé puisqu'ici x=y.

À t=0 je dirais que l'angle est de 0° par rapport à l'horizontal, puisque la bille est lancée à l'horizontal.

Et pour connaitre l'angle de la trajectoire il faut tracer la tangente ?
Aaaah, donc il faut dériver la fonction c'est ça ?

Si c'est ça alors j'ai une autre question, est-ce que ?

Voici mon deuxième graphique après correction.

Bonjour !

Tes graphiques sont un petit peu fouillis, surtout le premier, où toutes sortes de coordonnées sont présentes (x, y, (X), (t)). On va se concentrer sur ton second graphique, qui est beaucoup mieux !

Tu as représenté la hauteur de la bille (désignée par x) en fonction du temps (désigné par t). Ton graphique n'est pas faux en soi, mais je te rappelle la définition de la trajectoire d'un point mobile : c'est l'ensemble de toutes les positions successives qu'occupe ce point mobile au cours du temps (il n'y a donc pas de coordonnée de temps dans le graphique, enfin pas de façon explicite). On peut utiliser les coordonnées spatiales pour désigner la position de notre bille. Un exemple de graphique :



J'ai utilisé pour l'abscisse (position horizontale de la bille) et pour l'ordonnée (position verticale, ou encore hauteur de la bille). Comme l'axe est vers le haut, l'ordonnée va diminuer au cours du temps. Quand on parle d'angle que fait la trajectoire en un certain point avec l'horizontale, c'est effectivement l'angle que fait la tangente à la trajectoire en ce point avec l'horizontale. A l'instant initial ( et sur mon graphique), la tangente à la trajectoire est une demi-droite horizontale, elle fait donc bien un angle de 0° avec l'horizontale (axe des abscisses).

La trajectoire de la bille est donc décrite par les coordonnées qui dépendent du temps , on peut donc les écrire .

Peux-tu indiquer les conditions initiales si on considère le graphique ci-dessus ( étant le moment où on lâche  la bille du haut de la tour Eiffel avec la vitesse initiale indiquée dans l'énoncé) ?







est la vitesse horizontale de la ville à l'instant .
est la vitesse verticale de la ville à l'instant .

Connais-tu les notations et pour désigner les dérivées temporelles des fonctions et ?

La dérivée temporelle ne me dit rien,

j'ai essayé les calculs et je suis arrivé à ça :



Mais la réponse n'est pas dans les propositions... est-ce que c'est bien l'équation de la position que l'on doit utiliser ?

Ce n'est pas tout à fait exact ! Avec le graphique de mon message du 16 août, tu as :


  
(hauteur de la Tour Eiffel)


(bille lancée avec une vitesse horizontale   égale à 40 m/s)

  
(pas de vitesse verticale au moment où la bille est lancée)

L'application de la 2^nde loi de Newton (aussi appelée Principe Fondamental de la Dynamique) à notre bille de masse donne (les frottements avec l'air étant négligés, la seule force qui s'exerce sur la bille est le poids) :



Le signe moins vient du fait que l'axe des est orienté vers le haut, alors que le poids de la bille est orienté vers le bas.

On a donc, en simplifiant : .

La bille a donc une accélération verticale égale à et une accélération horizontale égale à 0 .

En intégrant, on trouve :

tu avais juste !

il te manque le signe moins !

La vitesse de la bille en fonction du temps peut donc s'écrire :



Ton équation "45° = 10t" ne veux rien dire ! A gauche on a un angle, à droite une vitesse. Une vitesse ne peut être égale à un angle.

Quand la trajectoire de la bille fait un angle de 45° avec l'horizontale, que cela signifie t-il sur le vecteur vitesse de la bille ?

D'accord, je pense avoir compris.

À 45°, la vitesse horizontale et verticale se valent, donc .

Donc
, ce qui est la bonne réponse.

Merci pour vos explications !

Voilà, c'est (quasiment) ça ! Je vais encore être un tantinet pointilleux pour que ça soit parfaitement juste :

Comme on a mis l'axe des vers le haut (ça aurait été une autre histoire si on l'avait mis vers le bas), en écrivant le vecteur vitesse comme , on va avoir et (eh oui, le vecteur vitesse pointe vers le bas).

Le moment où la trajectoire fait un angle de 45° avec l'horizontale est effectivement le moment pour lequel les composantes du vecteur vitesse sont, en valeur absolue, égales.

En toute rigueur, il faudrait donc écrire , ce qui conduit à, sachant que :

.

On obtient bien que c'est au bout de quatre secondes que la trajectoire fait un angle de 45° avec l'horizontale.

Il faudrait quand même vérifier que la bille est encore en l'air, c'est-à-dire n'a pas encore touché le sol à t = 4 s. As-tu une idée de comment vérifier cela ?