Niveau licence

Théorème de Stokes

Posté par
God 18-01-14 à 03:02

Bonjour,
Soit $\vec{E}=-y\vec{u_x}+x\vec{u_y}$

Je dois calculer le rotationnel de E, donner sa direction, puis calculer l'intégrale curviligne de E sur la courbe x²+y²=1, z=0, et montrer que le théorème de Stokes est vérifier.

Pour le rotationnnel, je trouve :

$\vec{\nabla} X \vec{E}=-\frac{dx}{dz}\vec{u_x}-\frac{dy}{dz}\vec{u_y}$

Et donc... c'est le vecteur nul ? Donc pas de direction ?

Le théorème de stokes prédit donc que la circulation de E sur x²+y²=1 est nulle.

Mais, ce n'est pas ce que j'obtiens en calculant la circulation :

$\int\vec{E}\vec{dl}=\int\vec{E}Rd\theta\vec{u_{\theta}}=\int\vec{E}d\theta\vec{u_{\theta}}$
(car R=1)

En coordonnées cylindriques, on a
$x=Rcos(\theta)=cos(\theta) \\ y=Rsin(\theta)=sin(\theta) \\ \vec{u_x}\vec{u_{\theta}}=-sin(\theta) \\ \vec{u_y}\vec{u_{\theta}}=cos(\theta)$

donc

$\vec{E}\vec{u_{\theta}}=(-y\vec{u_x}+x\vec{u_y})\vec{u_{\theta}}=sin(\theta)²+cos(\theta)²=1$

$=> \int\vec{E}\vec{dl}=\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi$
alors que je devrais obtenir 0

Quelqu'un pourrait-il m'indiquer où se trouve l'erreur ? Merci d'avance