Niveau iut

Série de Fourier

Posté par
mw159 13-01-13 à 11:50

Bonjour,
Voilà l'énoncé de mon exercice :

1) Comment peut-on décomposer une fonction périodique dans le cadre des séries de Fourier ?

2) Soit une fonction rectangulaire de fréquence 1kHz dont la valeur maximal est de 5V et
minimal est de 1V. Donnez les fréquences et les amplitudes du fondamental et des 3
premières harmoniques.
Donnez également sa valeur moyenne.

J'ai mie pour la question 1:
Que l'on peut décomposer une fonction périodique en plusieurs fonction sinusoïdale de fréquence F.
Et pour formule :
$s(t)= \sum_{k=0}^{\infty}A_k . sin(2\pi . k . F .t + \varphi_k )$
Et Ak l'amplitude de chaque sinusoïde.
$\varphi_k$ les différentes phases des sinusoïdes.

Pour la question 2 je ne sais pas comment déterminer les fréquence et les amplitudes.
Si quelle qu'un peut m'expliquer.

Merci

Posté par re : Série de Fourier 13-01-13 à 15:12

Bonjour,
La question 1, pour moi, est ambigüe... Mais je pense qu'il vaudrait mieux répondre en donnant les formules des a₀, a_n et b_n.
Dans la question 2, il manque une information : c'est le rapport cyclique. Sur la période, pendant combien de temps la fonction est-elle à 5V et pendant combien de temps est-elle à 1V ? (si on a l'un, on a l'autre).
Doit-on supposer que la fonction est symétrique ?...

Posté par re : Série de Fourier 13-01-13 à 16:35

Merci pour ta réponse.
Donc je dois dire que :
$a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t).cos(\pi\omega t ).dt$
$b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t).sin(\pi\omega t ).dt$
Par contre a0 j'ai pas de formule pour le déterminer.

Sinon pour la question 2 je pense que il faut utiliser une fonction symétrique car je n'est pas plus de détaille dans la question.
Je n'est pas d'information sur le rapport cyclique.
La fréquence de la fondamentale doit être de 1kHz donc :
Pour les harmoniques j'aurais tendance a dire que :
harmonique 1 : $\frac{1kHz}{2}=500 Hz$
harmonique 2 : $\frac{1kHz}{3}= 333.333Hz$
harmonique 3 : $\frac{1kHz}{4}=250Hz$

Mais ici je ne vois pas comment déterminer les amplitudes, mis a part que de 5V à 1V on a une amplitude de 4V.

Posté par re : Série de Fourier 13-01-13 à 17:04

Pas tout à fait...
$a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,cos(n\omega t )\,dt$
$b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,sin(n\omega t )\,dt$
Et :
$a_0\,=\,\frac{1}{T}\,\int_0^T\,f(t)dt$
L'harmonique 1 est le fondamental donc 1 kHz.
L'harmonique 2 est 2 kHz.
L'harmonique 3 est 3 kHz.
L'harmonique 4 est 4 kHz.

Citation :
Donner les fréquences et les amplitudes du fondamental et des 3 premières harmoniques.

Donc il faut aller jusqu'à 4...
Les amplitudes des différentes composantes sont données par les a_n et b_n correspondants.
Faute de mieux, on peut supposer que c'est symétrique (rapport cyclique = 1)

Posté par re : Série de Fourier 13-01-13 à 17:10

Merci pour la réponse.

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