bonsoir

il suffit de trouver le poids de la planche en étudiant le premier équilibre (cf figure)
en écrivant que la somme des moments en O des forces est nulle

0.8x700 = 0.95 P + 1.6x500x cos a

cos a est connu, donc P aussi

on connait par ailleurs le volume de la planche
et on trouve finalement: = 710kg/m3

sauf erreur

Rien à redire à la réponse de Krinn ...

Mais il faut quand même faire une remarque sur l'énoncé.

Il y a des données redondantes dans l'énoncé ... et ces données sont incompatibles.

Si on calcule comme Krinn, on voit bien qu'il n'utilise pas la donnée de 605 N de tension dans la corde planche coupée, et donc cette donnée est inutile par cette méthode.
Mais on peut bien entendu recalculer la tension de la corde avec planche coupée à partir des valeurs trouvées par Krinn, et sauf erreur de ma part, on trouve 614 N et pas 605 N.

Pas énorme comme différence, mais ...

On peut résoudre le problème autrement que la solution de Krinn.

Il suffit de calculer que la différence entre les moments autour du "pivot" due à la différence de tension de la corde (500N et 605 N) doit exactement compenser le moment autour du point de pivot du au bout de planche coupé... le reste restant identique.
La résolution est aussi facile, mais utilise ici la donnée de 605 N.
Et toujours sauf erreur de ma part, cette méthode conduit à une masse volumique de la partie coupée de 640 kg/m³ (pas vérifié), donc assez éloignée de la réponse de la solution de Krinn.

Aucune des 2 méthodes de résolution ne peut être incriminée, la différence dans les valeurs des solutions est due à une donnée redondante non compatible avec les autres.