Niveau maths spé

théorème de Stokes

Posté par
sami 16-01-13 à 15:21

Bonjour, voici en exo et j'ai des questions.
Soit le champ vectoriel A =2x(ex)+2y(ey) ( A, ex et ey sont en vecteur ex et et sont les vecteurs unitaires)
1. Représenter le champ vectoriel A dans le plan x-y et commentez votre résultat
2. Vérifier la loi de Stokes pour le champ A en considérant la surface F de contour S (voir fig)

J'ai une partie de la correction de cet exercice:
Pour la question 1. il n y a pas de commentaire donc je ne sais qu'est ce qu'on dira pour le commentaire?
Pour la question 2. on doit vérifier ceci ∬_F(nabla×A).dF = ∮ A.ds
Mais dans la correction je ne comprends pas pourquoi on écrit dF=dFz=ρdφdρ.ez et dS=ρdφ.eρ et pourtant on est en coordonnées cartésienne. Merci d'avance

théorème de Stokes

Edit Coll : image recadrée

Posté par re : théorème de Stokes 17-01-13 à 10:44

Bonjour,

pour la 1) peut-être faut-il parler des axes de symétrie :

2) La surface est le disque $\mathcal{D}=\{(r,\varphi)\ /\ r\in[0,a],\ \varphi\in[0,2\pi[\}$ , donc on se place en coordonnées polaires : $x=r\cos\varphi$ , $y=r\sin\varphi$ et $dxdy=rdrd\varphi$ .

Le théorème de Stokes s'écrit :

$\boxed{\int_{\partial\mathcal{D}}\vec{A}.\mathrm{d}\vec{\ell}=\iint_\mathcal{D}\vec{\mathrm{rot}}(\vec{A})\mathrm{d}\vec{S}}$

Soit encore :

$\boxed{\int_0^{2\pi}\vec{A}(r,\varphi)a\mathrm{d}\varphi\vec{e_\varphi}=\int_{r=0}^a\int_{\varphi=0}^{2\pi}\vec{\mathrm{rot}}(\vec{A})r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\vec{e_z}}$

Posté par re : théorème de Stokes 17-01-13 à 12:11

Merci,on sait que dS=dre_r+adφe_φ+dze_z(dS e_r,e_φet e_z sont en vecteur). Comment on a fait pour que dS devient seulement adφe_φ
D'autre part e_z n'est pas représente est ce qu'on peut parler de son existence

Posté par re : théorème de Stokes 17-01-13 à 14:08

Alors on n'a pas pris les mêmes notations.

Je vais prendre les tiennes.

Le contour est s, et $d\vec{s}$ est le vecteur infinitésimal qui parcourt le contour s, voir schéma ci-dessus :

théorème de Stokes

$d\vec{s}=d\vec{OM}=d(a\vec{e_r})=ad\varphi\vec{e_\varphi}$ .

Et $\vec{e_z}=\vec{e_x}\wedge\vec{e_y}=\vec{e_r}\wedge\vec{e_\varphi}$